Drehimpuls L

Hallo und Herzlich Willkomen zu Physik mit Kalle! Wir beschäftigen uns heute aus dem Gebiet Mechanik mit dem Drehimpuls L. Für dieses Video solltet Ihr bereits die vorhergehenden Filme über das Drehmoment und das Trägheitsmoment gesehen haben. Wir lernen heute, was der Drehimpuls ist, mit welcher Formel ich ihn berechnen kann und zum Schluss rechnen wir eine kleine Beispielaufgabe. Dann wollen wir mal. Der Drehimpuls L einer Rotation sagt (genau wie der Impuls p bei der Translation) etwas über die Wucht einer Drehbewegung aus. Wie wir wissen, ist der Impuls p bei der Translation: p = m × v Bis jetzt hatten wir bei der Rotation statt der Masse immer das Trägheitsmoment J und statt der Geschwindigkeit die Winkelgeschwindigkeit ω. Wir können also voraussagen, und das stimmt auch: Der Drehimpuls L = J × ω. An dieser Formel können wir sehen: Je größer das Trägheitsmoment und die Winkelgeschwindigkeit unseres Körpers, desto größer ist die Wucht seiner Drehbewegung. Ihr könnt das Ganze schnell an einem einfachen Beispiel nachvollziehen: Stellt Euch vor, Ihr habt ein leicht gebautes Windrad, z. B. aus Draht und Papier, und daneben stellt Ihr Euer Fahrrad auf den Kopf. Ihr könnt nun das Hinterrad mit den Pedalen beschleunigen und auf die gleiche Winkelgeschwindigkeit wie das Windrad bringen. Wenn Ihr nun wahnsinnig genug seid zu versuchen, die beiden zum Stillstand zu bringen, indem Ihr einfach Eure Finger zwischen die Windräder und zwischen die Speichen steckt, dann werdet Ihr sehen, was gemeint ist mit "Wucht der Drehbewegung". Der Fahrradreifen hat eine viel größere Masse und deshalb ein größeres Trägheitsmoment und kann Euch, bei einer schnell genugen Geschwindigkeit, wahrscheinlich ohne Probleme die Finger brechen, während Euch das Windrad nicht mehr als einen kleinen Schlag versetzen wird. Wie man den Drehimpuls eines relativ häufigen Spezialfalls ausrechnet und welche Formeln wir damit noch so gewinnen können, das sehen wir uns nun im nächsten Kapitel an. Wir betrachten folgenden Fall: Eine Masse m kreist um eine Achse, wie z. B. der Mond um die Erde. Wir wissen: L = J × ω. Wir müssen also sowohl das Trägheitsmoment als auch die Winkelgeschwindigkeit dieser Anordnung ausrechnen. Die Winkelgeschwindigkeit ist zum Glück nicht so schwer. Sie ist einfach die Bahngeschwindigkeit geteilt durch den Radius: ω = v / r. Ein bisschen schwieriger wird es für das Trägheitsmoment. Wir wissen, die allgemeine Formel war ein wenig kompliziert: J = ∫m r² dm. Da wir in dieser Anordnung vereinfacht einen Massenpunkt betrachten, ist die gesamte Masse im Abstand r von der Drehachse. Das heißt: J = m × r². Dadurch ergibt sich also: L = m × r² × v / r. Wir können ein r kürzen und erhalten also: m × r × v. Da aber m × v genau der Impuls p unseres Massenpunktes ist, können wir auch schreiben: L = r × p. Wir erinneren uns: Der Zusammenhang von Kraft und Impuls bei der Translation wird durch das 2. Newtonsche Axiom festgelegt. Das lautet: F ist die Änderung des Impulses mit der Zeit oder: F = m × a. Dann wollen wir doch mal sehen, ob wir etwas Ähnliches erhalten, wenn wir die Änderung des Drehimpulses mit der Zeit betrachten. dL nach dt ist dann, da sich der Radius nicht ändert, der Radius mal die Änderung des Impulses mit der Zeit: dL / dt = r × dp / dt. Für dp nach dt können wir einfach, siehe oben, die Kraft einsetzen. Das ergibt also: r × F. Und das ist, wie wir wissen, das Drehmoment M. Die Grundgleichung der Rotation sagte aus: Das Drehmoment M ist das Trägheitsmoment J mal α: M = J × α. Ich kann also für dL nach dt auch schreiben: dL / dt = J × α. Wir erhalten also auch hier genau die gleiche Formel, wenn wir einfach die Kraft gegen das Drehmoment, den Impuls gegen den Drehimpuls, die Masse gegen das Trägheitsmoment und die Beschleunigung gegen die Winkelbeschleunigung austauschen.   Im letzten Kapitel wollen wir uns nun noch eine kleine Beispielaufgabe ansehen. Wir wollen folgende Aufgabe rechnen: Ein Fahrrad, zylinderförmige Vollgummireifen, die Masse soll 2 kg und der Radius 30 cm betragen, bewegt sich mit 25 km/h vorwärts. Berechnen Sie den Drehimpuls eines Rades! Gegeben ist: Der Radius ist 30 cm, also r = 0,3 m, die Masse beträgt r = 2 kg und die Geschwindigkeit v = 25 km/h. Geteilt durch 3,6 ergibt das ungefähr 6,9 m/s. Unser Fahrrad bewegt sich mit der Geschwindigkeit v vorwärts. Oder anders gesagt, der Boden bewegt sich mit der Geschwindigkeit v unter unserem Fahrrad weg. Das bedeutet, ein Punkt, der genau im Abstand r auf dem Reifen sitzt, hat die Bahngeschwindigkeit v. Damit können wir also ganz einfach die Winkelgeschwindigkeit ω ausrechnen: ω = v / r = 6,9m/s / 0,3m = 23/s Als nächstes brauchen wir das Trägheitsmoment. Das ist: J = ∫m r² dm. Wenn Ihr gut seid, könnt Ihr es ausrechnen, für einen zylinderförmigen Körper solltet Ihr es aber eigentlich auswendig wissen. Es ist: 1/2 × m × r² Eingesetzt ergibt das: (2kg × (0,3m)²) / 2 Unser Trägheitsmoment beträgt also: J = 0,3 kgm² L = J × ω. Und die beiden haben wir gerade ausgerechnet. Ich muss also nur noch einsetzen, dann habe ich meinen Drehimpuls fertig ausgerechnet. Der Drehimpuls ist damit: L = 0,3kgm² × 23/s = 6,9 kgm²/s Unser Antwortsatz lautet also: Der Drehimpuls eines Rades beträgt 6,9 kgm²/s.   Wir wollen noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Der Drehimpuls L gibt an, wie groß die Wucht einer Drehbewegung ist. Die allgemeine Formel für den Drehimpuls lautet: L ist das Trägheitsmoment J mal die Winkelgeschwindigkeit ω: L = J × ω Für den Sonderfall, dass ein Körper der Masse m um eine Achse rotiert: L ist der Abstand des Körpers r mal sein Impuls p: L = r × p Für diesen Sonderfall haben wir hergeleitet, analog zum 2. Newtonschon Axiom, die Änderung des Drehimpulses mit der Zeit:dL/dt = M = J × α So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte Euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal,Euer Kalle