C14-Methode (Übungsvideo)

Guten Tag und willkommen beim Übungsvideo zum Thema C14-Methode. Wir werden hier zwei Beispielaufgaben zu diesem Thema berechnen. Als Grundlage solltet ihr natürlich schon über das Prinzip der C14-Altersbestimmung informiert sein und auch ein wenig Wissen zu Exponentialfunktionen ist nötig, denn Grundlagen sollen hier nicht behandelt werden. Wie ihr wisst, dient die C14-Methode der ungefähren Altersbestimmung von Organismen, also Lebewesen und Pflanzen nach deren Absterben. Die Grenzen der Anwendbarkeit liegen hierbei bei einigen hundert bis ca. 60.000 Jahren. Beginnen werde ich mir der Zerfallsfunktion für die C14-Methode. Ich zeige euch die zu verwendende Formel und erkläre euch ihren Aufbau. Danach betrachten wir einmal eine theoretische Altersbestimmung eines gut konservierten Pharaos und als zweites Beispiel wollen wir uns überlegen, wie dessen C14-Konzentration in der Zukunft aussieht. Doch beginnen wir erstmal kurz mit dem mathematischen Aufbau. Der radioaktive Zerfall unterliegt einer Exponentialfunktion, genauer: einer Formel in der Form C = C₀ * e^-at. C steht hierbei für die Konzentration an C14-Isotopen in einer Probe zum Zeitpunkt t. Das t steht also für die Zeit. Das C₀ ist die Anfangskonzentration, beschreibt also die Menge an Kohlenstoff 14, als der Organismus gestorben ist oder anders gesagt: zum Zeitpunkt t=0l. Diese Anfangskonzentration lässt sich aus der Menge an normalem C zwölf Kohlenstoff bestimmen und beträgt circa 10^-12 mal dessen Konzentration, die wir leicht messen können. Sie wird meist aus Vergleichsproben bestimmt. Das Minus in der Formel zeigt uns nur an, dass die C14-Konzentration mit der Zeit abnimmt. Das a ist ein Abklingfaktor. Er legt die Halbwertszeit fest und gibt an, wie schnell die Kohlenstoff-Atome zerfallen. Berechnen lässt sich dieser Abklingfaktor leicht aus der Halbwertszeit über t 1/2 = ln(2) / a. ln steht für den natürlichen Logarithmus zur Basis e und t 1/2 ist natürlich die Halbwertszeit. Mit diesem gesammelten Wissen können wir uns nun den konkreten Rechnungen zuwenden. In der ersten Aufgabe wollen wir uns der Altersbestimmung einer Mumie widmen. Wir wollen wissen: Wie alt ist die Mumie, wenn sich derzeitig circa zwei Komma fünf mal zehn hoch acht C14-Atome pro Gramm nachweisen lassen. Als weiterhin bekannt sehen wir die Halbwertszeit des Isotops mit t 1/2 gleich 5.730 Jahre an. Außerdem kennen wir die durchschnittliche Konzentration an C14-Isotopen in einem lebenden Menschen. Die beträgt in diesem Beispiel vier mal zehn hoch acht Atome pro Gramm Gewebe und stellt unsere Anfangskonzentration dar. Beginnen werden wir mit unserer Rechnung bei der allgemeinen Zerfallsgleichung, also der Exponentialfunktion C = C₀ * e^-at. Da wir die Zeit suchen, müssen wir hiernach umstellen. Als Erstes müssen wir hierfür die Konstante von der e-Funktion trennen. Wir teilen also durch C₀. Anschließend ziehen wir den natürlichen Logarithmus aus beiden Seiten, denn dies ist die Gegenoperation der e-Funktion. Diese verschwindet rechts und es bleibt nur noch der Exponent -at stehen. Links bleibt ein ln(C/C₀). Nun müssen wir nur noch durch -a teilen, um das t auf einer Seite allein stehen zu haben. Unsere Formel lautet also vorerst: ln(C/C₀)/-a = t. Hier werden meist jedoch noch zwei kleine Vereinfachungen durchgeführt. Aufgrund der Logarithmusgesetze kann man das Minus im Nenner neutralisieren, wenn man dafür den Kehrwert im Logarithmus bildet, denn es gilt: ln(a/b) = -ln(b/a). Außerdem können wir für den Abklingfaktor a die vorhin angegebene Formel angeben. Dadurch brauchen wir a nicht explizit zu berechnen und bekommen eine einfache Formel, in der nur die Konzentration und die Halbwertszeit enthalten sind. Es gilt: a = ln2/(t 1/2). Wir teilen durch a, also müssen wir mit dem Kehrwert multiplizieren. Unsere endgültige Formel lautet somit: t = t 1/2 * ln(C₀/C) / ln2. Da wir bisher keine Angaben aus der konkreten Aufgabe verwendet haben, lässt sich diese Formel natürlich allgemein für alle Rechnungen dieser Art verwenden. Um unsere Aufgabe zu lösen, müssen wir nun lediglich die konkreten Daten eingeben. Wir erhalten t ist gleich 5.730 Jahre mal ln von vier mal zehn hoch acht Atome pro Gramm durch zwei Komma fünf mal zehn hoch acht Atome pro Gramm durch ln zwei. Oder nach dem Kürzen: t = 5.730 Jahre * ln(4/2,5) / ln2. Das ergibt ausgerechnet circa 3.900 Jahre. Das alte ägyptische Reich hat grob in der Zeit von 4.000 vor Christus bis zu dessen Geburt existiert. Das Ergebnis ist also plausibel. Nun wollen wir ein zukünftiges Ereignis berechnen. Wir fragen uns: Wie hoch wird die C14-Konzentration der Mumie in circa 1.000 Jahren sein? Hierfür nehmen wir natürlich wieder unsere anfängliche Formel zur Hand: C = C₀ * e^-at. Die bekannte Halbwertszeit und Anfangskonzentration bleiben natürlich erhalten. Alles, was wir nun noch brauchen, ist der Abklingfaktor. Natürlich könnten wir die Formel für a auch wieder in die Exponentialfunktion einsetzen, um so eine allgemeine Formel zu erhalten. Wir berechnen hier den Abklingfaktor aber einmal explizit, um ein Gefühl für die Größe zu erhalten. Wir setzen also die bekannte Halbwertszeit ein: a = ln(2) / t 1/2. Das ergibt circa 1,21 * 10^{-4(1/Jahre). Da unsere Mumie momentan circa 3.900 Jahre alt ist, wird unser t in weiteren tausend Jahren circa 4.900 Jahre betragen. Die beiden Werte setzen wir in unsere Funktion ein und erhalten: C ist gleich vier mal zehn hoch acht Atome pro Gramm mal e hoch Minus eins Komma eins, zwei mal zehn hoch Minus vier, eins durch Jahre mal 4.900 Jahre. Die Halbwertszeit brauchen wir nun nicht mehr, denn sie steckt im Abklingfaktor drin. Ausgerechnet erhalten wir für die Konzentration in tausend Jahren einen Wert von circa 2,2108 Atome pro Gramm. Man erkennt hierbei gut den Exponentialcharakter durch den die Konzentration immer langsamer fällt. Die konkreten Berechnungen zur C14-Methode beziehen sich in der Regel auf eine simple Formel, die vonnöten umgestellt werden kann. Wichtig ist, daran zu denken, dass man in passenden Einheiten rechnet und sich etwas mit den Regeln von Exponentialfunktionen und Logarithmen vertraut macht. Ich verabschiede mich von euch und wünsche noch viel Spaß beim Üben. Euer Philip Physik.}