Eigenschwingung, erzwungene Schwingung und Resonanz

Eigenschwingung, erzwungene Schwingung und Resonanz Übung

• Gib an, was die Eigenfrequenz eines Oszillators ist.

  Tipps

  Je größer die Frequenz ist, desto geringer ist die Periodendauer.

  Die Eigenfrequenz ist eine Eigenschaft, anhand der man Oszillatoren kategorisiert.

  Lösung

  Jeder Oszillator hat eine Eigenfrequenz, die ihm innewohnt.

  Betrachtet man eine einzelne Schwingung, so kann man beobachten, dass es eine bestimmte Zeit braucht, um diese Schwingung zu durchlaufen. Je länger dabei das Pendel ist, desto länger dauert eine volle Schwingung.

  Das kannst du selbst einmal ausprobieren: Klebe einen Faden mit etwas Klebefilm auf eine $1€$ Münze. Nun halte den Faden in unterschiedlicher Entfernung von der Münze und beobachte die Dauer einer Schwingung.

  Die Dauer einer Schwingung richtet sich nach der Formel : $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.

  Das heißt die Dauer einer Schwingung hängt nur vom Ort des Experimentes also dem Ortsfaktor $g$ und der Fadenlänge $L$ ab.

  Die Masse spielt keine Rolle. Auch das kannst du selbst ausprobieren. Tausche dazu einfach die Münze durch ein 1-Cent Stück aus und wiederhole den Versuch.

  Viel Spaß beim Experimentieren.

• Nenne die Eigenschaften einer erzwungenen Schwingung.

  Tipps

  Ein Fadenpendel in der Hand wird nur zum Schwingen angeregt, wenn du deine Hand in der passenden Frequenz bewegst.

  Die Schwingung eines Oszillators kann durch Energie, welche von Außen zugeführt wird, zum Schwingen angeregt werden.

  Lösung

  Eine erzwungene Schwingung ist eine Schwingung, die erzeugt wird, wenn man einem Oszillator Energie mit einer Erregerfrequenz zuführt.

  Entspricht die Erregerfrequenz genau der Eigenfrequenz des Oszillator, tritt Resonanz auf.

  Ein Beispiel für eine erzwungene Schwingung ist etwa ein Fadenpendel in der Hand, welches dadurch in Bewegung gerät, dass wir die Hand, nicht aber das Pendel schwingen.

  Dabei stellt die Hand die erregende Frequenz dar. Solange diese nicht im Einklang mit der Eigenfrequenz des Oszillators ist, wird die Schwingung nur schwach übertragen.

  Du kannst diese These selbst überprüfen:
  Nimm den Faden eines Fadenpendels in die Hand (etwa so eines wie in Aufgabenteil $1$ beschrieben).
  Nun versuche, es zum schwingen zu bringen, ohne den Pendelkörper direkt zu berühren.
  Du wirst merken, dass das Pendel nur richtig schwingt, wenn du zum richtigen Moment auch deine Hand bewegst.

  Auch dieser Effekt ist mit der Erregerfrequenz zu erklären.

  Viel Spaß beim Ausprobieren!

• Berechne die Umlaufdauer einer Schwingung.

  Tipps

  Auf der Erde gilt $g = 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

  Die Masse des Pendels ist für die Berechnung irrelevant.

  Lösung

  Die Umlaufdauer eines Oszillators errechnet sich nach der gezeigten Formel.

  Wie du siehst, hängt die Umlaufdauer $T$ von der Länge des Pendels $L$ und dem Ortsfaktor $g$ ab.

  Die Masse des Pendels spielt keine Rolle bei der Berechnung.

  Mit der gegebenen Länge $L = 33 \text{cm} = 0,33 \text{m}$ und dem Ortsfaktor auf der Erde von $9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ ergibt sich :

  $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{0,33\text{m}}{9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} = 1,15 \text{s}$.

  Die Umlaufdauer beträgt $T = 1,15\text{s}$.

  Bei der Berechnung ist es wichtig auf die Einheit der Pendellänge zu achten:
  Da der Ortsfaktor in $\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ angegeben wird, muss auch die Pendellänge $L$ ebenfalls in $\text{m}$ und nicht etwa in $\text{cm}$ angegeben werden.

• Ermittle die natürliche Periodendauer.

  Tipps

  Es gilt die Formel für die Berechnung der Umlaufdauer des Fadenpendels.

  Verwende für alle Längeneinheiten $\text{m}$.

  Lösung

  Zunächst einmal wollen wir den Begriff der natürlichen Schwingung klären.

  Eine natürliche Schwingung ist die Schwingung, die ein Oszillator ausführt, wenn dieser ohne störende Fremdeinwirkung frei schwingen kann.

  Für die Berechnung der Dauer einer natürlichen Schwingung wollen wir nun die gültige Formel bemühen:

  $T_{nat} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

  mit Fadenlänge $L$ und Ortsfaktor $g$.

  Für eine Fadenlänge $L = 0,1\text{m}$ ergibt sich bei Ortsfaktor $g = 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$:

  $T_{nat} = 2\pi \sqrt{\frac{0,1\text{m}}{9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}= 0,63\text{s}$.

  Die natürliche Schwingung eines Pendels der Länge $10\text{cm}$ beträgt (auf der Erde) also $T_{nat} = 0,63\text{s}$.

• Gib die Größen an, welche die Eigenfrequenz eines Fadenpendels beeinflussen.

  Tipps

  Die natürliche Schwingungsdauer $T$ bestimmt die Eigenfrequenz.

  Lösung

  Generell gilt : Die Frequenz $f$ ist der Kehrwert der Schwingungsdauer $T$ also $f = \frac{1}{T}$.

  Kennt man also die Dauer der natürlichen Schwingung eines Oszillators, kann man dessen Eigenfrequenz einfach berechnen.

  Die Schwingungsdauer errechnet man mit der Formel :

  $T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{L}{g}}$.

  Mit der Fadenlänge $L$ und dem Ortsfaktor $g$ lässt sich so die Dauer einer Schwingung berechnen. Die Masse des Pendels sowie die Dicke des Fadens nehmen also keinen Einfluss auf die Eigenfrequenz.

• Ermittle die Eigenfrequenz der Oszillatoren.

  Tipps

  Die Frequenz $f$ ist definiert als der Kehrwert einer Periodendauer $T$.

  Am besten rechnest du die Fadenlängen zu Beginn der Rechnung in $\text{m}$ um.

  Lösung

  Die Frequenz $f$ ist definiert als der Kehrwert einer Periodendauer $T$:

  $f = \frac{1}{T}$.

  Um die Frequenz zu errechnen, muss also zunächst einmal die Umlaufdauer bekannt sein.

  Für die Umlauf- oder Periodendauer gilt (für das Fadenpendel) :

  $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.

  Damit ergibt sich

  $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}}$.

  Da die Berechnung der Frequenz unmittelbar mit der Berechnung der Periodendauer zusammenhängt, ist auch hier klar, dass die gleichen Einheiten verwendet werden müssen.

  Am besten rechnest du die Fadenlängen zu Beginn der Rechnung in $m$ um.

  Betrachten wir ein Beispiel:

  Die Fadenlänge betrage $L = 30\text{cm}$.

  Umrechnen
  $30\text{cm} = 0,3\text{m}$

  Einsetzen in die hergeleitete Formel
  $\frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{0,3\text{m}}{9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}} = 0,91 \frac{1}{\text{s}}$

  Antwort
  Für ein Fadenpendel der Länge $L = 30\text{cm}$ beträgt die Eigenfrequenz $f = 0,91 \frac{1}{\text{s}}$.