Impulserhaltung bei der Kreisbewegung

Der Drehimpulserhaltungssatz

Wir wollen uns den Drehimpulserhaltungssatz ansehen und so ein tieferes Verständnis der Verhaltensweisen rotierender Körper gewinnen. Die Größen Drehimpuls und Drehmoment hast du bereits kennengelernt.

In diesem Text wird zunächst der Impulserhaltungssatz formuliert. Dann betrachten wir Formel und Beispiele. Schreiben wir den Drehimpulserhaltungssatz in seiner vollen Allgemeinheit einmal auf:

Wie du siehst, wird die Gültigkeit dieser Aussage ebenso für einen Ball behauptet, der um einen Mittelpunkt kreist, wie für ein zusammengesetztes System, z. B. das Sonnensystem mit seinen Planeten. Im Folgenden wollen wir untersuchen, warum der Drehimpulssatz manchmal auch als Trägheitsgesetz der Rotation bezeichnet wird. Der Drehimpuls hat nämlich ähnlich wie seine Masse etwas mit der Trägheit eines physikalischen Körpers zu tun.

Drehimpulserhaltung – am Beispiel der Kreisbewegung

Das Paradebeispiel für die Drehimpulserhaltung ist die Kreisbewegung. An ihr wollen wir die Konsequenzen der Drehimpulserhaltung untersuchen. Dazu wird ein Ball betrachtet, der fest auf einer Drehscheibe montiert ist, die um eine senkrechte Achse rotiert. Wie lautet sein Drehimpuls? Aus der Definition des Drehimpulses lesen wir ab

$\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}$,

wobei $\vec{r}$ vom Mittelpunkt der Drehscheibe zum Ball verweist. Wir gehen nun davon aus, dass der Drehimpuls dieses Balls erhalten ist. Um deutlich zu machen, dass wir dies voraussetzen, setzen wir ein kleines Ausrufezeichen über das Gleichheitszeichen.

$\vec{L} \overset{!}{=} \text{konst.}$

Drehimpulserhaltung – Konsequenzen für einen rotierenden Körper

Welche Konsequenzen hat es für einen rotierenden Körper, wenn sein Drehimpuls erhalten ist? Eine erste Konsequenz des Erhaltungssatzes lässt sich direkt ablesen: Der Drehimpuls ist ein Vektor, er hat also eine Länge und eine Richtung. Mit der Drei-Finger-Regel kannst du feststellen, dass die Richtung des Drehimpulses senkrecht zur Drehscheibe weist.

Als Nächstes werden wir den Betrag $L$ des Drehimpulsvektors untersuchen. Zunächst drücken wir ihn in Abhängigkeit von der Winkelgeschwindigkeit der Drehscheibe aus:

$L = r\cdot p = m\cdot r\cdot v = (m\cdot r^2)\cdot \omega = J\cdot \omega~~~$ mit $~~~v = r\cdot \omega$

Wir haben hier eine Größe $J$ eingeführt, die man auch Trägheitsmoment des rotierenden Körpers nennt. Warum sie diesen Namen hat, werden wir gleich sehen. Für rotierende Körper, die ihre Gestalt nicht ändern (der Ball ist fest montiert), ist $J$ eine Konstante und charakteristisch für den betrachteten Körper.

Ein Gedankenexperiment soll die Gleichung weiter erhellen. Angenommen, der Ball ist an einem Seil der Länge $r$ befestigt und du hast die Möglichkeit, z. B. über einen kleinen Motor in der Mitte der Drehscheibe, die Länge des Seils zu verändern. Was passiert, wenn du das Seil verkürzt? Bleibt der Drehimpuls weiterhin erhalten?

Um diese Frage zu beantworten, schauen wir uns noch einmal den Erhaltungssatz des Drehimpulses in seiner allgemeinen Form an.

$\vec{L} = \text{konst.} ~~~ \Leftrightarrow ~~~ \dfrac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t} = \vec{M} = 0$

Der Drehimpuls ist erhalten, wenn das Drehmoment $\vec{M}$ verschwindet!

Erinnern wir uns, dass bei einer linearen Bewegung eines Körpers die Erhaltung des Impulses dadurch ausgezeichnet war, dass keine externe Kraft wirkt:

$\dot{\vec{p}} = \vec{F} = 0$

Tatsächlich spielt das Drehmoment bei der Kreisbewegung eine ähnliche Rolle wie die externe Kraft bei der linearen Bewegung.

Das Drehmoment ist definiert als $\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}$ und du siehst, dass hier die externe Kraft vorkommt.

Wann ist das Drehmoment null?

Was bedeutet das für den Ball auf der Drehscheibe? Wenn du das Seil verkürzt, wirkt die dabei aufgewendete Kraft parallel zum Ortsvektor des Balls. Das Drehmoment ist also weiterhin gleich null und die Drehimpulserhaltung wird nicht verletzt.

Jedoch ändert sich die Gestalt des rotierenden Körpers und damit auch das Trägheitsmoment! Der Effekt, der sich aus der Änderung des Trägheitsmoments ergibt, heißt auch Pirouetteneffekt.

Dies lässt sich an unserem Gedankenexperiment genau verstehen: Wenn der Ball herangezogen wird, werden $r$ und damit das Trägheitsmoment $J = m\cdot r^{2}$ kleiner. Damit der Drehimpuls konstant bleiben kann, muss sich also die Winkelgeschwindigkeit erhöhen.

Wird umgekehrt der Abstand des Balls von der Rotationsachse vergrößert, wächst das Trägheitsmoment und die Winkelgeschwindigkeit muss sich verringern. Wenn wir die Masse und Ausdehnung des Motors, der das Seil zieht, vernachlässigen können, lässt sich dieser Zusammenhang sogar berechnen:

$m\cdot r_1^2 \cdot \omega_1 = m\cdot r_2^2 \cdot \omega_2 ~~~$ oder $~~~ \dfrac{\omega_1}{\omega_2} = \dfrac{r_2^2}{r_1^2}$

Drehimpulserhaltung – Trägheitsmoment

Warum heißt das Trägheitsmoment eigentlich Trägheitsmoment?

Du kannst es am eigenen Leib erfahren! Dazu setzt du dich auf einen Drehstuhl und versetzt dich in Rotation. Jetzt versuche es noch einmal, aber nimm diesmal einen schweren Gegenstand in die Hände. Versuche, die gleiche Winkelgeschwindigkeit zu erreichen wie vorher. Was fällt dir im Vergleich auf?

Es wird dir jetzt schwerer fallen, diese Winkelgeschwindigkeit zu erreichen. Das liegt am Trägheitsmoment! Genauso, wie die (träge) Masse bei einem linear bewegten Körper Kraft $F$ und Geschwindigkeit $v$ bestimmt, bestimmt das Trägheitsmoment, wie viel Drehmoment auf den Körper ausgeübt werden muss, um eine bestimmte Winkelgeschwindigkeit zu erreichen: $M = J\dot{\omega}$.

Das Trägheitsmoment heißt also so, weil es sich ähnlich wie die (träge) Masse bei linear bewegten Körpern verhält.

Drehimpulserhaltung – Trägheitsgesetz der Rotation

Warum heißt der Impulserhaltungssatz auch das Trägheitsgesetz der Rotation?

Nachdem wir herausgefunden haben, dass sich das Trägheitsmoment bei der Rotation ähnlich verhält wie die Masse bei der linearen Bewegung, können wir auch diese Frage beantworten.

Ein Körper, der sich mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig bewegt, wird sich einer Änderung dieser Bewegung widersetzen. Und ein rotierender Körper, dessen Drehimpuls konstant ist, wird sich einer Änderung der Rotationsbewegung widersetzen.

Der Widerstand wird umso größer sein, je größer bei dem einen die Masse bzw. bei dem anderen das Trägheitsmoment ist.

Drehimpulserhaltung – die stabilisierende Wirkung des Drehmoments

Es gibt viele Beispiele aus dem Alltag, in denen die Drehimpulserhaltung eingesetzt wird, um Rotationsbewegungen zu stabilisieren.

Kreisel

Ein gutes Beispiel für Drehimpulserhaltung ist der Kreisel. Der stillstehende Kreisel kann einfach umkippen, aber der rotierende Kreisel hat einen Drehimpuls. Das heißt, er wehrt sich dagegen, seinen Drehimpuls zu ändern. Da die durch Reibung mit der Tischoberfläche wirkende Kraft relativ klein ist, dauert es eine ganze Weile, bis der Kreisel überhaupt ins Torkeln kommt. Man nennt das auch eine Präzessionsbewegung. Der Kreisel steht also relativ lange stabil auf seiner Spitze – umso länger, je größer sein Drehimpuls ist.

Schwungrad

Man kann einen Körper mit hohem Drehimpuls zur Stabilisierung einsetzen – zum Beispiel ein Schwungrad. Oben seht ihr ein solches Kreiselinstrument. Man nennt das auch ein Gyroskop. Wenn das Schwungrad in der Mitte einen relativ hohen Drehimpuls hat, kann das Gestell außen herum sich bewegen, wie es will. Das Schwungrad wird seine Position beibehalten. Ein Beispiel für solch eine Anwendung wäre der Kreiselkompass, dessen Rotationsachse immer parallel zur Rotationsachse der Erde ist.

Fahrrad

Auf einem Fahrrad ist es viel schwerer, langsam zu fahren als schnell. Je schneller sich die beiden Räder drehen, desto höher ist ihr Drehimpuls und desto schwerer ist es auch, ihn zu verändern. Das heißt, je schneller ein Fahrrad fährt, desto stabiler ist es.

Salto

Ein letztes Beispiel wäre der Salto. Ein Turner, der einen Salto macht, springt ab, rollt sich zu einer Kugel zusammen und landet dann wieder auf den Füßen. Das tut er deshalb, da er sich nur in zusammengerollter Form schnell genug drehen kann, um nach dem Abspringen wieder mit den Füßen auf dem Boden zu landen. Sonst ist sein Trägheitsmoment zu groß und er wird nicht die erforderliche Winkelgeschwindigkeit erreichen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Drehimpulserhaltung