Millikan-Versuch – auf der Suche nach der Elementarladung

Der Millikan-Versuch und die Elementarladung

Schon in der Mitte des 19. Jahrhunderts waren sich viele Wissenschaftler sicher, dass es Elektronen geben muss, die die kleinstmögliche Ladungsmenge tragen – die Elementarladung. Wie groß diese Ladung ist, konnte allerdings erst Anfang des 20. Jahrhunderts genau gemessen werden. Dazu entwickelten die Forscher Robert Andrews Millikan und Harvey Fletcher den sogenannten Millikan-Versuch. Wie dieser aufgebaut ist und wie man mit seiner Hilfe die Elementarladung bestimmen kann, wollen wir uns im Folgenden genauer anschauen.

Millikan-Versuch – Aufbau

In der folgenden Abbildung siehst du eine Skizze des Millikan-Versuchsaufbaus:

Zwei Kondensatorplatten sind in einem vertikalen Abstand $d$ zueinander aufgebaut und werden mit der Spannung $U$ gespeist. Senkrecht zu den Platten ist eine Längenskala angebracht, die durch ein Mikroskop betrachtet werden kann. Dazu ist der Bereich zwischen den Platten außerdem mit einer hellen Lampe beleuchtet. Mit einem Zerstäuber können Öltröpfchen zwischen die beiden Platten eingebracht werden.

Millikan-Versuch – Erklärung

Um zu verstehen, wie wir mithilfe des Millikan-Versuchs die Elementarladung bestimmen können, müssen wir uns seine Durchführung anschauen. Dabei gibt es zwei Phasen: die Schwebephase und die Sinkphase.

Die Schwebephase

Zunächst werden Öltröpfchen mit dem Zerstäuber zwischen die Kondensatorplatten gebracht. Die Tröpfchen sind so fein, dass sie nur mit speziellen Mikroskopen beobachtet werden können.

Durch das Mikroskop wählen wir ein Tröpfchen zur Beobachtung aus. Es bleibt aufgrund seiner geringen Größe lange in der Luft, da diese eine Auftriebskraft auf das Tröpfchen bewirkt. Aufgrund seiner Gewichtskraft beginnt es allerdings dennoch, langsam abzusinken. Jetzt kommt der Kondensator ins Spiel. Durch den Zerstäubungsprozess sind die Tröpfchen während ihrer Entstehung Reibung ausgesetzt, wodurch sich manche von ihnen elektrostatisch aufladen. Indem der Kondensator so gepolt wird, dass die obere Platte negativ geladen ist, wirkt auf positiv geladene Tröpfchen eine Kraft nach oben. Beobachten wir ein solches Tröpfchen, können wir die Spannung am Kondensator gerade so einstellen, dass es nicht mehr sinkt, sondern auf einer Höhe schwebt. Für negativ geladene Tröpfchen müsste der Kondensator entsprechend umgekehrt gepolt sein.

In diesem Schwebezustand herrscht ein Kräftegleichgewicht. Die Gewichtskraft $F_G$ des Tröpfchens wird durch die nach oben wirkende Auftriebskraft $F_A$ und die elektrische Coulombkraft $F_{el}$ genau kompensiert:

$F_G = F_A + F_{el}$

Wir nutzen nun bekannte Zusammenhänge für die einzelnen Terme. Zunächst können wir die Gewichtskraft über den Zusammenhang $F_G = \rho_{Öl} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^{3}$ darstellen, wobei $\rho_{Öl}$ die Dichte des Öls ist und $r$ der Radius des Tröpfchens. Für die Auftriebskraft setzen die Formel des statischen Auftriebs ein, also $F_A = g \cdot \rho_{Luft} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^{3}$ mit der Dichte der Luft $\rho_{Luft}$. Die Coulombkraft, die auf eine Ladung $Q$ im elektrischen Feld wirkt, können wir mit $F_{el} = Q \cdot E$ ersetzen. Nach Einsetzen kann noch vereinfacht werden. Insgesamt erhalten wir:

$Q = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot g \cdot \rho’ \cdot \frac{d}{U} \cdot r^{3}$

Dabei ist $g$ die Erdbeschleunigung, $d$ der Plattenabstand, $U$ die an den Kondensator angelegte Spannung und $\rho’ = \rho_{Öl} - \rho_{Luft}$ die reduzierte Dichte. Wir kennen fast alle Größen aus dieser Gleichung – nur den Radius $r$ des Tröpfchens nicht. (Anmerkung für Interessierte: Die Tröpfchen sind so klein, dass wir im Mikroskop genau genommen nicht die Tröpfchen, sondern nur ihre Beugungsringe sehen können. Deswegen können wir ihre Größe nicht einfach abmessen.) Um den Radius des Tröpfchens zu bestimmen, können wir aber die Sinkphase ausnutzen.

Die Sinkphase

Um die Sinkphase beobachten zu können, schalten wir die Spannung am Kondensator ab. So fällt die nach oben wirkende Kraft $F_{el}$ weg und das Tröpfchen beschleunigt nach unten. Sobald es eine konstante Sinkgeschwindigkeit $v$ erreicht hat, herrscht wieder ein Kräftegleichgewicht. Dieses Mal zwischen der Gewichtskraft $F_G$, der Auftriebskraft $F_A$ und der Reibungskraft $F_R$. Für die Reibungskraft gilt die Formel der stokesschen Reibung:

$F_R = 6 \cdot \pi \cdot r \cdot \eta \cdot v$

Dabei ist $r$ wieder der Radius des Tröpfchens und $\eta$ die Viskosität von Luft. Diese können wir in einem Tafelwerk nachschlagen. Damit können wir durch Messung der konstanten Sinkgeschwindigkeit den Radius des Tröpfchens bestimmen. Setzen wir diesen Zusammenhang in die Gleichung aus der Schwebemethode ein, erhalten wir für den Millikan-Versuch die Formel:

$Q = 9 \cdot \sqrt{2} \cdot \pi \cdot \frac{d}{U} \sqrt{ \frac{ \eta^{3} \cdot v^{3} }{ \rho’ \cdot g } }$

Diese Formel alleine enthält allerdings noch keine Aussage zur Elementarladung des Elektrons, deren Bestimmung das eigentliche Ziel des Experiments ist. Denn die Ladung $Q$, die durch diese Formel berechnet werden kann, ist die Gesamtladung eines Tröpfchens. Da die Tröpfchen aus einer Vielzahl von Atomen bestehen, ist die Wahrscheinlichkeit sehr gering, dass sie nur eine einzige Elementarladung tragen.

Um dennoch die Größe der Elementarladung herauszufinden, müssen wir das Experiment viele Male wiederholen und immer unterschiedliche Tröpfchen beobachten, die unterschiedlich stark geladen sind. Mithilfe eines Diagramms können wir dann die Elementarladung bestimmen.

Millikan-Versuch – Diagramm

Um das Experiment auszuwerten, müssen wir ein Diagramm erstellen, indem wir die Ladung der einzelnen Tröpfchen auf der y-Achse auftragen. Auf der x-Achse tragen wir den Teilchenradius ein. Ein Diagramm für um die $50$ Versuche sieht in etwa wie folgt aus:

Auf der y-Achse ist die Ladung $Q$ der einzelnen Tröpfchen in Coulomb eingezeichnet, auf der x-Achse der Radius $r$ in Metern. Nach einer ausreichenden Zahl an Messungen können wir das gezeigte Muster erkennen: Die Ladungen $Q$ der Tröpfchen scheinen sich um bestimmte Messwerte zu gruppieren, die immer gleiche Abstände zueinander haben. Es gibt also einen kleinsten gemeinsamen Teiler der Messwerte – und dieser entspricht gerade der Elementarladung $e$ des Elektrons. Ihr Wert beträgt:

$e = 1,602 \cdot 10^{-19}~\text{C}$

Die Elementarladung ist eine Naturkonstante. Das bedeutet, dass ihr Wert mittlerweile exakt definiert ist, weil sich andere Größen von der Elementarladung ableiten lassen. Die Elementarladung ist die kleinste Ladung, die in der Natur vorkommt. Jede Ladung, die größer als $e$ ist, ist also ein ganzzahliges Vielfaches davon:

$Q = N \cdot e ~ ~ ~ \text{mit} ~ ~ ~ N=0,1,2,3,...$

Ein Elektron trägt genau eine negative Elementarladung, also:

$Q_e = -1e$

Ein Proton trägt genau eine positive Elementarladung, also:

$Q_P = 1e$