Induktionsspannung durch Bewegung – Leiterschleife im Magnetfeld

Induktionsspannung durch Bewegung – Leiterschleife im Magnetfeld Übung

• Nenne die Definition für die Induktion in einer Leiterschleife.

  Tipps

  Welche physikalische Größe kann induziert werden?

  Was würde passieren, wenn wir den Leiter ruhig im Magnetfeld halten?

  Lösung

  Wird eine Leiterschleife so bewegt, dass sich der magnetische Fluss $\Phi$ durch die von ihr umschlossene Fläche $A$ ändert, so wird eine Spannung $U_i$ induziert.

  Die Formel dazu lautet:

  $U_i = -N \cdot \frac{d\Phi}{dt}$

  Es wird immer nur eine Spannung induziert. Diese bewirkt dann einen elektrischen Strom, welchen man Induktionsstrom $I_i$ nennt. Wenn wir also die Leiterschleife ruhig im homogenen Magnetfeld halten, wird keine Spannung induziert.

  Um eine Spannung zu induzieren, gibt es die folgenden Möglichkeiten: Es kann sich die vom Magnetfeld durchdrungene Fläche, die Stärke des Magnetfeldes oder die Orientierung des Magnetfeldes ändern.

  Es ist also nicht unbedingt notwendig, die Leiterschleife zu bewegen, um eine Spannung zu induzieren. Dies ist z.B. auch möglich, indem man das Magnetfeld mit einem Wechselspannungssignal erzeugt. Dadurch würde sich die Stärke und die Ausrichtung des Magnetfeldes stetig ändern.

• Bestimme, in welchen Fällen eine Spannung in der Leiterschleife induziert wird.

  Tipps

  Ein homogenes Magnetfeld ist überall gleich stark. Die Dichte der Magnetfeldlinien ist konstant.

  Unter welchen Vorraussetzungen entsteht eine Induktionsspannung?

  Eine Induktionsspannung entsteht, wenn sich der magnetische Fluss $\Phi$ durch die von der Leiterschleife umschlossene Fläche $A$ ändert.

  Lösung

  Eine Induktionsspannung entsteht, wenn sich der magnetische Fluss $\Phi$ durch die von der Leiterschleife umschlossene Fläche $A$ ändert. Dies geschieht z.B. beim Hinein- oder Herausbewegen der Leiterschleife in bzw. aus einem homogenen Magnetfeld. Dabei verändert sich die Fläche innerhalb der Leiterschleife, die von dem Magnetfeld durchflossen wird.

  Bewegt man die Leiterschleife innerhalb eines homogenen Magnetfeldes, wird die Fläche der Leiterschleife von einem konstanten magnetischen Fluss durchflossen. Dabei wird keine Spannung induziert.

  Homogene Magnetfelder haben die Eigenschaft, dass sie an jedem Ort gleich stark und gleich gerichtet sind. Die Feldlinien eines homogenen Feldes zeigen also in die gleiche Richtung und haben gleiche Abstände voneinander.

  Wäre das Magnetfeld nicht homogen, würde auch bei einer Bewegung im Magnetfeld eine Spannung induziert werden.

• Erkläre, warum beim Rotieren einer Leiterschleife im homogenen Magnetfeld eine sinusförmige Wechselspannung entsteht.

  Tipps

  Schau dir noch einmal die Formel für die induzierte Spannung an.

  Der magnetische Fluss ist gleich dem Skalarprodukt von der magnetischen Flussdichte und der Fläche, die von der Leiterschleife umschlossen wird.

  Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist das Produkt ihrer Längen mit dem Kosinus. $\vec{B} \cdot \vec{A} = B \cdot A \cdot cos(\alpha)$

  Lösung

  Damit das Wechselspannungssignal ausbildet muss, sich die Stärke und auch das Vorzeichen der induzierten Spannung periodisch ändern.

  Wenn eine Leiterschleife im Magnetfeld rotiert, wird die vom Magnetfeld durchdrungene Leiterschleifenfläche in unterschiedlichen Winkelstellungen verschieden groß. Daraus wird deutlich, dass die induzierte Spannung bei einer rotierenden Leiterschleife von dem Winkel abhängt, der zwischen dem Magnetfeld und dem Normalenvektor der Fläche liegt.

  Die induzierte Spannung $U_i$ hängt von der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses $\Phi$ ab. Der magnetische Fluss $\Phi$ lässt sich auch durch $\Phi = B \cdot A \cdot cos(\alpha)$ ausdrücken. Der Winkel $\alpha$ liegt dabei zwischen dem Normalenvektor der Fläche $A$ und der magnetischen Flussdichte $B$. Aus der Formel für $U_i$ wird deutlich: Die induzierte Spannung $U_i$ ist höher, wenn die zeitliche Änderung von $cos(\alpha)$ schneller ist. Dies nennt man auch die Ableitung von $cos(\alpha)$ nach der Zeit. Es gilt $\frac{d}{dt} cos(\alpha) = - sin(\alpha)$. Die Sinuskurve entsteht also durch die Ableitung von $cos(\alpha)$ nach der Zeit in der Formel für die induzierte Spannung.

• Berechne, wie groß die induzierte Spannung ist.

  Tipps

  Verwende das Induktionsgesetz.

  Drücke den magnetischen Fluss $\Phi$ durch die magnetische Flussdichte $\vec{B}$ und die Fläche $\vec{A}$ aus.

  Die magnetische Flussdichte $B$ bleibt konstant. Die Fläche innerhalb der Leiterschleife, die im Magnetfeld steht, vergrößert sich zunehmend.

  Lösung

  Die Formel zur Berechnung der induzierten Spannung lautet:

  $U_i = - N \cdot \frac{d\Phi}{dt}$

  Der magnetische Fluss kann durch die magnetische Flussdichte $\vec{B}$ und die Fläche $\vec{A}$ ausgedrückt werden.

  $\begin{array}{lll} \Phi &=& \vec{B} \cdot \vec{A} \\ &=& B \cdot A \cdot cos(\alpha) \end{array}$

  In diesem Fall, in dem die Leiterschleife senkrecht zum Magnetfeld steht, ist der Winkel $\alpha = 0^{\circ}$. Daraus folgt, dass wir den magnetischen Fluss so schreiben dürfen:

  $\Phi = B \cdot A$.

  Eingesetzt in die Formel für die induzierte Spannung ergibt sich:

  $U_i = -N \cdot \frac{d(B \cdot A)}{dt}$.

  Wenn die Produktregel angewandt wird und für die Windungszahl $N =1$ eingesetzt wird, erhalten wir:

  $\begin{array}{lll} U_i &=& - B \cdot \frac{dA}{dt} \\ &=& -B \cdot \frac{(A_a - A_e)}{(t_a - t_e)} \end{array}$

  Die Leiterschleife bewegt sich mit $2~\frac{cm}{s}$ in das Magnetfeld. Nach einer Sekunde ragt es also 2 cm hinein. Während zum Zeitpunkt $t_a$ die Leiterschleife noch nicht im Magnetfeld steht und somit $A_a = 0 ~m^2$ gilt, erhalten wir nach einer Sekunde folgende Fläche:

  $\begin{array}{lll} A_e &=& a \cdot b \\ &=& 0,02~m \cdot 0,4~m \\ &=& 0,008~m^2 \end{array}$

  Wir setzen alle Werte in die Formel für die induzierte Spannung ein:

  $\begin{array}{lll} U_i &=& - B \cdot \frac{dA}{dt} \\ &=& -B \cdot \frac{(A_a - A_e)}{(t_a - t_e)} \\ &=& -1,8~T \cdot \frac{(0~m^2 - 0,008~m^2)}{(0~s - 1~s)} \\ &=& 0,0144~V \\ &=& 14,4~mV \end{array}$

• Gib an, wie man mit einer Leiterschleife eine Wechselspannung herstellen kann.

  Tipps

  Bei einem Wechselspannungssignal verändert sich die Größe der Spannung wie auch das Vorzeichen der Spannung periodisch.

  Pass auf, unter welchen Umständen eine konstante Spannung und unter welchen eine Wechselspannung entsteht.

  Lösung

  Durch die Drehung der Leiterschleife verändert sich kontinuierlich die Leiterschleifenfläche, die vom magnetischen Fluss durchflossen wird. Aus der Formel für die induzierte Spannung können wir auf eine sinusförmige Wechselspannung schließen.

  Ein Hin- und Herbewegen der Leiterschleife im Magnetfeld verändert nicht den Fluss $\Phi$ durch die Fläche. Es wird keine Spannung induziert.

  Die gleichförmige Bewegung der Leiterschleife von außerhalb ins Innere des Magnetfelds erzeugt keine Wechselspannung, sondern eine konstante Spannung.

  Beim periodischen An- und Ausschalten des Magnetfeldes wird jeweils die Stärke des Magnetfeldes verändert, was zu einer stetigen Änderung des Spannungssignals führt. Dabei handelt es sich allerdings um eine Kurve ohne Vorzeichenwechsel. Es entsteht also kein Wechselspannungssignal.

• Berechne die Amplitude der induzierten Wechselspannung.

  Tipps

  Verwende die Formel zur Bestimmung der induzierten Spannung.

  Ersetze den magnetischen Fluss $\Phi$ durch die magnetische Flussdichte und die Leiterschleifenfläche.

  Drücke $\Phi$ durch $B \cdot A \cdot cos(\alpha)$ aus.

  Da die Beträge von $B$ und $A$ konstant sind, können wir schreiben: $U_i = -N \cdot B \cdot A \cdot \frac{d}{dt} cos(\alpha)$.

  Es gilt: $U_i = -N \cdot B \cdot A \cdot \frac{cos(\alpha_a) - cos(\alpha_e)}{t_a - t_e}$

  Lösung

  Wir beginnen mit der Formel für die induzierte Spannung.

  $U_i = -N \cdot \frac{d \Phi}{dt}$.

  Nun ersetzen wir den magnetischen Fluss $\Phi$ durch die Beträge der magnetischen Flussdichte und der Leiterschleifenfläche. Außerdem wird N=1 gesetzt, da die Leiterschleife nur eine Windung hat.

  $U_i = - \frac{d(B \cdot A \cdot cos(\alpha))}{dt}$

  Die Beträge von B und A sind konstant. Daher können wir nach Anwendung der Produktregel schreiben.

  $\begin{array}{lll} U_i &=& - B \cdot A \cdot \frac{d}{dt} cos(\alpha) \\ &=& - B \cdot A \cdot \frac{cos(\alpha_a) - cos(\alpha_e)} {t_a - t_e} \end{array}$

  Aus der Aufgabenstellung wird deutlich, dass $3~s$ verstreichen, ehe die Leiterschleife von $\alpha_a$ zu $\alpha_e$ gedreht ist. Wir setzen also ein:

  $\begin{array}{lll} U_i &=& - 2~T \cdot 0,02~m^2 \cdot \frac{cos(90^\circ) - cos(120^\circ)} {0~s - 3~s} \\ &=& -0,00666~V\\ &=& -6,66~mV \end{array}$