Energie eines harmonischen Oszillators

Die Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators

Du weißt schon, was harmonische mechanische Schwingungen sind und wie man ein Federpendel mathematisch beschreiben kann. Wir wollen dieses Vorwissen im Folgenden dazu verwenden, um die periodische Umwandlung von Energie im harmonischen Oszillator zu beschreiben.

Harmonischer Oszillator – Energieumwandlung

Wir überlegen uns zunächst, in welchen Formen Energie während eines Schwingungsvorgangs im harmonischen Oszillator auftritt. Dazu betrachten wir ein Federpendel wie in der unten stehenden Abbildung gezeigt: Eine Masse $m$ ist an einer Schraubenfeder befestigt. Wir vernachlässigen außerdem Reibungsverluste, sodass die Schwingungsamplitude zeitlich konstant bleibt.

Wenn das Pendel schwingt, treten genau zwei Energieformen auf. Wenn sich das Pendel bewegt, hat es kinetische Energie. Und wenn die Feder gestaucht oder gedehnt ist, hat sie potenzielle Energie. Bei Federn spricht man auch von Spannenergie.

Wir betrachten nun zwei besondere Punkte eines Schwingungsvorgangs. Zunächst soll das Federpendel sich in seiner maximalen Auslenkung befinden. Die Feder ist dann gespannt und hat nach dem hookeschen Gesetz die potenzielle Energie $E_{pot} = \frac{1}{2}kA^{2}$ gespeichert. Dabei spielt es bei einer idealen Feder keine Rolle, ob sie gespannt oder gestaucht ist. Entscheidend ist nur, wie weit sie aus ihrer Ruhelage ausgelenkt ist.

In der Formel ist $k$ die Federkonstante und $A$ die Amplitude der Schwingung. Da die Punkte der maximalen Auslenkung zugleich die Umkehrpunkte der Bewegung sind, sich also die Bewegungsrichtung ändert, ist die Geschwindigkeit an genau diesem Punkt null. Das bedeutet, dass das Pendel an diesem Punkt keine kinetische Energie hat, also $E_{kin} = 0$ gilt.

Sobald die Feder sich entspannt, beschleunigt die Masse $m$ und potenzielle Energie wird in kinetische Energie umgewandelt. Beim Durchqueren der Ruhelage ist die Feder vollkommen entspannt und hat keine potenzielle Energie mehr gespeichert. Dafür hat die Masse $m$ an diesem Punkt ihre maximale Geschwindigkeit, also kinetische Energie, erreicht. Es gilt:

$E_{kin} = \frac{1}{2}mv_{max}^{2}$

Nach Durchqueren der Ruhelage bewegt sich die Masse weiter, wodurch die Feder wieder gespannt wird. Die Geschwindigkeit nimmt dabei ab, weil die kinetische Energie wieder in potenzielle Energie der Feder umgewandelt wird. Sobald die kinetische Energie komplett umgewandelt wurde, die Geschwindigkeit also wieder null beträgt, ist wieder ein Umkehrpunkt erreicht. Die Feder beginnt, sich zu entspannen und die potenzielle Energie wird wieder in kinetische umgewandelt. Im idealen Fall, also unter Vernachlässigung von Reibungsverlusten, würde dieser Vorgang ewig weiterlaufen.

Zwischen der maximalen Auslenkung und der Ruhelage teilt sich die Gesamtenergie des Systems immer auf die beiden Energieformen $E_{kin}$ und $E_{pot}$ auf.

Wie genau diese Aufteilung aussieht, können wir uns mithilfe der Formel für die potenzielle Energie und der Formel für die Auslenkung des Pendels, die in unserem Video zur mathematischen Beschreibung des Federpendels hergeleitet wird, überlegen.

Harmonischer Oszillator – Herleitung der Formeln für die Energie

Die Größe der potenziellen Energie hängt davon ab, wie stark die Feder aus ihrer Ruhelage ausgelenkt ist. Wir müssen in der Formel für die potenzielle Energie also die Amplitude $A$ mit der zeitlich veränderlichen Auslenkung $y(t)$ ersetzen:

$E_{pot}(t) = \frac{1}{2}k(y(t))^{2}$

Die Formel für die Auslenkung $y(t)$ lautet:

$y(t) = A \sin( \sqrt{\frac{m}{k}} t )$

In dieser Formel ist $m$ die Masse des Pendels und $k$ die Federkonstante. Die rechte Seite dieser Gleichung setzen wir für $y(t)$ in die Formel für die potenzielle Energie ein:

$E_{pot}(t) = \frac{1}{2}k( A \sin( \sqrt{\frac{m}{k}} t ) )^{2}$

Nach Umformen erhalten wir:

$E_{pot}(t) = \frac{1}{2}kA^{2} \sin^{2}( \sqrt{\frac{m}{k}} t ) $

Damit haben wir eine Formel für den zeitlichen Verlauf der potenziellen Energie des harmonischen Oszillators. Wir wollen noch eine Formel für den zeitlichen Verlauf der kinetischen Energie bestimmen. Für die kinetische Energie gilt allgemein:

$E_{kin}(t) = \frac{1}{2}m v^{2}(t)$

Für die Geschwindigkeit der Masse im harmonischen Oszillator gilt:

$v(t) = A \sqrt{\frac{m}{k}} \cos(\sqrt{\frac{m}{k}}t)$

Diesen Term setzen wir für $v(t)$ in die Formel für die kinetische Energie ein:

$E_{kin}(t) = \frac{1}{2}m ( A \sqrt{\frac{m}{k}} \cos(\sqrt{\frac{m}{k}}t) )^{2}$

Nach Umformen erhalten wir:

$E_{kin}(t) = \frac{1}{2} \frac{m^{2}}{k} A^{2} \cos^{2}(\sqrt{\frac{m}{k}}t)$

Damit haben wir auch eine Formel für den zeitlichen Verlauf der kinetischen Energie. In der folgenden Abbildung sind beide Verläufe graphisch dargestellt.

Die horizontale Linie ist die Gesamtenergie $E_{Ges}$. Sie ist eine Konstante. Ihren Wert kennen wir schon, er ist:

$E_{Ges} = \frac{1}{2}kA^{2}$

Das ist gerade der Wert, den wir für die potenzielle Energie bei maximaler Auslenkung aufgeschrieben hatten. Da zu diesem Zeitpunkt die kinetische Energie gleich null ist und sich die Gesamtenergie aus kinetischer und potenzieller zusammensetzt, muss es sich gleichzeitig um den Wert für die Gesamtenergie handeln. Dass sich dieser Wert auch für jeden einzelnen Zeitpunkt einer Schwingung ergibt, kannst du durch Addition der beiden Gleichungen, die wir aufgestellt haben, selbst überprüfen.

Zusammenfassung zur Energie eines harmonischen Oszillators

Die wichtigsten Punkte zur Energie des harmonischen Oszillators fassen wir noch einmal stichpunktartig zusammen:

• Die Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators ist $E_{Ges} = \frac{1}{2}kA^{2}$.
• Im harmonischen Oszillator werden periodisch potenzielle und kinetische Energie ineinander umgewandelt.
• An den Umkehrpunkten der Schwingung ist die potenzielle Energie maximal und die kinetische Energie null.
• Im Durchgang durch die Gleichgewichtslage ist die potenzielle Energie null und die kinetische Energie maximal.

In diesem Video wird dir die Energie des harmonischen Oszillators auf einfache Weise erklärt. Du erfährst, welche Energieformen auftreten und wie man ihren zeitlichen Verlauf beschreibt. Video und Text werden durch interaktive Übungen ergänzt.