Trägheitsmoment J

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Wir beschäftigen uns heute, aus dem Kapitel "Mechanik", mit dem Trägheitsmoment J. Für dieses Video solltet Ihr bereits die Filme über das Drehmoment und die Winkelbeschleunigung gesehen haben. Wir lernen heute:Was ist das Trägheitsmoment J?Wie kann ich es berechnen?Zum Schluss sehen wir uns ein paar Beispiele an. Dann starten wir heute mit einem kleinen Experiment. Wir haben zwei Gegenstände, eine Rolle Klebeband und einen Klebestift. Wir legen sie hin und lassen sie beide gleichzeitig losrollen. Wir beobachten, der Klebestift beschleunigt schneller als die Klebebandrolle. Das liegt daran, dass sie unterschiedliche Trägheitsmomente haben. Was aber ist nun das Trägheitsmoment genau? Einfach gesagt können wir uns folgende Definition aufschreiben: Das Trägheitsmoment J gibt an, welche Winkelbeschleunigung α ein Körper aufgrund eines Drehmoments M erfährt. Wir hatten ja schon im letzten Video über die Winkelbeschleunigung festgestellt, dass wir leider kein Mittel haben, um Drehmoment und Winkelbeschleunigung zu verknüpfen. Das Trägheitsmoment scheint also dieses fehlende Glied zu sein. Leider hilft uns das aber auch nicht so richtig zu verstehen, was das Trägheitsmoment denn nun eigentlich ist. Deswegen schreiben wir den nächsten Merksatz auf: Das Trägheitsmoment hängt von der gewählten Drehachse ab und davon, wie die Masse des Körpers um diese Drehachse verteilt ist. Das heißt also, ein Körper kann viele verschiedene Trägheitsmomente haben, die davon abhängen, um welche Achse er rotieren soll. Dabei gilt folgende Faustregel. Je mehr von der Masse des Körpers von der Drehachse entfernt ist, desto größer ist das Trägheitsmoment für diese Achse. Und je größer das Trägheitsmoment ist, desto größer muss auch das Drehmoment sein um die gleiche Winkelbeschleunigung α zu erreichen. Erinnert Euch das an die Trägheit der Masse? Sehr gut. Soll es auch, denn das Trägheitsmoment ist für die Rotation das, was die Masse für die normale Translation, also die Bewegung von Punkt A zu Punkt B ist. Je größer das Trägheitsmoment einer Masse also ist, umso "stärker" wehrt sich der Körper dagegen zu rotieren. Wie ich dieses Trägheitsmoment nun berechnen kann, sehen wir uns im nächsten Kapitel an. Wir haben gehört, je größer das Trägheitsmoment ist, desto größer muss auch das Drehmoment sein, um die gleiche Winkelbeschleunigung α zu erzeugen. Die erste Formel, mit der wir das Trägheitsmoment ausrechnen können, lautet also: J=M/α. Dabei sehen wir auch gleich, die Einheit des Trägheitsmoments [J]=1Nms². Mit dieser Formel kann ich also das Trägheitsmoment ausrechnen, wenn ich M und α kenne. Viel wichtiger aber, wenn ich α nach drüben bringe, diese Formel M=J×α, hilft mir bei bekanntem Trägheitsmoment die Winkelbeschleunigung α auszurechnen, die aufgrund des Drehmoments M entsteht. Wenn Du diese Formel mit der Formel F=m×a vergleichst, verstehst du vielleicht, warum man das die Grundgleichung der Rotation nennt. So wie F=m×a die Grundgleichung der Bewegung ist, ist M=J×α die Grundgleichung der Rotation. Ich kann das Trägheitsmoment aber auch berechnen, wenn ich nur die Verteilung der Masse im Körper ansehe. Wir schauen uns wieder unsere beiden Beispiele von gerade eben an. Wenn ihr hofft, hier eine leichte Formel zu finden, muss ich euch leider enttäuschen. Das Trägheitsmoment ist im Allgemeinen schwer zu berechnen. Man kann es mithilfe folgender Formel berechnen. Das Trägheitsmoment J eines Körpers ist das Integral über die gesamte Masse von r²dm. Für manche Körper, bei denen die Masse auf eine relative leichte Art und Weise verteilt ist, kann man mit dieser Formel aber trotzdem etwas anfangen. Wir betrachten zum Beispiel unsere Klebebandrolle links. Ein Körper, dessen gesamte Masse m im Abstand r zur Drehachse ist, also ein Ring oder eben wie in unserem Beispiel, eine sehr dünne Klebebandrolle, hat das Trägheitsmoment J=m×r². Es wird in der Schule wahrscheinlich nicht von Euch verlangt, das Trägheitsmoment eines Körpers auszurechnen, aber es ist wahrscheinlich, dass ihr zumindest ein paar einfache kennen solltet. Deswegen schauen wir uns nun, im letzten Kapitel, ein paar Beispiele an. In der Animation seht Ihr einige rotierende Körper und die dazugehörigen Trägheitsmomente. Wir fangen mal von rechts, von den einfachen Sachen an. Als Erstes sehen wir zwei rotierende Stäbe. Beim Ersten geht die Drehachse genau durch die Mitte beim Zweiten durch das Ende. Wie Ihr seht, ist das Trägheitsmoment des unteren Stabes 4× so hoch, wie das des Oberen. Das bedeutet, die Masse ist im Schnitt 4× so weit entfernt von der Drehachse.Als Nächstes betrachten wir den Unterschied zwischen einer rotierenden Vollkugel und einer rotierenden Hohlkugel. Wir sehen, hier ist der Unterschied, also der Quotient Trägheitsmoment pro Masse, gar nicht mehr so groß. Die massive Kugel hat das Drehmoment 2/5 m×R², während die Hohlkugel das Drehmoment 2/3 m×R² hat. Nun kommen wir zu dem Fall, den wir bereits eben schon hatten, bei unserem Rollwettbewerb. Das Trägheitsmoment eines Vollzylinders beträgt ½mR² und das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders mR². Zumindest diese beiden solltet Ihr kennen. Als Letztes sehr Ihr das komplizierte Beispiel, die rotierende Teekanne. Als Letztes sehr Ihr das komplizierte Beispiel, die rotierende Teekanne. Aber ganz ehrlich gesagt, ich wüsste auch nicht, wo, ich da anfangen sollte. Wenn Euch so etwas in einer Prüfung begegnet, dann ist normalerweise immer das Trägheitsmoment mit angegeben. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Das Trägheitsmoment J eines Körpers hängt von der gewählten Drehachse und der Verteilung der Masse um diese Achse ab. Es gibt an, welche Winkelbeschleunigung der Körper aufgrund eines auf ihn wirkenden Drehmoments erfährt. Wir hatten gehört: Wirkt auf einen Körper das Drehmoment M, so erfährt er die Winkelbeschleunigung α und diese beiden hängen über das Trägheitsmoment J miteinander zusammen. Man nennt dies, die Grundgleichung der Rotation und sie lautet M=J×α. Man kann das Trägheitsmoment eines Körpers aber auch berechnen, wenn man die exakte Geometrie und Masseverteilung kennt. Diese Berechnung ist aber eher schwierig. Ihre Formell autet: J=Integral über die Masse von r²dm. So das wars schon wieder für heute, ich hoffe ich konnte Euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen und bis bald, Euer Kalle.