Zeigerformalismus

Zeigerformalismus Übung

• Beschreibe, was auf dem Bild zu sehen ist.

  Tipps

  Welche Eigenschaft von Licht kann man hier erkennen?

  Maxima sind Orte höchstmöglicher Lichtintensität.

  Minima sind Orte auf dem Empfängerschirm, die kein Licht erreicht.

  Lösung

  Wird ein schmaler Spalt mit monochromatischem Licht (hier von einem roten Laser) bestrahlt, so sieht man auf einem Empfängerschirm das gezeigte Bild.

  Das Bild ist ein Beugungsbild. Durch die Abmessungen der Versuchsanordnung, insbesondere durch die geringe Breite des Spaltes, können die Beugungserscheinungen des Lichtes sichtbar gemacht werden. Man nennt diese Beugungsform auch Fraunhofer Beugung.

  Der breite und intensive mittlere Lichtstreifen ist dabei ein Abbild des Spaltes, den das Licht passiert hat. In diesem liegt zentral der Bereich mit der höchsten Lichtintensität des Beugungsbildes, das Maximum 0. Ordnung. An diesen Lichtstreifen schließen sich zwei Minima (Minima 0. Ordnung) an, die sich durch das Fehlen von Licht schwarz sind. Ihnen folgt wiederum jeweils ein Lichtstreifen, in dem ein weiteres, wenn auch weniger intensives Maximum (Maximum 1. Ordnung) liegt.

• Nenne die Schritte, die zur Herleitung der Intensitätsverteilung hinter einem schmalen Spalt mittels Zeigerformalismus notwendig sind.

  Tipps

  Die Zeiger kannst du dir wie kleine rollende Uhren mit nur einem Zeiger vorstellen.

  Die Zeiger können wie Vektoren nach den bekannten Regeln grafisch addiert werden.

  Intensitäten können mathematisch durch Quadrieren der Zeigerlänge bestimmt werden.

  Lösung

  Die Intensitätsverteilung hinter einem schmalen Spalt bestimmt sich folgendermaßen:

  1.$~$ Als erstes musst du von der Quelle zum Empfänger eine geeignete Anzahl von möglichen Lichtwegen einzeichnen. Alle diese Wege sind gleich wahrscheinlich.

  2.$~$ Dann setzt du an den Anfang jedes Weges einen Zeiger. Alle diese Zeiger sind gleich klang und zeigen in die gleiche Richtung. Dann lässt du diese Zeiger gedanklich den jeweiligen Lichtweg entlang rotieren.

  3.$~$ Alle Zeiger erreichen dann den Empfängerpunkt. Ihre Pfeilausrichtung ist unterschiedlich, weil sie unterschiedlich lange Lichtwege entlang gerollt sind.

  4.$~$ Alle Zeiger werden dann grafisch durch Vektoraddition aufsummiert, indem sie so verschoben werden, dass der resultierende Zeiger eingezeichnet werden kann.

  5.$~$ Für die Intensitätsverteilung am Schirm ist nun noch ein Quadrieren der resultierenden Zeigerlänge notwendig.

  Und schon bist du fertig mit einem Punkt auf dem Schirm. Und das ganze wiederholt sich dann noch für eine Auswahl von anderen Punkten. Du siehst, warum man häufig Programme zur Bestimmung der Intensitätsverteilung verwendet.

• Bestimme die Lage der Minima und Maxima im Interferenzbild.

  Tipps

  Setze Wellenlänge und Spaltbreite in die beiden Formeln ein. Beachte die unterschiedlichen Größenordnungen.

  Variiere in beiden Formeln die Ordnung von n=0 bis n=3.

  Vergiss nicht, anschließend durch die Verwendung des Arkussinus den Winkel in Grad zu berechnen.

  Vielleicht fällt dir ein Muster auf und du musst nicht alle Werte für die Winkel einzeln berechnen.

  Lösung

  Auf dem Schirm zeigen sich Bereiche großer Lichtintensität, die Maxima, die durch konstruktive Interferenz entstehen bei $sin(\varphi_{min})=n\cdot \frac {\lambda} {b}$.

  Bei der 0. Ordnung wird dieser Wert Null. Das Hauptmaximum 0. Ordnung liegt direkt auf der optischen Achse. Für die folgende Ordnung gilt:

  $sin(\varphi_{max})=1\cdot \frac {600~nm} {10~\mu m}=0,06$ und $\varphi=3,44°$. Dieser Winkel erhöht sich mit jeder Ordnung um das entsprechende Vielfache.

  Minima, die gar kein Licht erreicht, entstehen durch destruktive Interferenz bei $sin(\varphi_{min})=(n+\frac 12)\cdot \frac {\lambda} {b}$.

  Das Minimum 0. Ordnung liegt demnach bei:

  $sin(\varphi_{min})=(0+\frac 12)\cdot \frac {600~nm} {10~\mu m}=\frac 12\cdot 0,06=0,03$ und $\varphi=1,72°$. Mit jeder Ordnung nimmt der Winkel um $3,44°$ zu.

• Sage voraus, wie sich das Interferenzbild durch die Wahl eines breiteren Spaltes verändert.

  Tipps

  In der Mitte liegt im weißen Streifen das Maximum 0. Ordnung. Das Maximum 1. Ordnung liegt jeweils in den hellgrauen Streifen. Die Maxima höherer Ordnung sind auf dem Ausschnitt nicht zu sehen.

  Welches Maximum verändert seine Lage durch die Vergrößerung der Spaltbreite nicht?

  Wie wirkt sich eine Vergrößerung der Spaltbreite in der genannten Formel auf die Lage der Maxima ab der 1. Ordnung aus?

  Erhöht sich die Maximadichte, so werden die einzelnen Streifen schmaler. Sinkt sie hingegen, so werden die Streifen breiter.

  Lösung

  Im Interferenzbild treten mehr Streifen auf, die dichter in Richtung Mitte zusammenrücken und schmaler sind.

  Die Lage des Maximums 0. Ordnung bleibt bestehend, da es sich stets auf der optischen Achse befindet. Die Streifen verschieben sich also nicht in eine Richtung, sondern verändern ihren Abstand zum Maximum 0. Ordnung.

  Die Lage der Maxima höherer Ordnung verändert sich durch die Änderung der Spaltbreite $b$ nach $sin(\varphi_{max})=n\cdot \frac {\lambda} {b}$ . In der Formel erhöht sich der Wert des Nenners. Der Winkel, unter dem das jeweilige Maximum auftritt, ist daher geringer. Die Maxima rücken näher an das Maximum 0. Ordnung heran.

  Da die Dichte der Streifen zunimmt, nimmt ihre Breite ab.

  Zusammenfassend gilt: Erhöht sich die Breite eines schmalen Spaltes, so rücken die Streifen im Interferenzbild näher in Richtung Mitte zusammen und werden schmaler.

• Gib an, wie die allgemeingültige Theorie heißt.

  Tipps

  Welche Begriff kann Licht mit all seinen Facetten beschreiben?

  Lösung

  Mit Hilfe der Quantenelektrodynamik können alle Phänomene beschrieben werden, die bei Licht (Photonen) auftreten können.

  Die geometrische Optik ist die älteste Beschreibungsform von Licht in der Physik. Hier werden lediglich mit Hilfe des Strahlenmodells geradlinige Lichtwege beschrieben. Damit ist sie eine Sonderform des Wellenmodells des Lichtes. Dem Wellenmodell steht das Teilchenmodell des Lichtes gegenüber. In beiden Modellen werden die jeweils typischen Wellen- oder Teilcheneigenschaften des Lichtes beschrieben und erklärt. Eine Verbindung dieser beiden scheinbar gegensätzlichen Modelle ermöglicht der Welle-Teilchen-Dualismus, der sich auch im Zeigerformalismus widerspiegelt.

  Die oberste Stufe der Lichtmodelle jedoch stellt die Quantenelektrodynamik dar. Sie ist tatsächlich eine umfassende und allgemeingültige Theorie im Bereich der Physik.

• Ermittle die Farbe des Lichtes des verwendeten Laserpointers.

  Tipps

  Wähle die geeignete Formel aus, stelle sie nach der gesuchten Größe um und vergleiche das Ergebnis mit der Abbildung oben.

  Lösung

  Experimentell wurde in dem Interferenzbild der Winkel bestimmt, unter dem das Minimum zweiter Ordnung auftrat. Daher wird die Wellenlänge mit der Formel $sin(\varphi_{min})=(n+\frac 12)\cdot \frac {\lambda} {b}$ abgeleitet.

  Die Formel wird dazu nach der Wellenlänge umgestellt und die gegebenen Größen werden eingesetzt:

  $\lambda=\frac {sin(\varphi_{min})\cdot b} {(n+\frac 12)}=\frac {sin(5°)\cdot 15\mu m} {(2+\frac 12)}=\frac {0,0872\cdot 15\cdot 10^{-6}~m} {(2\frac 12)}=523~nm$.

  Somit ergibt sich für die Wellenlänge des Lichts ein Wert von etwa $520$ Nanometern. Das Licht des liegt damit im grünen Spektralbereich.