Isobare Zustandsänderungen

Thermodynamische Zustandsänderungen

In diesem Text soll verständlich gemacht werden, was ein thermodynamischer Zustand ist und wie eine Änderung dieses Zustands zustande kommen kann. In Analogie zur klassischen Mechanik fragen wir, inwieweit eine Zustandsänderung in der Thermodynamik zu einer Änderung der inneren Energie führt. Um diese Frage zu beantworten, wiederholen wir ausführlich die Definition des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik und zeigen am Beispiel eines idealen Gases, inwieweit eine Zustandsänderung des Gases mit einer Änderung der in ihm gespeicherten Energie zusammenhängt.

Thermodynamische Zustände

Du bist vielleicht in der Mechanik schon einmal dem Begriff Zustand begegnet. Unter einem physikalischen Zustand versteht man ganz allgemein die Gesamtheit aller Messgrößen eines physikalischen Objekts, die es erlauben, dieses Objekt im Rahmen einer Theorie, z. B. der klassischen Mechanik, vollständig zu beschreiben. Zum Beispiel könnte ein gelber Tennisball auf dich zufliegen, der leicht eingedellt ist, doch wenn es in der klassischen Mechanik darum geht, seine Flugbahn zu berechnen, interessieren nur die Variablen Ort und Impuls dieses Balls zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Wenn du ein Gas als eine Gesamtheit (ein System) von Punktteilchen interpretiertest, die den Gesetzen der Mechanik gehorchen, wäre der Zustand dieses Systems die Gesamtheit aller Orte und Impulse der Moleküle zu einem vorgegebenen Zeitpunkt. Da es in den meisten Fällen unmöglich ist, all diese Messwerte zu kennen und mit ihnen mathematisch zu arbeiten, verwendet die Thermodynamik einen einfacheren Zustandsbegriff, der z. B. ein Gas nicht als Summe seiner Teile betrachtet, sondern als eigenständige Gesamtheit, die durch eine endliche Anzahl von Eigenschaften charakterisiert werden kann.

Zuallermeist wird stillschweigend vorausgesetzt, dass das Gas oder die Flüssigkeit sich im Gleichgewichtszustand befindet, dass seine Messgrößen also unverändert bleiben, solange die äußeren Bedingungen sich nicht verändern. Wenn du einen Topf mit Wasser hättest, das in manchen Bereichen deutlich wärmer ist als in anderen, könntest du keinen einheitlichen Wert für die Temperatur ermitteln, der das System vollständig charakterisiert.

Zustandsgleichungen

Die Zustandsgleichung setzt die Messgrößen eines physikalischen Zustands in ein Verhältnis, das von der Theorie vorhergesagt und experimentell untersucht wird. Die Zustandsgleichung für ein homogenes, ideales Gas wird aus dem idealen Gasgesetz hergeleitet und lautet:

$p \cdot V = n\cdot R \cdot T$

$\Leftrightarrow \quad p \cdot V - n\cdot R \cdot T = 0$

Chemisch bestimmt ist das Gas durch seine Stoffmenge $n = \frac{m}{M}$, die durch seine Masse $m$ und seine molekulare Masse $M$ gegeben ist. Die Konstante $R = 8{,}314 \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol\cdot K}}$ ist universell und hat für alle Gase den gleichen Wert.

Der thermodynamische Zustand wird dementsprechend durch die Zustandsgleichung ${p \cdot V - n\cdot R \cdot T = 0}$ beschrieben, die von den drei Größen $p$, $V$ und $T$ abhängig ist. Ein thermodynamischer Zustand $\{p,V,T\}$ wird demnach mithilfe der drei Größen vollständig beschrieben. Jede der drei Größen kann durch die Auswahl von zwei der drei variablen Größen eindeutig bestimmt werden.

Zustandsänderungen

Die Änderung eines physikalischen Zustands wird durch eine äußere Einwirkung bzw. eine Wechselwirkung mit der Außenwelt auf das physikalische System verursacht. Ähnlich verhält es sich bei einem thermodynamischen Zustand, auch er kann sich durch äußere Einwirkung verändern, etwa durch Erhitzung.

Drei verschiedene Typen von Zustandsänderung bei einem idealen Gas sollen hier beispielhaft angeführt werden. Der Versuchsaufbau sieht dabei folgendermaßen aus: Ein ideales Gas befindet sich in einem Zylinder, der mit einem beweglichen Hubkolben verschlossen ist. Alle Seiten des Zylinders und auch der Hubkolben sind isoliert, lediglich der Boden des Zylinders erlaubt einen Wärmeaustausch mit der Umgebung.

Die isobare Zustandsänderung – der Druck bleibt konstant

Wir betrachten die Situation, dass der Hubkolben frei aufliegt. Der Zustand des Gases ist durch die Messwerte ${p, V, T}$ gegeben. Unterhalb des Zylinders wird jetzt eine Hitzequelle gebracht, die das Gas erhitzt. Dadurch steigt der Druck des Gases auf den Hubkolben, der sich von allein anhebt und damit einen Druckausgleich schafft. Das Experiment ergibt, dass der Druck konstant geblieben ist, sich aber das Volumen und die Temperatur verändert haben. Das wird isobare Zustandsänderung genannt.

$\{p, V, T\} \stackrel{p = \text{konst.}}{\longrightarrow} \{p, V^\prime, T^\prime \}$

Die isochore Zustandsänderung – das Volumen bleibt konstant

Nun betrachte die gleiche Situation erneut, fixiere aber diesmal den Hubkolben, sodass er unbeweglich ist. Wenn das Gas erhitzt wird, steigen der Druck und die Temperatur an, das Volumen bleibt aber unverändert. Das beschreibt die isochore Zustandsänderung.

$\{p, V, T\} \stackrel{V = \text{konst.}}{\longrightarrow} \{p^\prime, V, T^\prime \}$

Die isotherme Zustandsänderung – die Temperatur bleibt konstant

Im dritten Experiment stellen wir den Zylinder auf ein Wärmereservoir mit der Temperatur $T$. Das Wärmereservoir hat die Eigenschaft, dass sich kleine Zuflüsse oder Abflüsse von Wärme faktisch nicht bemerkbar machen, sodass es praktisch immer auf $T$ bleibt. Nun heben wir den Hubkolben aktiv nach oben und erzwingen dadurch eine Veränderung des Volumens. Dadurch verändert sich auch der Druck des Gases. Nach einiger Zeit oder wenn wir den Hubkolben sehr langsam nach oben bewegt haben, wird sich die Temperatur des Gases mit jener des Wärmereservoirs ausgleichen und wieder bei $T$ sein. Die Temperatur bleibt somit konstant, was isotherme Zustandsänderung genannt wird.

$\{p, V, T\} \stackrel{T = \text{konst.}}{\longrightarrow} \{p^\prime, V^\prime, T\}$

Grafische Darstellung von Isobaren, Isochoren und Isothermen

Im $p$-$V$-Diagramm lassen sich die drei verschiedenen Typen von Zustandsänderungen eines idealen Gases gut darstellen.

Die isochore und isobare Zustandsänderung findet entlang von Geraden statt (den Isochoren bzw. Isobaren), die senkrecht zu den jeweiligen Achsen stehen. Für ein fixes $p$ (Isobar) kann das Volumen $V$ verschiedene Werte einnehmen. Der Wert von $T$ ist nicht eingezeichnet. Er kann aus der Zustandsgleichung berechnet werden. Analog verhält es sich bei der isochoren Änderung.

Bei konstanter Temperatur, also bei einer isothermen Zustandsänderung, sieht die Zustandsgleichung folgendermaßen aus:

$p(V) = \dfrac{n\cdot R \cdot T}{V}$

Da der Term $n\cdot R\cdot T$ konstant ist, ähnelt die Funktion für den Druck $p(V)$ der allgemeinen Form einer Hyperbelfunktion $f(x) = \frac{1}{x}$. Die Graphen der Funktion $p(V)$, die sogenannten Isothermen, sind somit Hyperbeln.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Isobare Zustandsänderungen