Fadenpendel – Periodendauer

Die Periodendauer eines Fadenpendels

Das Fadenpendel ist eines der grundlegenden Beispiele für einen Oszillator, also für ein System, das schwingen kann. Ein Oszillator ist ein Konzept, das in vielen Bereichen der Physik von Bedeutung ist. Deswegen wollen wir uns im Folgenden mit einer bestimmten Größe des Fadenpendels, der Periodendauer $T$, beschäftigen. Dazu wiederholen wir zunächst einige Grundbegriffe.

Wiederholung: Was ist ein Fadenpendel?

Ein Fadenpendel besteht aus einer Masse $m$, die an einem Faden frei beweglich aufgehängt ist und so Schwingungen durchführen kann. Als Schwingung bezeichnen wir die zeitlich periodische Bewegung eines Oszillators um seine Gleichgewichtslage. Die Gleichgewichtslage ist der Ort, an dem der Oszillator sich ohne äußere Einwirkung in Ruhe befindet, seinen Zustand also nicht ändert. Beim Fadenpendel ist dieser Zustand gegeben, wenn die Masse vertikal nach unten hängt. Sobald das Pendel aus seiner Gleichgewichtslage ausgelenkt wird, wirkt eine rücktreibende Kraft. Diese sorgt für die Schwingung des Pendels. Die Punkte maximaler Auslenkung, an denen das Pendel seine Richtung ändert, nennt man Umkehrpunkte. Die Zeit, die es für eine komplette Schwingung benötigt, ist die Periodendauer $T$, manchmal auch Schwingungsdauer genannt.

Fadenpendel: Periodendauer

Wir wollen nun herausfinden, von welchen Größen die Periodendauer eines Pendels abhängt. Dazu überlegen wir zunächst, wie die Periodendauer bestimmt werden kann. Wir gehen dabei vereinfacht davon aus, dass es keine Reibung gibt. Die Periodendauer ist dann zeitlich konstant.

Periodendauer bestimmen

Wir wissen, dass eine Periodendauer genau die Zeit ist, die das Pendel für eine Schwingung benötigt. Diese Zeit können wir bestimmen, indem wir beispielsweise den Zeitabstand zwischen dem ersten und dem dritten Nulldurchgang (so nennt man den Durchgang durch die Gleichgewichtslage) messen. Wir wählen dabei den Abstand zwischen dem ersten und dem dritten Nulldurchgang, weil das Pendel innerhalb einer Schwingung zweimal die Gleichgewichtslage durchläuft – einmal auf dem Hin- und einmal auf dem Rückweg. Da eine Periodendauer recht kurz sein kann, kann es zu großen relativen Fehlern führen, wenn wir lediglich eine Periode messen. Um dieses Problem zu umgehen, misst man die Zeit $t(N)$ für eine Vielzahl von Perioden und teilt dann durch die Anzahl $N$ der Perioden:

$T = \frac{t(N)}{N}$

In modernen Laboren kann man die Messung natürlich noch genauer gestalten, indem man Lichtschranken und ähnliche Hilfsmittel verwendet.

Periodendauer – Abhängigkeiten

Wir wollen herausfinden, von welchen Größen die Periodendauer des Fadenpendels abhängt. Dazu stellen wir zunächst Vermutungen auf, die experimentell überprüft werden können.

Wir vermuten, dass die Periodendauer $T$ von den folgenden Größen abhängt:

• der Länge $l$ des Fadens
• der Masse $m$, die an dem Faden hängt
• der Stärke der Beschleunigung $a$, die für die rücktreibende Kraft sorgt

Wir betrachten nacheinander Experimente zu jeder dieser Größen.

Die Länge $l$ des Fadens

Um den Einfluss der Länge des Fadens zu überprüfen, führt man Messungen bei gleicher Masse, gleicher Anfangsauslenkung und unterschiedlichen Fadenlängen durch. Dann trägt man die Periodendauer $T$ gegen die Länge des Fadens $l$ in einem Koordinatensystem auf und sucht eine Funktion, die den beobachteten Verlauf beschreiben kann:

Die Kurve, die den Messpunkten folgt, hat die Form einer Wurzelfunktion. Daraus können wir die erste Schlussfolgerung ziehen: Die Periodendauer ist proportional zur Wurzel der Fadenlänge.

$T \propto \sqrt{l}$

Die Masse $m$

Zur Untersuchung des Einflusses der Masse $m$ hält man die Fadenlänge $l$ konstant, führt aber Experimente mit unterschiedlich großen Massen $m$ durch. Die Periodendauer wird dann gegen die Masse aufgetragen. Die Punkte beschreiben eine Konstante – die Periodendauer ändert sich nicht, wenn die Masse verändert wird. Das heißt, die Masse, die an dem Faden hängt, hat keinen Einfluss auf die Periodendauer $T$. Unsere Vermutung diesbezüglich war also falsch.

Die Beschleunigung $a$

Die Beschleunigung $a$, die für die rücktreibende Kraft sorgt, ist im Falle des Fadenpendels normalerweise die Erdbeschleunigung. Diese wird zwar näherungsweise als konstant angenommen, hat aber eigentlich an unterschiedlichen Orten der Erde verschiedene Werte. Auf hohen Bergen ist sie beispielsweise geringer als auf Höhe des Meeresspiegels. Auch zwischen den Polen und dem Äquator gibt es kleine Unterschiede. Man kann den Einfluss der Beschleunigung auf die Periodendauer also bestimmen, indem man bei gleicher Fadenlänge und gleicher Masse Messungen an unterschiedlichen Orten der Erde durchführt. Die Abweichungen sind allerdings alle sehr klein.

Noch mehr Messpunkte mit größeren Abweichungen erhält man, wenn man ein Fadenpendel auf dem Mond, in einem Flugzeug oder auf anderen Himmelskörpern schwingen lässt (denn auch hier unterscheiden sich die Beschleunigungen stark – auf anderen Himmelskörpern spricht man auch nicht mehr von der Erdbeschleunigung, sondern von der Schwerebeschleunigung). Trägt man dann die Periodendauer gegen die Beschleunigung $a$ auf und sucht nach einer Funktion, die die Punkte durchläuft, erhält man das folgende Bild:

Die Kurve, die den Punkten folgt, hat die Form einer inversen Wurzelfunktion. Aus diesem Experiment können wir also den folgenden Schluss ziehen: Die Periodendauer ist proportional zur inversen Wurzel der Beschleunigung, die die rücktreibende Kraft verursacht.

$T \propto \sqrt{ \frac{1}{a} }$

Formel für die Periodendauer des Fadenpendels

Wir können unsere Erkenntnisse zusammenfassen und eine Relation für die Periodendauer aufstellen. Wir erhalten zunächst die Abhängigkeit:

$T \propto \sqrt{ \frac{ l }{ a } }$

Es fehlt noch ein Proportionalitätsfaktor von $2 \pi$, den wir ohne Beweis oder Herleitung aufschreiben:

$T = 2\pi \sqrt{ \frac{ l }{ a } }$

Da wir in der Regel Fadenpendel auf der Erde betrachten, können wir noch die Beschleunigung $a$ durch die Erdbeschleunigung $g$ ersetzen. So erhalten wir als endgültige Formel für die Periodendauer:

$T = 2\pi \sqrt{ \frac{ l }{ g } }$

Diese Formel gilt für kleine Auslenkungen von maximal etwa $5^{\circ}$ und unter Vernachlässigung von Reibung. Bei guter Aufhängung, also schwacher Reibung, kannst du sie auch näherungsweise für ein reales Fadenpendel anwenden.

Anwendung der Formel

Du kannst das Fadenpendel mithilfe dieser Formel für ein spannendes Experiment nutzen. Wenn du ein Fadenpendel baust, kannst du die Länge $l$ des Fadens selbst festlegen. Die Periodendauer kannst du mit einer Stoppuhr, einer Kamera oder deinem Handy messen. Nun kannst du die Formel für die Periodendauer folgendermaßen umstellen:

$T = 2\pi \sqrt{ \frac{ l }{ g } } ~ ~ ~ | (...)^{2} ~ |:T ~ |\cdot g$

$\Rightarrow g = 4 \pi^{2} l \frac{1}{T^{2}}$

So kannst du durch Einsetzen der gemessenen Größen die Erdbeschleunigung $g$ mithilfe der Periodendauer eines Fadenpendels berechnen – mit einem Faden, einer Masse und einer Uhr.

Kurze Zusammenfassung zum Video Fadenpendel – Periodendauer

In diesem Video lernst du, von welchen Größen die Periodendauer eines Fadenpendels abhängt. Du erfährst auch, wozu du die Abhängigkeiten der Periodendauer nutzen kannst. Neben Text und Video findest du interaktive Übungen, mit denen du dein neues Wissen gleich testen kannst.