Spezifische Ladung des Elektrons – Ermittlung mit Fadenstrahlrohr und Helmholtzspule

Die Bestimmung der spezifischen Ladung eines Elektrons mit dem Fadenstrahlrohr

Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, wie man mithilfe eines Fadenstrahlrohrs die spezifische Ladung eines Elektrons bestimmen kann und weshalb diese Größe von Bedeutung ist. Dazu schauen wir uns zunächst an, was die spezifische Ladung überhaupt ist und wie ein Fadenstrahlrohr aufgebaut ist.

Die spezifische Ladung

In der Physik bezeichnet man das Verhältnis von Ladung $Q$ zu Masse $m$ eines Körpers als seine spezifische Ladung. Sie gibt also an, wie viel Ladung ein Körper pro Masseeinheit hat. Die Einheit der spezifischen Ladung ist daher Coulomb pro Kilogramm beziehungsweise Amperesekunde pro Kilogramm:

$ \left[ \frac{Q}{m} \right] = \frac{ \text{C} }{ \text{kg} } = \frac{ \text{As} }{ \text{kg} } $

Wenn man die spezifische Ladung und die Ladung eines Körpers kennt, kann man so seine Masse bestimmen. Im Falle des Elektrons kennen wir seine Ladung bereits aus dem Millikan-Versuch. Wenn wir die spezifische Ladung messen, können wir so die Masse des Elektrons bestimmen.

Das Fadenstrahlrohr

Das Fadenstrahlrohr ist ein experimenteller Aufbau, in dem die Wirkung der Lorentzkraft auf bewegte Ladungen in Magnetfeldern ausgenutzt wird, um die spezifische Ladung zu ermitteln. Das Experiment ist folgendermaßen aufgebaut:

Der Glaskolben ist bei sehr niedrigem Druck von einigen $10^{-6}~\text{bar}$ mit einem Edelgas wie beispielsweise Argon gefüllt. Der Glaskolben befindet sich in einer Helmholtzspule. Als Helmholtzspule bezeichnet man eine spezielle Anordnung von zwei großen, von Gleichstrom durchflossenen Spulen. Sie sind derart angeordnet, dass sich zwischen den einzelnen Spulen ein annähernd homogenes Magnetfeld ausbildet. Innerhalb des Kolbens befindet sich außerdem eine Elektronenkanone. Durch eine Heizspannung $U_H$ werden hier Elektronen aus einem Heizdraht ausgelöst und anschließend durch die Beschleunigungsspannung $U_B$ beschleunigt.

Wie funktioniert das Fadenstrahlrohr?

Nachdem die Elektronen mit der Ladung $q$ durch die Beschleunigungsspannung $U_B$ beschleunigt wurden, haben sie eine Geschwindigkeit $v$, die mit der kinetischen Energie $E_{kin} = qU_B$ zusammenhängt. Mit dieser Geschwindigkeit bewegen sie sich senkrecht zu dem von der Helmholtzspule erzeugten Magnetfeld $B$. Dadurch wirkt auf die Elektronen die Lorentzkraft $F_L = q \cdot v \cdot B$. Die Kraft zwingt die Elektronen auf eine Kreisbahn, deren Radius von der Geschwindigkeit der Elektronen und der Stärke des Magnetfeldes vorgegeben wird. Während die Elektronen sich durch den Kolben bewegen, stoßen sie mit Edelgasatomen zusammen und regen sie dabei zum Leuchten an. Dadurch können wir die Bahn der Elektronen als leuchtenden Streifen sehen und den Radius der Kreisbahn messen.

Jetzt können wir eine Formel aufstellen, um die spezifische Ladung des Elektrons zu bestimmen. Wir haben schon festgestellt, dass sich die Elektronen durch die Lorentzkraft $F_L$ auf einer Kreisbahn bewegen. Das bedeutet, dass die Lorentzkraft als Zentripetalkraft $F_Z$ wirkt. Es gilt also:

$F_L = F_Z$

Setzen wir die bekannten Formeln für die Lorentz- und die Zentripetalkraft ein, erhalten wir:

$q \cdot v \cdot B = m_e \cdot \frac{v^{2}}{r}$

Darin ist $m_e$ die Masse des Elektrons, $v$ seine Geschwindigkeit und $r$ der Radius der Kreisbahn. Das Verhältnis aus $q$ und $m_e$ wollen wir bestimmen, $B$ und $r$ können wir messen. Wir brauchen also noch eine Formel für die Geschwindigkeit $v$, die wir nicht direkt messen können. Wir hatten schon gesagt, dass sie mit der kinetischen Energie zusammenhängt, die die Elektronen durch die Beschleunigungsspannung $U_B$ erhalten, also:

$E_{kin} = qU_B$

Darin können wir die Formel für die kinetische Energie ausschreiben:

$\frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^{2} = q \cdot U_B$

Diesen Ausdruck müssen wir noch nach $v^{2}$ umstellen und anschließend die Wurzel ziehen. So erhalten wir:

$v = \sqrt{ \frac{ 2 \cdot q \cdot U_B }{ m_e } }$

Das können wir nun in die erste Gleichung einsetzen. Vorher quadrieren wir diese allerdings, damit wir keine Wurzelterme mehr betrachten müssen:

$q^{2} \cdot v^{2} \cdot B^{2} = m_e^{2} \cdot \frac{v^{4}}{r^{2}}$

Jetzt setzen wir für $v$ ein:

$q^{2} \cdot \frac{ 2 \cdot q \cdot U_B }{ m_e } \cdot B^{2} = m_e^{2} \cdot \frac{ \left( \frac{ 2 \cdot q \cdot U_B }{ m_e } \right)^{2} }{r^{2}}$

Diesen Ausdruck können wir noch vereinfachen. Zunächst können wir auf beiden Seiten durch $\frac{ 2 \cdot q \cdot U_B }{ m_e } $ teilen, anschließend können wir auf beiden Seiten durch $q$ teilen und auf der rechten Seite $m_e^{2}$ mit $m_e$ kürzen. So erhalten wir:

$q \cdot B^{2} = \frac{m_e}{r^{2}} \cdot 2 \cdot U_B$

Jetzt teilen wir auf beiden Seiten durch $m_e$ und $B^{2}$ und erhalten als endgültige Formel:

$\frac{q}{m_e} = \frac{2\cdot U_B}{B^{2} \cdot r^{2}}$

Alle Größen der rechten Seite können wir experimentell bestimmen und damit die spezifische Ladung $q/m_e$ des Elektrons berechnen.

Die aktuell genauesten Messungen ergeben den folgenden Wert:

$\frac{q}{m_e} \approx -1,759 \cdot 10^{11}~\frac{\text{C}}{\text{kg}} = \frac{-e}{m_e}$

Die Ladung des Elektrons ist $-e$, wobei $e$ die positive Elementarladung ist. Da wir den Wert der Ladung des Elektrons bereits aus dem Millikan-Versuch kennen, können wir mithilfe dieser Formel die Masse des Elektrons bestimmen. Dazu formen wir zunächst um, indem wir mit $m_e$ multiplizieren und durch die spezifische Ladung teilen und erhalten:

$m_e \approx \frac{e}{1,759 \cdot 10^{11}~\frac{\text{C}}{\text{kg}}}$

Dann setzen wir den Wert für die Elementarladung, $e = 1,602 \cdot 10^{-19}~\text{C}$, ein und erhalten für die Masse des Elektrons:

$m_e = 9,1 \cdot 10^{-31}~\text{kg}$