Frequenz und Wellenlänge

Frequenz und Wellenlänge Übung

• Definiere die Frequenz und die Wellenlänge.

  Tipps

  Die Wellenlänge gibt eine Strecke an. Wie könnte die Einheit dann sein?

  Die Periodendauer gibt die Zeit an, die für eine vollständige Schwingung benötigt wird. Wie steht diese im Verhältnis zur Frequenz?

  Die Frequenz ist der Umkehrwert der Periodendauer. Welche Einheit könnte die Frequenz dann haben?

  Lösung

  Elektromagnetische Wellen können in einem Diagramm eingezeichnet werden. Sie haben dabei einen sinusförmigen Verlauf. Je nachdem was betrachtet wird, werden die Achsen unterschiedlich gekennzeichnet. Die y-Achse beschreibt hierbei immer die Auslenkung.

  Wenn die x-Achse die Strecke bezeichnet, dann handelt es sich um eine Momentaufnahme der Welle. Es wird jedes Teilchen in seiner momentanen Auslenkung gezeigt. Hier kann die Wellenlänge leicht abgelesen werden.
  Sie entspricht der Strecke zwischen zwei benachbarten Punkten gleicher Phase.
  Ab hier beginnt die Welle sozusagen von Neuem und die nächsten Punkte sehen wieder exakt gleich aus.

  Wenn die x-Achse der Zeit entspricht, dann wird der Verlauf eines einzelnen schwingenden Teilchens der Welle gezeigt. Eine Welle besteht nämlich aus vielen einzelnen auf- und abschwingenden Teilchen. Hier kann die Periodendauer leicht abgelesen werden und auch die Frequenz.
  Die Periodendauer entspricht dabei der Zeit, die für eine komplette Schwingung benötigt wird.
  Die Frequenz entspricht der Anzahl der Schwingungen, die in einer Sekunde vollbracht werden.

  Die Frequenz und die Periodendauer hängen dabei durch die Formel
  $f=\frac{1}{T}$
  zusammen.

• Gib die Formel für die Frequenz an.

  Tipps

  Elektromagnetische Wellen breiten sich im Vakuum mit der Lichtgeschwindigkeit aus. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit wird mit dem Formelzeichen $c$ abgekürzt.

  Die Betrachtung einer Einheitenrechnung hilft häufig beim Finden von physikalischen Formeln.

  Wie müssten die Einheit der Ausbreitungsgeschwindigkeit $\frac{m}{s}$ und die der Wellenlänge $m$ mathematisch in Bezug gesetzt werden, wenn als Ergebnis die Einheit der Frequenz $\frac{1}{s}=Hz$ herauskommen soll?

  Lösung

  Die Frequenz wird mit dem Formelzeichen $f$ abgekürzt.
  Die Wellenlänge mit $\lambda$.

  Diese beiden Größen verhalten sich antiproportional:
  $f \sim \frac{1}{\lambda}$.

  Die Proportionalitätskonstante ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c$. Elektromagnetische Wellen, wozu auch die Hertz'schen Wellen gehören, breiten sich im Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit aus.

  Es gilt also:
  $f=\frac{c}{\lambda}$.

  Dies kann auch mit einer Einheitenrechnung hergeleitet werden. Die Frequenz hat die Einheit $\frac{1}{s}=Hz$. Die Wellenlänge wird in Metern und die Ausbreitungsgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde angegeben.

  $\frac{[c]}{[\lambda]}=\dfrac{\frac{m}{s}}{m}=\frac{1}{s}=Hz=[f]$

• Erkläre die Abhängigkeit zwischen Frequenz und Wellenlänge.

  Tipps

  Die Frequenz ergibt sich aus dem Quotienten aus Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenlänge.

  Zwei Kreispendel werden mit gleicher Geschwindigkeit gedreht. Welches der Pendel schafft in einer gewissen Zeit mehr Umdrehungen? Gibt es eine Größe, die mit der Wellenlänge verglichen werden könnte?

  Die Strecke eines Umlaufs könnte mit der Wellenlänge verglichen werden. Je länger die Strecke ist, desto länger braucht das Pendel für eine Umdrehung. Ist die Frequenz bei größerer Strecke dann kleiner oder größer?

  Lösung

  Die Frequenz ergibt sich aus dem Quotienten aus Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenlänge.
  $f= \frac{c}{\lambda}$
  Da die Wellenlänge im Nenner steht und die Proportionalitätskonstante im Zähler, ist die Wellenlänge indirekt proportional zur Frequenz.
  Damit folgt mathematisch: je größer die Wellenlänge, desto kleiner die Frequenz.

  Diese Formel kannst du dir aber auch logisch herleiten.
  Die Wellenlänge gibt an, wie groß der Abstand zwischen zwei benachbarten, phasengleichen Punkten ist, zum Beispiel also zwischen zwei Wellenbergen.
  Die Frequenz besagt, wie viele Schwingungen in einem gewissen Zeitintervall erfolgen. Das heißt, wie häufig ein Wellenberg erreicht wird.
  Dabei ist natürlich die Geschwindigkeit, hier die Ausbreitungsgeschwindigkeit, wichtig.

  Stell dir vor, ein Freund und du laufen auf einer Laufbahn. Ihr seid genau gleich schnell. Jedoch ist deine Laufbahn viel länger als die deines Freundes. Wer ist dann schneller wieder beim Startpunkt angelangt?

  Natürlich schafft derjenige, mit der kürzeren Laufbahn, in einer gewissen Zeit mehr Runden. Wäret ihr Wellen, dann wäre deine Wellenlänge langwelliger als die deines Freundes. Und du hättest damit eine geringere Frequenz als dein Freund. Du schaffst nämlich weniger Runden (=Wellenberge) in der gleichen Zeit.

• Berechne die Frequenz.

  Tipps

  Die Frequenz berechnet sich aus dem Quotienten der Ausbreitungsgeschwindigkeit und der Wellenlänge.

  Setze die gegebenen Werte ein und achte dabei auf die richtigen Einheiten. Du kannst Einheiten mit einer Einheitenrechnung überprüfen. Welche Einheit hat die Frequenz?

  Die Frequenz trägt die Einheit Hertz. Diese wird mit Hz abgekürzt.

  Lösung

  Die Frequenz einer Welle entspricht dem Quotienten aus Ausbreitungsgeschwindigkeit $c$ und Wellenlänge $\lambda$.
  $f=\frac{c}{\lambda}$

  Dort müssen die gegebenen Werte eingesetzt werden. Dabei musst du aber die richtigen Einheiten beachten. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit muss deswegen in Metern angegeben werden:
  $c=300000 ~ \frac{km}{s}=300000000 ~ \frac{m}{s}=3 \cdot 10^8 ~ \frac{m}{s}$.

  Damit folgt:
  $f=\dfrac{3 \cdot 10^8 ~ \frac{m}{s}}{1200 ~m}=250000 ~ \frac{1}{s}=250000 ~ Hz=250 ~kHz = 0,25 ~MHz$.

  Dabei ist Hertz die Einheit, in der die Frequenz angegeben wird.

• Erkläre die Einheit Hertz.

  Tipps

  Die Wellenlänge $\lambda$ wird in Metern angegeben. Sie gibt an, wie weit zwei benachbarte, phasengleiche Punkte voneinander entfernt sind.

  Die Frequenz $f$ gibt an, wie viele Schwingungen pro Sekunde vollzogen werden.

  Lösung

  Die Einheit der Frequenz wird auch Hertz $Hz$ genannt. Sie ist dabei nach dem Physiker Heinrich Hertz benannt. Dies geschah, weil Hertz als Erster elektromagnetische Wellen nachweisen konnte.

  Die Frequenz gibt dabei die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde an.

  Es gilt also:
  $[f]=1 ~ \frac{1}{s}=1 ~ Hz$.

  Die Frequenz hat damit ein Hertz, wenn genau eine Schwingung pro Sekunde stattfindet.

• Finde heraus, um welche Wellenart es sich handelt.

  Tipps

  Nutze das Verhältnis zwischen Frequenz und Wellenlänge, um zuerst die Wellenlänge zu berechnen.

  Wird diese Formel nach der Wellenlänge $\lambda$ umgestellt, müssen die gegebenen Wert nur noch eingesetzt und die Wellenlängen mit der Graphik verglichen werden. Bedenke, die Werte in die richtigen Einheiten umzuwandeln.

  Damit keine ungewollte Verschiebung des Kommas auftritt, müssen die Frequenzen alle in Hertz umgewandelt werden. Dafür muss das Komma um dem Präfix entsprechend viele Stellen nach rechts verschoben werden.

  Lösung

  Zwischen Frequenz $f$ und Wellenlänge $\lambda$ gilt der Zusammenhang:
  $f=\frac{c}{\lambda}$.

  Dabei ist die Proportionalitätskonstante die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle. Im Vakuum breiten sich elektromagnetische Wellen mit der Lichtgeschwindigkeit aus. Es gilt dann:
  $c\approx 300000 ~\frac{km}{s}=300000000 ~\frac{m}{s}=3 \cdot 10^8 ~ \frac{m}{s}$.

  Wird die Formel für die Frequenz nach der Wellenlänge umgestellt, folgt:
  $\lambda=\frac{c}{f}$.

  Die Frequenzen müssen dabei in Hertz, also in $\frac{1}{s}$, umgewandelt werden. Dazu muss der jeweilige Präfix betrachtet und das Komma entsprechend verschoben werden.

  Beispiel:
  $750 ~kHz=750 \cdot 10^3 ~Hz=750000 ~ Hz$

  Anschließend müssen die Werte nur noch eingesetzt und mit der Tabelle abgeglichen werden.

  $\begin{array}{c|c|c|r} \text{k}&\text{Kilo}&10^3&1\,000 \\ \hline \text{M}&\text{Mega}&10^6&1\,000\,000 \\ \hline \text{G}&\text{Giga}&10^9&1\,000\,000\,000 \end{array}$

  Es sind hier nur beispielhafte Werte. So wie die Wellenlängen bewegen sich auch die Frequenzen in gewissen Bereichen.
  Du kannst die Bereiche ja mal berechnen!