Analogien bei Translation und Rotation

Vergleich von Translation und Rotation

Bei Translation und Rotation handelt es sich um verschiedene Formen der Bewegung. Obwohl sie scheinbar vollkommen verschieden sind, gibt es überraschende Ähnlichkeiten, die interessante Zusammenhänge aufzeigen. Diese Zusammenhänge zu kennen, hilft uns dabei, die Formeln für die jeweiligen Bewegungen zu lernen. Wir wiederholen zunächst die wichtigsten Eigenschaften der beiden Bewegungsformen, um dann die Analogien zusammenzufassen.

Translationsbewegung

Was ist eine translatorische Bewegung?
In der Physik wird die Translation definiert als eine Bewegung, bei der sich alle Teile eines Körpers mit derselben Geschwindigkeit in die gleiche Richtung bewegen. Autofahren ist ein Beispiel dafür. Eine Translation, die auf einer geraden Linie abläuft, nennt man geradlinige Bewegung.

Schauen wir uns nun an, welche Größen wir für die mathematische Beschreibung der Translation benötigen.
Jeder Körper hat eine Masse $m$. Diese gibt den Widerstand des Körpers gegenüber der Veränderung seiner Bewegung an. Das kann eine Änderung der Richtung oder der Geschwindigkeit der Bewegung sein. Dieser Widerstand wird auch Trägheit genannt. Je mehr Masse ein Körper hat, umso träger ist er. Die Einheit der Masse ist das Kilogramm, das mit $\pu{kg}$ abgekürzt wird.
Bewegt sich der Körper, so hat er eine Geschwindigkeit $\vec{v}$. Die Geschwindigkeit ist ein Vektor. Dieser hat immer eine Richtung und einen Betrag. Die Geschwindigkeit gibt das Verhältnis zwischen Strecke und Zeit an und hat die Einheit Meter pro Sekunde, kurz $\pu{m // s}$.

$\vec{v} = \frac{Strecke}{Zeit}$

Wollen wir die Geschwindigkeit eines sich bewegenden Körpers ändern, dann müssen wir ihn beschleunigen. Die Beschleunigung $\vec{a}$ gibt an, mit welchem Wert sich die Geschwindigkeit in einem bestimmten Zeitintervall ändert. Auch die Beschleunigung ist eine vektorielle Größe und hat die Einheit Meter pro Sekunde zum Quadrat, kurz $\pu{m // s^{2}}$.

$\vec{a} = \frac{Geschwindigkeitsänderung}{Zeit}$

Damit ein Körper beschleunigt werden kann, muss eine Kraft $\vec{F}$ wirken. Das geht aus dem zweiten newtonschen Gesetz hervor. Dieses lautet:

$\vec{F}=m \cdot \vec{a}$

Auch die Kraft ist eine vektorielle Größe. Sie hat die Einheit Newton, die mit $\pu{N} = \pu{kg m // s^{2}}$ abgekürzt wird. Je größer die Kraft, desto größer die Geschwindigkeitsänderung. Andererseits muss für eine höhere Masse mehr Kraft aufgewendet werden, um die gleiche Beschleunigung zu erreichen. Die Kraft ist Ursache für die Beschleunigung. $\vec{F}$ und $\vec{a}$ zeigen somit immer in die gleiche Richtung.
Außerdem hat jede Translation eine bestimmte Energie. Die Energie der Translation nennt man kinetische Energie $E_{kin}$ und sie ist definiert durch:

$E_{kin}=\frac{1}{2}\,m \cdot v^{2}$

Die kinetische Energie wird in Joule, kurz $\pu{J}$, gemessen.
Diese vier Größen (Masse, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Kraft) reichen aus, um alle Arten der Translation zu beschreiben.

Rotationsbewegung

Was ist eine rotatorische Bewegung?
Unter einer Rotationsbewegung versteht man die Bewegung eines starren Körpers um eine Rotationsachse. Das kann zum Beispiel eine rotierende Scheibe oder ein Karussell sein. Die Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung der einzelnen Massepunkte des rotierenden Körpers sind nicht alle gleich. Die Massepunkte, die sich näher an der Rotationsachse befinden, bewegen sich langsamer als jene, die eine größere Entfernung zur Rotationsachse aufweisen. Auch die Richtung der Bewegung ist je nach Ort auf der Scheibe unterschiedlich.

Schauen wir uns nun die wichtigsten Größen der Rotation an.
Jeder Körper besitzt ein bestimmtes Trägheitsmoment $J$. Dieses gibt den Widerstand eines Körpers gegenüber einer Änderung seiner Rotationsbewegung an. Je größer das Trägheitsmoment, umso größer der Widerstand gegen eine Änderung der Rotationsbewegung. Dabei ist zu beachten, dass ein Körper um viele Achsen rotieren kann. So muss die Rotationsachse einer Scheibe nicht unbedingt durch ihren Mittelpunkt gehen. Für jede unterschiedliche Rotationsachse hat der Körper ein anderes Trägheitsmoment. Die Einheit des Trägheitsmoments ist $\pu{kg \cdot m^{2}}$.
Rotiert ein Körper, so besitzt er eine Winkelgeschwindigkeit. Diese gibt an, welchen Winkel der rotierende Körper in welcher Zeit überschreitet. Die Winkelgeschwindigkeit wird in der Einheit $\pu{rad // s}$ (rad pro Sekunde) gemessen. Sie ist ebenfalls ein Vektor mit Betrag und Richtung und besitzt das Formelzeichen $\vec{\omega}$.

$\vec{\omega}=\frac{Winkel}{Zeit}$

Der Vektor der Winkelgeschwindigkeit zeigt immer entlang der Rotationsachse. Um herauszufinden, in welche Richtung sie zeigt, kann die Rechte-Hand-Regel genutzt werden. Dabei zeigen die Finger der rechten Hand in Richtung der Drehbewegung, wobei die Handfläche nach innen, in Richtung der Rotationsachse, ausgerichtet ist. Der Daumen wird nun senkrecht abgespreizt und zeigt dann in die gleiche Richtung wie die Winkelgeschwindigkeit.
Um die Winkelgeschwindigkeit zu ändern, wird eine Winkelbeschleunigung $\vec{\alpha}$ benötigt. Diese gibt an, um wie viel sich die Winkelgeschwindigkeit in einem gewissen Zeitintervall ändert. Sie wird in der Einheit $\pu{rad // s^{2}}$ gemessen.

$\vec{\alpha}=\frac{Änderung\,der\,Winkelgeschwindigkeit}{Zeit}$

Damit der rotierende Körper eine Winkelbeschleunigung erfährt, muss ein Drehmoment auf ihn wirken. Dieser Zusammenhang wird das Grundgesetz der Dynamik der Rotation genannt.

$\overrightarrow{M}=J \cdot \vec{\alpha}$

Auch das Drehmoment $\overrightarrow{M}$ ist eine vektorielle Größe und hat als Energie pro Winkel die Einheit $\pu{J // rad}$, was in SI-Einheiten ausgedrückt $\pu{N \cdot m}$ (Newtonmeter) ergibt. Je höher das Drehmoment, desto größer die Winkelbeschleunigung und desto schneller die Änderung der Winkelgeschwindigkeit. Es muss aber für ein höheres Trägheitsmoment auch ein höheres Drehmoment aufgebracht werden, um die gleiche Winkelbeschleunigung zu erreichen. Das Drehmoment ist Ursache für die Winkelbeschleunigung. $\overrightarrow{M}$ und $\vec{\alpha}$ zeigen immer in die gleiche Richtung.
Wie die Translation hat auch jede Rotation eine bestimmte Energie. Diese wird Rotationsenergie genannt $(E_{rot})$.

$E_{rot}=\frac{1}{2}\,J \cdot \omega^{2}$

Die Rotationsenergie wird wie die kinetische Energie in $\pu{J}$ gemessen.

Analogien zwischen Translation und Rotation

Ist dir nach dem Überblick über Translation und Rotation schon etwas aufgefallen?
Du hast bestimmt gemerkt, dass einige Größen von Translation und Rotation sehr ähnlich sind. In der Tabelle sind diese nebeneinander aufgelistet.

Die Masse hindert Änderungen der Bewegung einer Translation, genauso hindert das Trägheitsmoment Änderungen der Rotationsbewegung. Masse und Trägheitsmoment sind also analoge Größen. Das bedeutet, dass das Trägheitsmoment in der Beschreibung der Rotation das Gegenstück zur Masse bei der Beschreibung der Translation ist.
Ähnlich verhält es sich mit der Kraft bei der Translation und dem Drehmoment bei der Rotation. Auch sie sind analoge Größen. Das zweite newtonsche Gesetz besagt, dass ein Körper seine Bewegung nur dann ändert, wenn eine Kraft wirkt. Analog dazu besagt das Grundgesetz der Dynamik der Rotation, dass sich eine Rotationsbewegung nur dann ändert, wenn ein Drehmoment wirkt.
Eine weitere Analogie fällt auf, wenn wir uns die Formeln für die Berechnung der beiden Energien genauer anschauen. Die Ausdrücke beider Formeln sind sehr ähnlich. Beide bestehen aus einem Faktor $\frac{1}{2}$ multipliziert mit der Größe, die die Bewegung hindert, multipliziert mit der jeweiligen Geschwindigkeit zum Quadrat. Somit sind kinetische Energie und Rotationsenergie auch analoge Größen. Du musst nur die analogen Größen austauschen, um vom Ausdruck für die Translation auf den Ausdruck für die Rotation zu kommen. Die Struktur der Formeln ist gleich.

Zusammenfassung der Analogien zwischen Rotation und Translation

Translation und Rotation können über jeweils vier physikalische Größen beschrieben werden. Für die Translation sind das die Masse, die Geschwindigkeit, die Beschleunigung und die Kraft. Für die Rotation sind es das Trägheitsmoment, die Winkelgeschwindigkeit, die Winkelbeschleunigung und das Drehmoment. Zwischen beiden Bewegungsarten bestehen Analogien. Das heißt, dass die Formeln für Kraft und Drehmoment, sowie die Formeln für die Energien jeweils die gleichen Strukturen aufweisen. Tauscht man die analogen Größen aus, so kommt man von einem Ausdruck für die Translation zu einem Ausdruck für die Rotation.