Binäre Darstellung von Zahlen, Buchstaben und Zeichen

Das Binärsystem

Du hast vermutlich schon einmal gehört, dass Computer zur Berechnung von Zahlen oder Algorithmen nur zwei Zustände kennen – Strom ein und Strom aus. Diese Zustände kann man auch mit den Zahlen $1$ und $0$ bezeichnen. Um mit lediglich zwei unterschiedlichen Ziffern beliebige Zahlen darstellen zu können, benötigt man das Binär- oder Dualsystem. Was es damit auf sich hat, wollen wir uns im Folgenden genauer anschauen.

Wiederholung: Dezimalsystem

Bevor wir uns dem Dualsystem zuwenden, wollen wir uns kurz in Erinnerung rufen, was das Dezimalsystem ausmacht. Das Wort Dezimal stammt vom lateinischen Wort decem ab, was zehn bedeutet. Man sagt auch Zehnersystem. Der Name kommt daher, dass dieses System die Zahl zehn als Basis hat. Das bedeutet, es gibt die zehn Ziffern:

$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Diese Ziffern werden mit dem Stellenwert der Stelle multipliziert, an der sie stehen. Die Stellenwerte im Dezimalsystem sind immer Zehnerpotenzen, die von rechts nach links aufsteigend geordnet werden. Zur Verdeutlichung stellen wir das Prinzip anhand des Beispiels der Zahl $1826$ in einer Tabelle dar:

Es ist Konvention, die Ziffern ohne Abstand hintereinander zu schreiben. Man könnte diese Zahl auch folgendermaßen schreiben:

$1 \cdot 10^{3}+ 8 \cdot 10^{2}+ 2 \cdot 10^{1} + 6 \cdot 10^{0} $

Da im Alltag sowie im Physik- und Matheunterricht fast ausschließlich im Dezimalsystem gerechnet wird, wird das System selten extra vermerkt. Wenn allerdings Verwechslungsgefahr besteht, kann man die Basiszahl des genutzten Systems tiefgestellt anfügen:

$[1826]_{10}$

Binärsystem – Definition

Das Binär- oder Dualsystem hat als Basis die Zahl zwei. Es gibt also nur zwei Ziffern in diesem System:

$0,1$

Auch hier werden die Ziffern mit dem Stellenwert der Stelle multipliziert, an der sie stehen. Der Stellenwert ist allerdings durch Zweierpotenzen gegeben, die von rechts nach links aufsteigend notiert werden. Eine Zahl im Binärsystem besteht also aus einer Zeichenkette aus Einsen und Nullen. Die Zahl $[1826]_{10}$ aus unserem vorigen Beispiel sähe im Binärsystem beispielsweise folgendermaßen aus:

$[11100100010]_{2}$

Auch hier machen wir das Prinzip durch ein Beispiel der Umrechnung deutlich. Wir schauen uns dazu an, wie man die Zahl $[13]_{10}$ im Binärsystem schreiben würde.

Wenn wir eine Zahl aus dem Dezimalsystem in das Binärsystem umrechnen wollen, gehen wir am besten von den großen zu den kleinen Potenzen vor. Dazu suchen wir zunächst die größte Zweierpotenz, die kleiner als die gesuchte Zahl ist. Die Zahl, die wir umrechnen wollen, ist die $[13]_{10}$. Die Zahl $2^{4} = 16$ ist größer als $13$, also bleibt diese Stelle frei. Die Zahl $2^{3} = 8$ ist kleiner als $13$. Sie ist damit die größte Zweierpotenz, die kleiner als die gesuchte Zahl ist. Sie bekommt also die Ziffer $1$. Wir veranschaulichen die Umrechnung ins Binärsystem in einer Tabelle:

Wir rechnen $13-8$ und erhalten als Rest $5$. Die nächstkleinere Zweierpotenz ist $2^{2} = 4$. Da $4$ kleiner als $5$ ist, schreiben wir auch an diese Stelle die Ziffer $1$.

Wir rechnen $13-8-4 = 1$. Wir haben also einen Rest von $1$. Die nächstkleinere Zweierpotenz ist $2^{1} = 2$. Diese ist größer als $1$ – daher schreiben wir an diese Stelle eine Null. Erst an die letzte Stelle, die mit $2^{0}=1$ die Einerstelle darstellt, schreiben wir wieder eine $1$.

Damit haben wir die Zahl $[13]_{10}$ ins Binärsystem umgerechnet:

$[13]_{10} = [1101]_{2}$

Will man eine Zahl aus dem Binärsystem ins Dezimalsystem umrechnen, geht man ähnlich vor. In diesem Fall addiert man den Stellenwert aller Zweierpotenzen, an deren Stelle eine Eins steht. In unserem Beispiel $[1101]_{2}$ können wir direkt aus der Tabelle ablesen:

$1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0\cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 8 + 4 + 0 + 1 = [13]_{10}$

Binärsystem – Anwendung

Das Binärsystem findet insbesondere in Computern Anwendung. Du hast sicher schon die Bezeichnungen $8~\text{Bit}$, $16~\text{Bit}$, $32~\text{Bit}$ und $64~\text{Bit}$ gehört. Diese Bezeichnungen geben an, wie viele Stellen des Binärsystems ein Computer bzw. Betriebssystem nutzen kann. Bei $8~\text{Bit}$ sind es genau acht Stellen. Mit $8~\text{Bit}$ lassen sich die Zahlen $0$ bis $255$, also insgesamt $256$ Zahlen, darstellen. Damit konnten frühe Computer beispielsweise $256$ Farben codieren. Heutzutage sind viel mehr Farben bzw. Zustände möglich:

Das Video zum Binärsystem

In diesem Video wird dir das Binärsystem einfach erklärt. Du erfährst, was das Binärsystem ist und wie du Zahlen vom Dezimal- ins Binärsystem umrechnen kannst. Neben Text und Video findest du auch eine Übung, mit der du dein neues Wissen gleich überprüfen kannst.