Thomson'sche Schwingungsgleichung

Thomson'sche Schwingungsgleichung Übung

• Nenne die relevanten Kenngrößen für die Frequenz eines elektrischen Schwingkreises.

  Tipps

  Bei der Herleitung der Thomson'schen Schwingungsgleichung benutzen wir den Energieerhaltungssatz.

  Mit der Spannung und der Stromstärke können wir eine Aussage über die Energie in den einzelnen Systemteilen treffen.

  Lösung

  Wie angegeben lautet die Formel für die Frequenz der Schwingung im elektrischen Schwingkreis $f = \frac{1}{ 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{ L \cdot C}}$.

  Darin enthalten sind die Konstanten $2$ und $\pi$. Dazu kommen die Werte für die Kapazität des verbauten Kondensators $C$ und für die Induktivität der Spule $L$.

  Damit ist klar, die Thomson'sche Schwingungsgleichung ist ausschließlich abhängig von der Kapazität und der Induktivität.

  Sowohl die Stromstärke $I$ als auch die Spannung $U$ spielen lediglich bei der Herleitung und der energetischen Betrachtung des Schwingkreises eine Rolle.

• Gib an, wozu die Thomson'sche Schwingungsgleichung benutzt werden kann.

  Tipps

  Die Frequenz entspricht dem Kehrwert der Umlaufdauer.

  Die Kapazität eines Kondensators wird in Farad angegeben.

  Die Summe aus der Energien, welche im Kondensator und der Spule gespeichert sind, sollen erhalten bleiben.

  Lösung

  Die Thompson'sche Schwingungsgleichung gibt an, mit welcher Frequenz ein Schwingkreis schwingt, abhängig von der Kapazität $C$ des Kondensators und der Induktivität $L$ der Spule.

  Aus der Frequenz lässt sich die Umlaufdauer mit $ T = \frac{1}{f}$ leicht berechnen.

  Es gilt der Energieerhaltungssatz, welcher auch zur Herleitung genutzt wird.

  Wir machen den Ansatz $ \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^2 + \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2 = konst.$.

  Denn die Summe aus der Energien, welche im Kondensator und der Spule gespeichert sind, sollen ja erhalten bleiben.

  Betrachten wir nun die Zustände, in denen die gesamte Energie entweder im elektrischen Feld des Kondensators oder im magnetischen Feld der Spule gespeichert ist.

  Hier gilt zunächst $ \frac{1}{2} \cdot C \cdot U_{max}^2 = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I_{max}^2$.

  Mit der $ I = C \cdot U_{max} \cdot \omega$ ergibt sich $ \frac{1}{2} \cdot C \cdot U_{max}^2 = \frac{1}{2} \cdot L \cdot C^2 \cdot U_{max}^2 \cdot \omega^2 $ und nach Umstellen und Kürzen schließlich $ \omega = \frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}$.

  Mit Hilfe der Kreisfrequenz können wir nun die Umlaufdauer $T$ und die Frequenz $f$ ermitteln, und die Herleitung der Thomson'schen Schwingungsgleichung ist abgeschlossen.

• Bestimme die Werte für die Kreisfrequenz.

  Tipps

  $\omega = \frac{1}{\sqrt{C \cdot L}}$

  Lösung

  Um die Kreisfrequenz der Thomson Schwingung zu berechnen, bedienen wir uns der Formel $\omega \omega = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$.

  Dabei $C$ die Kapazität des Kondensators in Farad und $L$ die Induktivität der Spule in Henry.

  Betrachten wir ein Beispiel : $\omega = \omega = \frac{1}{\sqrt{ 0,15 H \cdot 0,03 F}} = 14,91$.

  Die Kreisfrequenz des elektrischen Schwingkreises beträgt für eine Kapazität von $ C = 0,03 F$ und eine Induktivität von $ L = 0,15 H$ $ \omega = 14,91 s$.

  Betrachten wir zum Schluss die Einheit von $\omega$.

  Dazu lösen wir $H$ und $F$ in die SI-Einheiten auf.

  $ 1H = 1 \frac{kg \cdot m^2}{A^2 \cdot s^2} $ und $ 1 F = 1 \frac{ A^2 \cdot s^4}{kg \cdot m^2}$.

  Nun multiplizieren wir $ 1 H \cdot 1F = s^2 $.

  Da wir die Kreisfrequenz mit der Wurzel aus $ C \cdot L$ bilden, bleibt $ \sqrt{s^2} = s $ übrig.

  Mit $\omega = 2 \pi \sqrt{C \cdot L}$ ergibt sich die Einheit $ s{-1}$.

• Berechne die Umlaufdauer der Schwingung.

  Tipps

  $T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega} $

  $\omega = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$

  $T = 2 \pi \cdot \sqrt{ L \cdot C}$

  Lösung

  Die Umlaufdauer lässt sich aus der Kreisfrequenz mit $T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega} $ errechnen.

  Dabei ist $\omega = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$.

  Setzen wir nun $\omega$ ein, so erhalten wir $T = 2 \pi \cdot \sqrt{ L \cdot C}$.

  Die Umlaufdauer $T$ kann also entweder direkt über die Kreisfrequenz $\omega$ oder mit der Kapazität $C$ und der Induktivität $L$ angegeben werden.

  Haben wir etwa $ L = 3,00 \cdot 10^{-2} H $ und $C = 0,15 F$ gegeben, setzen wir diese in $T = 2 \pi \cdot \sqrt{ L \cdot C}$ ein und erhalten so $T = 2 \pi \cdot \sqrt{ 3,00 \cdot 10^{-2} H \cdot C = 0,15 F} = 0,421 s $.

  Die Umlaufdauer $T$ in einem elektrischen Schwingungskreis mit einer Spule $L = 3 \cdot 10^{-2} H $ und einem Kondensator $ C = 0,15C$ beträgt also $ 0,421s$.

  Betrachten wir zum Schluss noch die Einheiten anhand von $\omega = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$. Bekannt ist $\omega = s^{-1}$. Der Kehrwert von $\omega $ ,$ \frac{1}{s^{-1}}$ ist also nun wieder $s$.

  Wie zu erwarten ist die Einheit der Umlaufdauer also die Sekunde $s$.

• Gib an, inwiefern der Widerstand in der Thomson Gleichung berücksichtigt wird.

  Tipps

  Wir müssen mit $f = \frac{1}{s \pi} \cdot \sqrt{\frac{1}{LV} - {\frac{R^2}{4C^2}}} $ rechnen, wenn wir den Ohm'schen Widerstand betrachten.

  Lösung

  In der Thomson'schen Schwingungsgleichung wird der Einfluss des Widerstands $R$ vernachlässigt.

  In der Realität, werden meistens Kabel verwendet, die abhängig von Material, Stirnquerschnitt und Länge einen bestimmten elektrischen Widerstand aufweisen. Diese Tatsache wird jedoch vernachlässigt, da wir sonst eine gedämpfte Schwingung betrachten müssten.

  Die Berechnung würde dadurch unnötig erschwert. ( Wir müssten dann mit $f = \frac{1}{s \pi} \cdot \sqrt{\frac{1}{LV} - {\frac{R^2}{4C^2}}} $ rechnen.)

  Ziel ist es also, die im Schwingkreis ablaufende Schwingung ungedämpft zu machen.

  Dazu könnten wir entweder supraleitende Kabel verwenden oder periodisch immer wieder Energie hinzufügen, um so den Energieverlust ausgleichen.

  Die zweite Variante ist dabei meistens die einfachere und wird häufiger verwendet.

  Fassen wir zusammen:
  Durch periodische Energiezufuhr wird die Vernachlässigung des Ohm'schen Widerstandes beim elektrischen Schwingkreis umgesetzt.

• Analysiere die Frequenz der elektrischen Schwingung.

  Tipps

  $ 1 Hz $ entspricht einem Hertz oder einer Schwingung pro Sekunde.

  $ f = \frac{1}{T}$

  $f = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}$

  Lösung

  Die Einheit der Frequenz wird in Hertz angegeben, wobei $ 1 Hz = 1 s^{-1}$ genau dem Kehrwert der Schwingungsdauer $T$ entspricht.

  Es gilt also $ f = \frac{1}{T}$.

  Ist die Dauer der Schwingung im elektrischen Schwingkreis bekannt, so können wir die dazugehörige Frequenz leicht errechnen.

  Sind hingegen die Parameter der Bauteile bekannt, müssen wir unsere Berechnung etwas anpassen. Es gilt $f = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}$.

  Das ist auch ganz logisch, denn $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}$ ist ja für die elektrische Schwingung ebenfalls bereits bekannt.

  Betrachten wir abschließend ein Beispiel.

  Es seien $L = 3,38 \cdot 10^{-3} H $ und mit $ C = 8,88 \cdot 10^{-7} F$ gegeben.

  Setzen wir diese ein, so ergibt sich $f = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{3,38 \cdot 10^{-3} H \cdot 8,88 \cdot 10^{-7} F}} = 2,91 kHz$.

  Die Frequenz dieses elektrischen Schwingkreises beträgt also $f = 2.910 Hz = 2,91 kHz$.

  Das bedeutet, innerhalb von einer Sekunde wiederholt sich die Schwingung 2.910 mal.