Auftrieb

Auftrieb Übung

• Entscheide, welche Aussagen korrekt sind.

  Tipps

  $ F_R = F_G - F_A $

  Das Wasser in der Badewanne steigt, wenn du dich hineinsetzt.

  Im Wasser kannst du schwimmen, aber fliegen kannst du nicht.

  Lösung

  Der Auftrieb ist ein physikalisches Prinzip, welches sich auf einige, einfache Beobachtungen stützt.

  Man kann sehen, dass Wasser, durch einen Körper, verdrängt wird. Das Wasser in der Badewanne steigt, wenn du dich hineinsetzt.

  Außerdem werden Gegenstände leichter, wenn wir sie im Wasser heben. Das merkst du daran, dass du im Wasser schwimmen kannst, an der Luft wird dir das wohl nicht gelingen.

  Es muss demnach eine Kraft wirken, die der Gewichtskraft entgegenwirkt und das Schwimmen im Pool möglich macht.

  Diese Kraft bezeichnet man als Auftrieb oder Auftriebskraft $F_A$.

  Erklären können wir diese dadurch, dass ein Druckunterschied (der Druck ist eine Kraft auf einer bestimmen Fläche) zwischen der Unterseite und der Oberseite des eingetauchten Körpers besteht. Dabei ist der hydrostatische Druck auf der Unterseite höher als der auf der Oberseite und es entsteht eine resultierende Kraft, die nach oben gerichtet ist, also entgegen der Gewichtskraft $ F_G$.

  Gegenstände werden im Wasser also leichter, weil die Gewichtskraft um den Betrag der Auftriebskraft verringert wird :

  $ F_R = F_G - F_A $

• Definiere die Bedeutung der Formeln.

  Tipps

  Die Auftriebskraft ist in der Regel auf ein Volumen bezogen.

  Ein Liter Wasser wiegt ein Kilogramm.

  $ F_R = F_G - F_A $

  Lösung

  Der Auftrieb umfasst einige zentrale Begriffe. Dazu gehören die Dichte, die Auftriebskraft, die Gewichtskraft und die Druckdifferenz. Diese schauen wir uns noch einmal genauer an:

  Die Dichte ist definiert als das Verhältnis von Masse zu Volumen. Je größer dabei die Masse bei konstantem Volumen ist, desto größer ist auch die Dichte. Es gilt :

  $ \rho = \frac{m}{V} $.

  Eine Dichte, die man sich gut merken kann, ist die Dichte des Wassers:

  $ \rho_W = 1 \frac{g}{cm^3} =1000 \frac{g}{dm^3} $.

  Neben der Dichte sind insbesondere zwei Kräfte interessant: die Auftriebskraft $F_A$ und die Gewichtskraft $F_G$.

  Dabei bezeichnet man in der Regel :

  $ F_G = m \cdot g $ und $ F_A = \rho \cdot V \cdot g $

  Diese beiden Kräfte bestimmen die resultierende Kraft $F_R$ , die notwendig ist, einen Körper in einem Medium (zum Beispiel Wasser) anzuheben.

• Ermittle das Volumen des Pottwals und die Auftriebskraft, die auf diesen wirkt.

  Tipps

  Das Volumen ist über die Dichte und die Masse eines Körpers genau bestimmt

  $ 51,5 t = 51.500,000 kg $

  Vereinfachend nehmen wir an, dass $ g = 10,0 {N}{kg} $

  $ V = \frac{m}{\rho} $

  Lösung

  Das Volumen ist über die Dichte und die Masse eines Körpers genau bestimmt. Es gilt der Zusammenhang :

  $ V = \frac{m}{\rho} $.

  Ist also bekannt, welche Masse und Dichte ein Körper (oder ein Wal) hat, so können wir diese einfach in die Formel für $V$ einsetzen und erhalten das Volumen.

  Wichtig ist dabei, dass wir immer mit denselben Einheiten rechnen. Ist die Dichte etwa in $\frac{g}{cm^3}$ gegeben und die Masse in $kg$, so müssen wir eine der beiden Größen umrechnen.

  Dabei ist es meistens einfacher, die Masse anzupassen.

  Für die Berechnung unseres Wales müssen wir also zunächst sein Gewicht in $g$ umrechnen:

  $51,5 t = 51.500,000 kg = 51.500.000,000 g $

  Mit der gegebenen Dichte von $ \rho_{PW} = 1,03 \frac{g}{cm^3} $ ergibt sich also nach :

  $ V = \frac{m}{\rho} = \frac{m_{PW}}{\rho{PW}} = \frac{51.500.000,000 g}{1,03 \frac{g}{cm^3}} = 50.000.000 cm^3 $.

  Umgeformt ergibt sich ein Wert von $ V_{PW} = 50 m^3$.

  Die Auftriebskraft ergibt sich dann aus der Gewichtskraft des durch den Wal verdrängten Wasservolumens.

  Vereinfachend nehmen wir an, dass $ g = 10,0 {N}{kg} $.

  $F_{G,Wasser} = V_{PW} \cdot \rho_{Wasser} \cdot g = 50,0 m^3 \cdot 1000 \frac{kg}{m^3} \cdot 10 \frac{N}{kg} = 500.000 N = 500 kN $

• Ermittle die Dichte.

  Tipps

  $ \rho = \frac{m}{V} $

  Es soll gelten : $\rho_{Au} = \rho_K $

  Lösung

  Um die Dichte der Krone zu ermitteln, müssen wir ihr Gewicht $m_K$ und ihr Volumen $V_K$ kennen. Die Dichte errechnet sich dann leicht aus $ \rho = \frac {m}{V} $.

  Die Masse eines Gegenstandes kann man leicht mittels einer Waage ermitteln. Das konnte auch schon Archimedes.

  Er erhielt den Wert $m_K = 2123 g $.

  Das Volumen konnte man für einfache Körper wie Würfel oder Prismen schon berechnen. Eine Krone ist aber ein komplexerer Körper, sodass es einen anderen Weg geben musste, das Volumen zu bestimmen.

  Dazu konnte sich Archimedes des Phänomens der Verdrängung von Wasser durch einen Körper bedienen. Ihm fiel eines Tages auf, dass das Badewasser ansteigt, wenn er sich in eine Wanne setzt.

  Genauso muss auch die Krone das Volumen an Wasser verdrängen, welches diese selbst einnimmt.

  Archimedes konnte so mit einem einfachen Messzylinder gefüllt mit Wasser ermitteln, welches Volumen die Krone einnimmt. In unserem Beispiel beträgt das gemessene Volumen $V_K = 110 cm^3 $.

  Nach der Formel für die Dichte :

  $ \rho = \frac{m}{V} $

  ergibt sich die Dichte der Krone zu

  $ \rho_K = \frac {2123 g}{110 cm^3} = 19,3 \frac{g}{cm^3} $.

  Die Dichte der Krone entspricht also genau der bereits bekannten Dichte von Gold. $\rho_{Au} = \rho_K $

  Damit konnte Archimedes mit den Gesetzmäßigkeiten der Physik versichern, dass die Krone des Königs tatsächlich aus Gold bestand.

• Bezeichne die Kraft.

  Tipps

  Es gilt das Archimedische Prinzip.

  Die Druckdifferenz in der Wassersäule liefert ebenfalls einen gültigen Ansatz.

  Lösung

  Die gesuchte Kraft ist die Auftriebskraft $F_A$. Diese kompensiert einen Teil der Gewichtskraft eines Gegenstandes im Wasser, sodass du nur den übrigen Teil heben musst.

  Es gilt :

  $F_R = F_G - F_A$

  Der Betrag der resultierenden Kraft $F_R$ errechnet sich also aus der Gewichtskraft $F_G$, die zum Erdmittelpunkt zeigt und der Auftriebskraft $F_A$ , die entgegengesetzt wirkt. (Deshalb sind die Vorzeichen umgekehrt.)

  Dieses Prinzip wurde von Archimedes beschrieben. Man kann den Auftrieb mit dem nach ihm benannten Archimedischen Prinzip erklären.

  Dieses besagt, dass die Gewichtskraft des verdrängten Wassers genau der Auftriebskraft auf den betrachteten Körper entspricht.

  Einen anderen Ansatz zur Erklärung liefert der Druck. Dieser steigt mit zunehmender Wassertiefe. Das heißt, er ist am unteren Ende eines betrachteten Gegenstandes größer als am oberen. Dieser Unterschied resultiert ebenfalls in einer Kraft $F_A$.

• Berechne die Beladung des U-Bootes.

  Tipps

  Im Grenzfall gilt $ \rho_{U-Boot,betankt} = 1030 \frac{g}{cm^3} $.

  Das umgebende Wasser hat eine Dichte von $ \rho_{SW} = 1030 \frac{g}{cm^3} $.

  Berechne zunächst die zum Sinken benötigte Masse.

  Lösung

  Das U-Boot hat im unbefülllten Zustand eine Dichte von etwa $ \rho_{leer} = \frac{33t}{35m^3} = 0,943 \frac{t}{m^3} $.

  Im Grenzfall soll die Dichte auf $ \rho_{Salzwasser} = 1030 \frac{t}{m^3} $ ansteigen.

  Das heißt, das U-Boot soll (im Grenzfall) genau soviel wiegen wie das verdrängte Wasser.

  Dieses muss dann $ m_{Wasser} = \rho_{Salzwasser} \cdot V_{U-Boot} = 1,03 \frac {t}{m^3} \cdot 35 m^3 = 36,05 t $ wiegen.

  Daraus ergibt sich die Massedifferenz zwischen dem leeren U-Boot und dem gerade eben absinkenden zu :

  $m_{diff} = 36,05 t - 33,0 t = 3,05 t $

  Es müssen also $ 3,05 t$ Salzwasser eingefüllt werden, damit das Boot zu sinken beginnt.

  Bei bekannter Dichte des Salzwassers ergibt sich das Volumen zu :

  $ V_{einfüll} = \frac{m_{diff}}{\rho} = \frac{3,05 t}{1,03 \frac{t}{m^3}} = 3,1415 m^3 $

  Die Tanks des U-Bootes müssen also mindestens $ 3,1415 m^3 $ fassen, damit es sinken kann. In der Realität muss es natürlich mehr sein, damit man auch schneller abtauchen kann.