Schriftliche Division durch einstellige Zahlen
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Grundlagen zum Thema Schriftliche Division durch einstellige Zahlen
Schriftliches Dividieren – Erklärung
In Mathe hast du schon gelernt, Zahlen durcheinander zu teilen. Das Teilen nennt man auch dividieren. Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Denn mit der Division $12:4=3$ machst du die Multiplikation $3 \cdot 4 =12$ wieder rückgängig.
Die Zahl, die geteilt wird, nennt man Dividend. Die Zahl, durch die geteilt wird, heißt Divisor – und das Ergebnis der Division ist der Quotient. Teilst du einen sehr großen Dividenden, so ist es nicht einfach, die Division im Kopf auszurechnen. Stattdessen rechnet man die Division besser schriftlich. Und das geht so: Um die Division $546:6$ auszurechnen, überlegen wir zuerst, wie groß der Quotient ungefähr sein muss. Man sagt auch: Wir machen einen Überschlag. Die Division $600:6=100$ können wir im Kopf ausrechnen. Weil der Dividend $564$ etwas kleiner ist als $600$, muss auch der Quotient $564:6$ etwas kleiner sein als $100$.
Wir beginnen die schriftliche Division links bei der größten Stelle des Dividenden. Wir überlegen, wie oft der Divisor $6$ in die erste Stelle passt. $6$ passt keinmal in $5$, denn $5$ ist kleiner als $6$. Daher müssen wir die Division mit den beiden größten Stellen beginnen. Wie oft passt $6$ in $56$? In der Sechserreihe finden wir: $9 \cdot 6 = 54$. Wir notieren die $9$ rechts neben dem Gleichheitszeichen. Die Zahl $54$ schreiben wir genau unter die beiden ersten Ziffern des Dividenden. Wir schreiben ein Minuszeichen vor die $54$ und ziehen einen horizontalen Strich unter die $54$.
Nun subtrahieren wir $54$ von $56$, das heißt wir rechnen $56-54=2$. Das Ergebnis $2$ notieren wir unter dem Strich, und zwar so, dass die $2$ genau unter der Ziffer $4$ von $54$ steht. Man sagt: Wir tragen die Zahl $2$ stellengerecht ein. Aus dem Dividenden nehmen wir die nächste Stelle hinzu und schreiben sie stellengerecht neben die Ziffer $2$. Wir erhalten also die Zahl $24$. Diese Zahl dividieren wir wieder durch $6$. In der Sechserreihe finden wir: $4 \cdot 6 = 24$. Es ist also $24:6=4$. Das Ergebnis $4$ dieser Division notieren wir oben rechts neben der Ziffer $9$. Das Ergebnis $24$ der Multiplikation $4 \cdot 6$ schreiben wir stellengerecht unter die $24$ links unten. Wir schreiben wieder ein Minuszeichen vor die untere der beiden Zahlen, ziehen einen horizontalen Strich und führen die Subtraktion $24-24=0$ aus. Unter dem Strich notieren wir $0$. Es ist bei der Division also kein Rest geblieben. Da im Dividenden auch keine weiteren Stellen sind, die wir noch nach unten ziehen können, sind wir mit der schriftlichen Division fertig.
Das Ergebnis der schriftlichen Division können wir oben neben dem Gleichheitszeichen ablesen: Es ist die Zahl $94$. Wir vergleichen dieses Ergebnis mit unserem Überschlag: $94$ ist – wie erwartet – etwas kleiner als $100$. Um das Ergebnis zu überprüfen, können wir auch die Probe durch Multiplikation durchführen. Dazu müssen wir $94 \cdot 6$ ausrechnen. Dazu zerlegen wir die $94$ in Zehner und Einer, multiplizieren einzeln und addieren die Ergebnisse:
$94 = 90 +4$
$6 \cdot 90 = 540 \qquad 6 \cdot 4 = 24 \qquad 540+24 = 564 $
Das Ergebnis ist $564$, genau wie der Dividend unserer Geteiltaufgabe. Wir haben also richtig gerechnet.
Schriftliches Dividieren – Beispiel
Für die Division $320:3$ machen wir zuerst einen Überschlag:
Wir ziehen die nächste Ziffer aus dem Dividenden nach unten. Die Ziffer $0$ links neben der $2$ können wir auch weglassen. Wie oft passt der Divisor $3$ in die Zahl $2$? Keinmal, denn $2$ ist kleiner als $3$. Wir können eine weitere Ziffer aus dem Dividenden herunterziehen. Aber aufgepasst: Immer, wenn wir $2$ Ziffern statt einer herunterziehen müssen, dann müssen wir im Ergebnis zuerst eine $0$ notieren, bevor wir die nächste Division durchführen:
Nun überlegen wir: Wie oft passt der Divisor $3$ in $20$? In der Dreierreihe finden wir: $6 \cdot 3 = 18$. Wir notieren das Ergebnis der Malaufgabe stellengerecht unter der $20$ und die $6$ aus der Malaufgabe rechts oben im Ergebnis der schriftlichen Division. Nun subtrahieren wir wie zuvor die beiden links unten untereinander stehenden Zahlen: $20-18=2$. Die Differenz $2$ notieren wir unter dem Strich. Sie ist der Rest der Division. Denn da wir keine weiteren Stellen aus dem Dividenden herunterziehen können, ist die Division fertig. Den Rest notieren wir rechts neben den Ziffern in der oberen Zeile. Der Rest gehört mit zu dem Ergebnis der Division.
Das Ergebnis der schriftlichen Division können wir nun rechts neben dem Gleichheitszeichen ablesen:
$320:6 = 106 ~ ~ ~ \text{ Rest } 2$
Wir können das Ergebnis wieder durch eine Probe überprüfen: Wir rechnen zuerst $3 \cdot 106 = 318$. Addieren wir den Rest $2$, so erhalten wir
Häufig gestellte Fragen zum Thema Schriftliche Division durch einstellige Zahlen
Transkript Schriftliche Division durch einstellige Zahlen
Es ist nicht leicht Caesar zu sein: Immer, wenn ein Lager aufgeschlagen wird, weiß keiner seiner Soldaten, was er zu tun hat. Caesars Puls ist schon wieder auf 180. "Er braucht je gleich viele: Zeltaufsteller! Mauerbauer! Köche! Wachen! Pferdepfleger! Traubenanreicher! Und zwar dalli!" Seine 564 Soldaten – sind völlig überfordert. Kein Wunder: die meisten hatten keinen Matheunterricht. Um herauszufinden, wie viele Soldaten den einzelnen Aufgaben zugeteilt werden, braucht man nämlich schriftliche Division durch einstellige Zahlen. Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Zum Beispiel ist 12 geteilt durch 4 gleich 3. Denn 3 mal 4 ist 12. Man kann sagen, dass man mit der Multiplikation die Division wieder rückgängig macht und umgekehrt. Die Zahlen werden dabei folgendermaßen benannt: Dividend geteilt durch Divisor ergibt den Quotienten. Dazu braucht man die schriftliche Division. Caesar möchte seine 564 Soldaten auf 6 Aufgaben gleichmäßig aufteilen. Wir rechnen also 564 geteilt durch 6. Vorher überlegen wir kurz, wie groß das Ergebnis ungefähr sein muss. Das nennt man Überschlag: Wenn wir 600 durch 6 teilen, ist das 100. 564 ist etwas kleiner als 600. Also muss 564 geteilt durch 6 etwas kleiner als 100 sein. Für die schriftliche Division notieren wir uns erst einmal die Aufgabe: 564 geteilt durch 6 ist gleich... Nun überlegen wir uns, wie oft die 6 in die erste Ziffer des Dividenden, also in die 5, passt. Gar nicht! Daher nehmen wir uns nun auch die zweite Ziffer dazu: die 6. Wie oft passt die 6 in die 56? Neun mal! Die 9 notieren wir uns hier. Jetzt rechnen wir 9 mal 6 das sind 54. Die schreiben wir stellengerecht unter die 56, mit einem Minus davor. Nun berechnen wir die Differenz: 56 minus 54 ist 2. Jetzt führen wir wieder eine Division durch: Die 2 können wir nicht durch 6 teilen. Daher nehmen wir uns von oben die 4 hinzu. Man könnte sagen, die 4 fährt Fahrstuhl. Jetzt rechnen wir 24 geteilt durch 6 ist 4. Notier dir hier die vier. 4 mal 6 ist 24; wieder schreiben wir ein Minus davor und ziehen einen Strich darunter. 24 minus 24 ist Null. Es bleibt also kein Rest. Da keine Zahl mehr von oben heruntergeholt werden kann, sind wir nun fertig. Unser Ergebnis lautet 94. Passend zu unserem Überschlag liegt das Ergebnis etwas unter 100. Zur Probe rechnen wir 6 mal 94. Wenn wir richtig gerechnet haben, muss dabei wieder 564 herauskommen. Wir zerlegen die 94 in 90 und 4 und multiplizieren einzeln: 6 mal 90 ist 540. 6 mal 4 ist 24. Also ist 6 mal 94 dasselbe wie 540 plus 24, nämlich 564. Nun wissen wir: Unsere Division war erfolgreich. Caesars Legion muss sich also in Gruppen von je 94 Soldaten aufteilen. Ob sie das wohl schaffen? Wir rechnen ein zweites Beispiel: 320 geteilt durch 3. Wieder überschlagen wir die Rechnung. 300 geteilt durch 3 ist 100. Das Ergebnis muss also etwas größer als 100 sein. Genau wie eben, rechnen wir für die Division von links nach rechts. Die 3 passt einmal in die 3, wir notieren die 1 mal 3 ist 3. 3 minus 3 ergibt 0. Nun holen wir die 2 von oben herunter – die Null brauchen wir jetzt nicht mehr. Da die 3 nicht in die 2 hineinpasst, holen wir auch noch die Null herunter. Wir müssen dann hier im Ergebnis eine Null ergänzen. Wie oft passt die 3 in die 20? 6 Mal. 6 mal drei ist 18. 20 minus 18 ergibt 2. Nun gibt es keine Zahl mehr, die von oben heruntergeholt werden kann. Das heißt, die 320 ist nicht vollständig durch 3 teilbar, sondern es bleibt die 2 als Rest. Man sagt in diesem Fall: 320 geteilt durch 3 ist 106 mit Rest 2. Auch hier können wir eine Probe machen. Dafür rechnen wir 3 mal 106 gleich 318. Nun müssen wir den Rest 2 noch dazu addieren: 318 plus 2 ist 320. Unser Ergebnis ist also richtig und liegt etwas überhalb von 100 – genau wie wir es beim Überschlagen vorhergesagt haben. Hier eine kurze Zusammenfassung, wie du beim schriftlichen Dividieren vorgehst: Merk dir die Bezeichnungen der Bestandteile der Division: Dividend durch Divisor ergibt Quotient. Du rechnest von links nach rechts. Schritt 1: Du prüfst, wie oft der Divisor in die erste Ziffer des Dividenden passt. Passt er nicht hinein, nimmst du die zweite Ziffer hinzu. Das Ergebnis notierst du rechts neben dem Gleichheitszeichen. Schritt 2: Nun musst du zurückmultiplizieren und abziehen. Du prüfst, ob ein Rest bleibt. Schritt 3: Jetzt holst du die nächste Ziffer des Dividenden von oben herunter. Dadurch ergibt sich eine neue Zahl. Nun wiederholst du Schritt 1 bis 3 so lange bis alle Ziffern des Dividenden aufgebraucht sind. Wenn beim letzten Schritt ein Rest bleibt, gehört er zum Ergebnis der Division. Das Lager ist fast fertig! Nur noch das Zelt befestigen, oh. Die Soldaten haben das Lager geteilt! Beim Jupiter!
Schriftliche Division durch einstellige Zahlen Übung
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Bestimme die korrekten Aussagen zur schriftlichen Division.
TippsWillst du überprüfen, ob du bei einer Division richtig gerechnet hast, kannst du die Probe durchführen, indem du das Ergebnis mit dem Divisor multiplizierst.
Nicht alle Zahlen lassen sich vollständig teilen. Rechne dann so weit wie möglich.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Die Division ist die Umkehrung der Addition.“
- Willst du überprüfen, ob du bei einer Division richtig gerechnet hast, kannst du das Ergebnis mit dem Divisor multiplizieren. Das funktioniert, da die Division die Umkehrung der Multiplikation ist.
- Es ist korrekt, dass du hier den Dividenden Stelle für Stelle durch den Divisor teilst. Allerdings beginnst du immer bei der größten Stelle.
„Bei einer Division teilst du den Dividenden durch den Divisor und erhältst einen Quotienten.“
- So werden die Zahlen in einer Division bezeichnet.
„Lässt sich die letzte Stelle des Dividenden nicht vollständig teilen, kannst du mit dem Ergebnis einen Rest angeben.“
- Nicht alle Zahlen lassen sich vollständig teilen. Rechne dann so weit wie möglich. In diesem Fall kannst du einfach den Rest mit dem Ergebnis angeben.
-
Berechne das Ergebnis der Division.
TippsEine Überschlagsrechnung ist hilfreich, um das Ergebnis abschätzen zu können. So kannst du entscheiden, ob dein berechnetes Ergebnis sinnvoll ist.
Bei der schriftlichen Division beginnst du immer bei der größten Stelle des Dividenden und versuchst ihn durch den Divisor zu teilen. Funktioniert das nicht, nimmst du die nächstgrößere Stelle des Dividenden dazu. Das wiederholst du so lange, bis du die Zahlen durch einander teilen kannst.
Im nächsten Schritt überlegst du dir immer, wie oft der Divisor in die betrachtete Zahl des Dividenden passt. Das Ergebnis schreibst du auf. Anschließend multiplizierst du das, was du gerade ins Ergebnis geschrieben hast, wieder mit dem Divisor. Das schreibst du stellengerecht unter die am Anfang betrachtete Zahl und ziehst sie davon ab.
LösungSo kannst du die Rechnung vervollständigen:
Zuerst führen sie eine Überschlagsrechnung durch.
Da $564$ etwas kleiner als $600$ ist, muss das Ergebnis etwas kleiner als $100$ sein.
- Eine Überschlagsrechnung ist hilfreich, um das Ergebnis abschätzen zu können. So kannst du entscheiden, ob dein berechnetes Ergebnis Sinn hat.
- Bei der schriftlichen Division beginnst du immer mit der größten Stelle des Dividenden und versuchst ihn durch den Divisor zu teilen. Funktioniert das nicht, nimmst du die nächstkleinere Stelle dazu. Das wiederholst du so lange, bis du die Zahlen durch einander teilen kannst.
- Im nächsten Schritt überlegst du dir immer, wie oft der Divisor in die betrachtete Zahl passt. Das Ergebnis schreibst du auf. Anschließend multiplizierst du die Zahl, die du gerade ins Ergebnis geschrieben hast, mit dem Divisor. Das schreibst du wiederum stellengerecht unter die am Anfang betrachtete Zahl und ziehst sie davon ab.
$4 \cdot 6=24$
Das schreiben sie wieder stellengerecht unter die ursprüngliche Zahl und subtrahieren. Das ergibt: $0$.
- Dieses Verfahren wird so lange wiederholt, bis das Ergebnis vollständig berechnet ist.
$6 \cdot 94 =564$
Also haben sie richtig gerechnet.
- Um zu prüfen, ob du richtig gerechnet hast, kannst du das Ergebnis der Division mit dem Divisor multiplizieren. Kommt jetzt die ursprüngliche Zahl (der Dividend) heraus, hast du richtig gerechnet.
-
Wende die schriftliche Division an.
TippsHast du herausgefunden, wie oft der Divisor in eine Zahl passt, kannst du das ins Ergebnis schreiben. Anschließend rechnest du rückwärts.
Ziehe das Ergebnis der Rückwärtsrechnung von der anfangs betrachteten Zahl ab. Hole die nächste Ziffer des Dividenden herunter. Das ist das hier gesuchte Zwischenergebnis.
Hier wurde eine schriftliche Division durchgeführt. Die Zwischenergebnisse $17$ und $20$ wurden markiert.
LösungDie erste Rechnung kannst du so durchführen. Damit kannst du die Zwischenergebnisse folgendermaßen zuordnen:
- Zu $1840 : 5 = 368$ gehören: $34$ und $40$.
- Zur Rechnung $29622: 3 = 9874$ gehören $26$, $22$ und $12$.
- Die Zwischenergebnisse von $1096 : 4 = 274$ sind $29$ und $16$.
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Ermittle die Lösung der schriftlichen Division.
TippsSo sieht der Beginn der ersten Rechnung aus. Als nächstes kannst du die $1$ aus dem Dividenden herunterholen.
LösungDie Lösungen kannst du mit der schriftlichen Division bestimmen. Damit erhältst du:
- $3312:9=368$
- $1784:4=446$
- $6466:2 = 3233$
- $1966:2=983$
-
Gib an, warum die schriftliche Division so durchgeführt wird.
TippsDu must dir überlegen, wie oft der Divisor in die betrachtete Zahl passt. Das Ergebnis schreibst du auf. Anschließend multiplizierst du, was du gerade ins Ergebnis geschrieben hast, mit dem Divisor. Das schreibst du wiederum stellengerecht unter die am Anfang betrachtete Zahl und ziehst sie davon ab. Dann beginnst du von vorne.
Bleibt am Ende eine Zahl übrig, in die der Divisor nicht mehr passt, kannst du diese Zahl als Rest aufschreiben.
LösungSo kannst du die Beschriftungen der Rechnung zuordnen:
Du musst dir überlegen, wie oft der Divisor in die betrachtete Zahl passt. Das Ergebnis schreibst du auf. Bei der ersten Zahl ist das Ergebnis $1$, denn $3:3=1$.
Anschließend multiplizierst du, was du gerade ins Ergebnis geschrieben hast mit dem Divisor, also $1 \cdot 3=3$.
Das schreibst du wiederum stellengerecht unter die am Anfang betrachtete Zahl und ziehst sie davon ab. $3-3=0$
Als Nächstes holst du die $2$ aus dem Dividenden herunter. Diese passt jedoch nicht in die $3$. Deshalb schreibst du eine $0$ ins Ergebnis und holst die $0$ aus dem Dividenden herunter.
$3$ passt $6$-mal in $20$. Deshalb schreibst du eine $6$ ins Ergebnis.
Du rechnest so lang, bis du nichts mehr übrig hast, oder der Divisor nicht mehr in die Zahl passt. Hier passt $3$ nicht in $2$. Deshalb kannst du $2$ als Rest aufschreiben.
-
Erschließe, ob hier richtig gerechnet wurde.
TippsSo sieht der Beginn von einer der Rechnungen aus. Als nächstes kannst du rückwärts rechnen, also $3 \cdot 14=\text{?}$
Überlege dir vorher, was die Vielfachen des jeweiligen Divisors sind:
$1 \cdot 18 = 18$
$2 \cdot 18 = 36$
$3 \cdot 18 = 54$
...und so weiter...
LösungDiese Aufgaben wurden nicht korrekt berechnet:
- $4826:19=254 \neq 234$
- $3276:14=234 \neq 134$
- $4572:18=254$
- $1488:12=124$
- $4995:15=333$
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Hallo Von Ber, stimmt, es ist geschickt, direkt die 0 einzutragen, um es nicht zu vergessen. Im Video ist das dann ja auch direkt der nächste Schritt. Es ist auf jeden Fall wichtig daran zu denken, um auf das richtige Ergebnis zu kommen. Liebe Grüße aus der Redaktion!
Nein wenn 3 durch 2 nicht geht, muss man trotzdem ohne den anderen Ziffer runter zu holen erst mal neben den eins ein 0 hin tragen und dann mal nehmen und dann erst den anderen Ziffer runter holen und zusammen rechnen
Für die erste Aufgabe braucht man nicht die Schriftliche Division .Man brauch einen Taschenrechner :)
Das Video ist cool aber könnt ruhig etwas langsamer sein ich bin kaum mitgekommen, aber sonst gut 😊