Wahrscheinlichkeitsgrößen

Eine der großen Errungenschaften des ausgehenden 19. Jahrhunderts war die atomistische Theorie der Materie. Ihre große Durchschlagskraft erhielt diese Theorie durch die Möglichkeit, durch stochastische Betrachtungen von mikroskopischen Prozessen makroskopische Eigenschaften der Materie herzuleiten. In diesem Video lernst du die Grundlagen solcher stochastischen Betrachtungen.

Videoübersicht

Dafür wiederholen wir im ersten Teil die Konzepte des thermodynamischen Systems und des Gleichgewichts. Wir klären was ein Zufallsexperiment ist und beschäftigen uns danach mit den Begriffen Teilbereich, absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit.

Das thermodynamische Gleichgewicht

Ein thermodynamisches System ist ein räumlich begrenztes, physikalisches System. Zusätzlich muss es möglich sein, in das System einströmende und aus dem System ausfließende Energie- und Stoffmengen zu bilanzieren. Das thermodynamische System befindet sich im Gleichgewicht, wenn es möglich ist, Zustandsgrößen zu formulieren, welche das System auf makroskopischer Ebene vollständig beschreiben und sich zeitlich nicht ändern.

Solche Größen sind zum Beispiel die Temperatur oder der Druck. Diese Größen können gemessen werden. Das thermodynamische Gleichgewicht wird von realen thermodynamischen Systemen immer nur annähernd erreicht. Belässt man ein thermodynamisches System ohne Energie oder Stoffaustausch mit der Umgebung, wird es sich aber immer weiter dem Gleichgewicht nähern.

Das thermodynamische System

Auf der mikroskopischen Ebene handelt es sich bei einem thermodynamischen System um eine Ansammlung von Teilchen. Die Kenngrößen und Wechselwirkung der Teilchen bestimmen die Eigenschaften des thermodynamischen Systems. Die Gesamtheit der Zustände der einzelnen Teilchen bestimmt den Zustand des Systems.

Zustand der Teilchen

Der Zustand jedes einzelnen Teilchens wird durch Variablen wie Geschwindigkeit und Ort festgelegt. Die in der Physik betrachteten thermodynamischen Systeme enthalten meistens eine große Zahl von Teilchen. Dadurch spielt der Zustand des einzelnen Teilchens keine Rolle mehr. Man muss nur noch für jeden Zustand wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass man diesen Zustand bei einem beliebig ausgewählten Teilchen antrifft. Es reicht also, sich mit Zufallsexperimenten zu beschäftigen. Ein Zufallsexperiment hat folgende Eigenschaften:

Das Zufallsexperiment

• der Ablauf muss genau festgelegt sein
• es ist beliebig oft wiederholbar
• der Ausgang jeder einzelnen Wiederholung darf nicht vorhersagbar sein
• die möglichen Ergebnisse müssen vorher bekannt sein und es müssen mindestens zwei sein

Die Ergebnismenge

Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments wird als Ergebnismenge bezeichnet. Ein einfaches Beispiel eines Zufallsexperiments ist das Werfen eines Würfels. Die Ergebnismenge beim Würfelwurf können wir einfach ablesen. Ein Teilbereich ist eine Teilmenge der Ergebnismenge.

Die absolute und relative Häufigkeit

Ein Teilbereich der Ergebnismenge beim Wurf eines Würfels wären zum Beispiel die Seite des Würfels mit einem Punkt zusammen mit der Seite Würfels mit 3 Punkten. Angenommen wir führen ein Zufallsexperiment n-mal durch und notieren uns bei jedem Mal das aufgetretene Ergebnis. Dann können wir die absolute Häufigkeit und die relative Häufigkeit berechnen. Die absolute Häufigkeit Groß-H-n eines Ergebnisse ist die Anzahl der Durchführungen bei denen es auftrat.

Werfen wir einen Würfel 3 Mal und es erscheint 2 mal die eins und 1 mal die drei, ist die absolute Häufigkeit des Ergebnisses eins 2 und die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses drei 1. Die relative Häufigkeit Klein-h-n eines Ergebnisses ist seine absolute Häufigkeit geteilt durch die Anzahl an Durchführungen. Beim Beispiel des Würfels wären das also ⅔ für eins und ⅓ für drei. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses, gibt an, wie oft es im Mittel auftritt.

Zusammenfassung der Wahrscheinlichkeitsgrößen

Lässt man n immer größer werden, nähert sich die relative Häufigkeit immer weiter an die Wahrscheinlichkeit an. Für unseren Würfel ist die Wahrscheinlichkeit jedes der Ereignisse genau ⅙. Fassen wir zusammen: Ein Teilbereich ist eine Teilmenge der Ergebnismenge eines Zufallsexperiments.

Die absolute Häufigkeit eines Ergebnisses nach n Durchführungen Groß-H-n ist die Anzahl der Durchführungen bei denen es auftrat. Die relative Häufigkeit eines Ergebnisses nach n Durchführungen Klein-H-n ist seine absolute Häufigkeit Groß-H-n geteilt durch n. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses, gibt an, wie oft es im Mittel auftritt. Jetzt kennst du einige Grundlagen, um dich mit der mikroskopischen Beschreibung der Materie auseinanderzusetzen. Viel Spaß dabei!