Phasenverschiebung

Phasenverschiebung Übung

• Gib die richtige mathematische Darstellung der Phasenverschiebung an.

  Tipps

  Sowohl $\Delta \varphi$ als auch $\varphi_u$ und $ \varphi_I$ sind Winkel.

  Die Phasenverschiebung könnte man auch als Phasendifferenz bezeichnen.

  Lösung

  Der Unterschied der Phasen der einzelnen Schwingungen wird mittels deren Differenz angegeben.

  Für den Phasenunterschied gilt also : $\Delta \varphi = \varphi_u - \varphi_I$.

  Wir betrachten dabei zwei Schwingungen mit gleicher Schwingungsdauer $T$. Die Indices beziehen sich auf die Bezeichnungen der Schwingungen. Hier betrachten wir demnach eine Schwingung $U(t)$ im Verhältnis zu einer Schwingung $I(t)$.

  Im Weiteren wollen wir uns einmal überlegen, welche Sonderfälle auftreten können.

  Ist die Phasenverschiebung ganzzahlig, so treten immer zu gleichen Zeitpunkten $t$ die Amplituden der Schwingungen auf. Der Unterschied besteht hier darin, dass die Schwingungen ihre Maxima unterschiedlich oft durchlaufen haben, denn eine der beiden muss später gestartet sein.

  Ergibt sich für die Phasenverschiebung $ 0,5 + n$, so finden wir immer dann ein Maximum bei der einen Schwingung, wenn die andere ein Minimum durchläuft.

  Diese beiden Sonderfälle sind meist leicht an der grafischen Darstellung nachzuvollziehen.

• Gib an, wann eine Phasenverschiebung vorliegt.

  Tipps

  Die Schwingungen müssen vergleichbar sein.

  Die Periodendauern müssen daher gleich sein.

  Lösung

  Zwischen zwei Sinusschwingungen besteht eine Phasenverschiebung $\Delta \varphi$, wenn sie die gleiche Periodendauer $T$ haben, ihre Maxima jedoch zu unterschiedlichen Zeitpunkten erreichen.

  Damit wir von einer Phasenverschiebung reden können, müssen wir also zunächst sicherstellen, dass die verglichenen Schwingungen die gleiche Periodendauer $T$ haben. Wäre dies nicht der Fall, so könnten wir diese nicht vergleichen und keine Aussage über die Verschiebung der Phasen treffen.

  Ist dieses Kriterium erfüllt, müssen wir betrachten, zu welchen Zeitpunkten $T$ die unterschiedlichen Schwingungen ihre Maxima erreichen. Der Unterschied zwischen den Zeitpunkten, zu denen diese erreicht werden, wird als Phasenverschiebung bezeichnet.

  Stelle dir hier zwei Schaukeln vor. Auf beiden Schaukeln sitzt jeweils ein Kind. Das Schwingverhalten der Schaukeln sei zudem gleich, sodass beide die gleiche Periodendauer haben. Lenken wir nun eine Schaukel nach vorne und eine nach hinten aus, so sind die Schwingungen zwar ähnlich jedoch nicht identisch. Immer wenn eine der beiden Schaukeln ihre maximale Auslenkung nach vorne erfährt, ist die andere maximal nach hinten ausgelenkt. Sie sind also phasenverschoben. Um dieses Gedankenexperiment nun physikalisch korrekt und vollständig zu erfassen, muss diese Tatsache mittels der Phasenverschiebung berücksichtigt werden.

• Untersuche die mathematischen Darstellungen der Schwingung.

  Tipps

  Der Strom eilt der Spannung voraus.

  Für $\Delta \varphi $ gilt $90° = \frac{\pi}{2} = \frac{T}{4}$.

  Lösung

  Die Phasenverschiebung kann in unterschiedlichen Darstellungen angegeben werden.

  Um diese richtig zu verstehen, müssen wir also auch die Umrechnungen nachvollziehen können.

  Generell wird unterschieden zwischen der Phasenverschiebung als Funktion der Umlaufdauer in Abhängigkeit des Bogenmaßes sowie der Darstellung im Gradmaß.

  In allen Fällen nehmen wir an, dass der Strom der Spannung um $90°$ vorauseilt. Rechnen wir diese um, so ergibt sich $90° = \frac{\pi}{2} = \frac{T}{4}$.

  Um nun die passende Schwingung des Stromes seiner Spannung zuzuordnen, müssen wir also $90° = \frac{\pi}{2} = \frac{T}{4}$ addieren, je nachdem, welches Maß angegeben ist.

  Betrachten wir ein Beispiel:

  Gegeben ist die Schwingung $ U \cdot \sin(\omega \cdot t)$. Der korrespondierende Strom muss nun vorauseilen, also positiv phasenverschoben sein. Die Phasenverschiebung beträgt $ \Delta \varphi = \frac{T}{4}$. So ergibt sich für $I$:

  $ I \cdot \sin(\omega \cdot t + \frac{T}{4})$.

• Bestimme die Phasenverschiebungen zwischen Spannung und Strom.

  Tipps

  Die Phasenverschiebung ist unterschiedlich, je nachdem, welches Bauteil betrachtet wird.

  Die Phasenverschiebung gibt den zeitlichen Unterschied der Strom- und Spannungsspitzen an.

  Lösung

  Betrachtet man die Veränderung der Strom-Spannungs-Phase eines Wechselstroms an unterschiedlichen Bauteilen im Stromkreis, so zeit sich jeweils ein charakteristisches Verhalten.

  Wir unterscheiden hier nach Ohm'schem Widerstand, Spule und Kondensator.

  Am Ohm'schen Widerstand ist keine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung zu ermitteln. Hier ist also die $ \varphi = 0$. Dies gilt auch für einen Leiter, der kaum einen elektrischen Widerstand aufweist.

  Anders ist es bei der Spule. Hier ist eine Phasenverschiebung von $ \Delta \varphi = \frac{3 \pi}{2} $ zu messen. Das bedeutet, der Strom folgt der Spannung nach

  Am Kondensator beträgt die Phasenverschiebung $ \Delta \varphi = \frac{\pi}{2} $ oder $ 90 °$.

  Wird kein Bauteil eingebracht, so tritt auch keine Phasenverschiebung auf, und wir müssen diese nicht berücksichtigen.

• Gib an, wann zwei Schwingungen „in Phase" sind.

  Tipps

  Ein Phasenunterschied kann auf einem Gangunterschied beruhen.

  Zwei Schwingungen sind in Phase, wenn sie stets zeitgleich ihre Maxima erreichen.

  Lösung

  Zwei Schwingungen sind dann "in Phase", wenn sie einen Gangunterschied von $ \Delta \varphi = 0 $ aufweisen.

  Dazu müssen die beiden betrachteten Schwingungen die gleiche Umlaufdauer $T$ haben, da sonst ein Vergleich nicht möglich ist.

  Wird etwa ein elektrisches Signal an einem ohm'schen Widerstand verzögert, so stellt sich - im Vergleich zum unbeeinflussten Signal - ein Phasenunterschied ein. Das bedeutet, die Maxima der einzelnen Schwingungen werden zeitverschoben erreicht.

  Die Frequenzen müssen entsprechend der Äquivalenz der Umlaufdauer dabei ebenfalls aufeinander abgestimmt sein.

  Es liegt ein Vergleich zur Interferenzbedingung nahe: der Kohärenz. Auch hier müssen zwei betrachtete Lichtwellen, die sich als Schwingungen in Zeit und Raum ausbreiten, die gleiche Schwingungsdauer und damit Frequenz haben. Ansonsten wäre eine Vorhersage des Interferenzmusters unmöglich.

• Gib die Phasenverschiebung im Bogenmaß, Grundmaß und als Anteil der Umlaufdauer an.

  Tipps

  Ein Kreis hat $ \varphi = 360°$.

  Der Kreisumfang beträgt $ 2 \pi$.

  Lösung

  Um die Verschiebung der Phasen mathematisch zu beschreiben, kann man unterschiedliche Ansätze nutzen.

  Man behilft sich dabei der Tatsache, dass sich die Schwingung analog zur einer Kreisbewegung verhält, so wie etwa der Zeiger einer Uhr. Diesem können wir stehts einen Winkel $\phi$ und ein Bogenmaß in Abhängigkeit von der Kreiszahl $\pi$ zuordnen. Außerdem können wir die Schwingung als einen Bruchteil der gesamten Schwingungsdauer $T$ angeben.

  Somit erhalten wir drei unterschiedliche Einheiten, in denen wir die Phasenverschiebung angeben können. So entspricht eine Verschiebung um Winkel $0°$ dem Bogenmaß $0 \pi$ sowie der anteiligen Umlaufdauer von $ 0 T $.

  Da wir eine Betrachtung am Kreis machen, reproduziert sich die Schwingung alle $ \varphi = 360°$ oder nach jeder Periode $ 1 T $ sowie nach dem Umlauf der Strecke $ 2 \pi$.

  Damit kannst du nun ermitteln, wie du einen Winkel von $180°$ in Anteilen der Periodendauer $ = \frac{T}{2} $ oder dem Bogenmaß $ = \pi$ angibst.

  Analog dazu kannst du nun die weiteren Beispiele lösen. Viel Spaß dabei!