Eigenschwingung, erzwungene Schwingung und Resonanz
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Grundlagen zum Thema Eigenschwingung, erzwungene Schwingung und Resonanz
Resonanz bei mechanischen Schwingungssystemen
Die Phänomene von Schwingungen und Resonanz spielen eine zentrale Rolle in vielen Bereichen der Physik und Technik, aber auch in der Musik und bei Musikinstrumenten. Diese Konzepte helfen uns zu verstehen, wie Systeme auf äußere Einflüsse reagieren und wie Energie zwischen verschiedenen Formen und Medien übertragen wird. Resonanz kann beeindruckende und manchmal gefährliche Effekte haben, von der Verstärkung musikalischer Töne bis hin zu zerstörerischen Ereignissen wie dem Einsturz der Tacoma Narrows Bridge.
Eigenschwingung
Eine Eigenschwingung ist die natürliche Schwingung eines Systems, das ohne äußere Einflüsse in Bewegung gesetzt wurde. Ein solches System schwingt mit einer spezifischen Frequenz, die von den physikalischen Eigenschaften des Systems abhängt. Diese Frequenz wird als Eigenfrequenz bezeichnet.
Ein einfaches Beispiel für eine Eigenschwingung ist ein Pendel, das ausgelenkt und dann losgelassen wird. Das Pendel schwingt hin und her mit einer Frequenz, die von der Länge des Pendels und der Schwerkraft abhängt. Eigenschwingungen treten in vielen Systemen auf – darunter mechanische, elektrische und akustische Systeme. Die Eigenfrequenz kann durch die physikalischen Parameter des Systems, wie Masse, Steifigkeit und Dämpfung, beeinflusst werden.
Erzwungene Schwingung
Eine erzwungene Schwingung tritt auf, wenn ein System durch eine äußere periodische Kraft zu Schwingungen angeregt wird. Die Frequenz der erzwungenen Schwingung entspricht dabei der Frequenz der äußeren Kraft.
Ein bekanntes Beispiel ist ein Kind auf einer Schaukel. Wenn das Kind regelmäßig von einem Erwachsenen angeschubst wird, schwingt die Schaukel mit der Frequenz des Anschubsens. Bei erzwungenen Schwingungen spielt die Dämpfung eine wichtige Rolle. Die Amplitude der Schwingung hängt von der Stärke der äußeren Kraft und der Nähe ihrer Frequenz zur Eigenfrequenz des Systems ab.
Resonanz
Resonanz tritt auf, wenn die Frequenz der äußeren Kraft genau der Eigenfrequenz des Systems entspricht. Dadurch kann das System die maximale Schwingungsamplitude erreichen, was oft eine größere Amplitude des Erregers darstellt. Das wird auch Verstärkung genannt.
In diesem Fall schwingt das System mit maximaler Amplitude. Die folgende Abbildung veranschaulicht diesen Zusammenhang:
Erinnern wir uns an unser Beispiel mit der Schaukel, dann erkennen wir:
- Das Kind erreicht immer höhere Amplituden, wenn es immer mit einer bestimmten Frequenz angeschubst wird.
Resonanz kann in vielen Systemen auftreten und ist oft mit großen Amplituden und Energieübertragungen verbunden. Dies kann in mechanischen Systemen, elektrischen Schaltungen und akustischen Resonatoren beobachtet werden.
Beispiele für Resonanz im Alltag
Das Kind auf der Schaukel ist aber nicht das einzige Beispiel, wo uns Resonanz im Alltag begegnet.
Musik und Musikinstrumente
In der Musik bezieht sich Resonanz auf die Verstärkung bestimmter Frequenzen durch Musikinstrumente, um laute und klare Töne zu erzeugen.
Beispiele:
- Streichinstrumente: Bei einer Geige schwingen die Saiten und übertragen ihre Schwingungen auf den Resonanzkörper, der die Töne verstärkt.
- Holzblasinstrumente: Eine Klarinette nutzt die Resonanz des Luftkolbens im Inneren, um verschiedene Töne zu erzeugen, abhängig von der Länge der Luftsäule.
Resonanzkatastrophe
Eine Resonanzkatastrophe tritt auf, wenn die Resonanz in einem System so stark wird, dass das System zerstört wird. Das geschieht, wenn die Schwingungsamplitude aufgrund geringer Dämpfung unkontrolliert ansteigt.
Um das näher zu verstehen, können wir uns dieses Diagramm anschauen:
Dieses Diagramm stellt die Amplitude des Systems bei einer erzwungenen Schwingung dar. In dem Punkt, wo das System mit der Eigenfrequenz $f_0$ angeregt wird, findet Resonanz statt, wodurch die Amplitude maximal verstärkt wird. In dieser Funktionsgleichung spielt die Dämpfung eine Rolle. Je geringer die Dämpfung ist, desto höher ist das Maximum der Amplitude bei Resonanz. Das kann schnell zu ungewollt starken Schwingungen in System führen, die dafür nicht vorgesehen sind. Dann kann das System auch kollabieren und zerstört werden.
Wusstest du schon?
Die Tacoma Narrows Bridge in den USA ist ein berühmtes Beispiel für eine Resonanzkatastrophe. 1940 wurde die Brücke durch Wind in Resonanz versetzt, was zu immer größeren Schwingungen führte, bis sie schließlich einstürzte. Der Wind erzeugte Wirbel, die sich periodisch änderten und die Eigenfrequenz der Brücke trafen. Dies führte zu Resonanz und extremen Schwingungen. Die Brücke stürzte ein, was zu einem besseren Verständnis von Resonanzkatastrophen führte und die Bauweise moderner Brücken beeinflusste.
Wenn du mehr zu den Hintergründen des Diagramms, zur Funktionsgleichung der Amplitude und zum Dämpfungskoeffizienten erfahren willst, dann schau in die mathematische Herleitung zu den erzwungenen mechanischen Schwingungen!
Zusammenfassung – Eigenschwingung, erzwungene Schwingung und Resonanz
- Schwingungen und Resonanz sind zentrale Konzepte in der Physik, Technik und Musik, die erklären, wie Systeme auf äußere Einflüsse reagieren und Energie übertragen.
- Eine Eigenschwingung ist die natürliche Schwingung eines Systems ohne äußere Einflüsse, während eine erzwungene Schwingung durch eine äußere periodische Kraft entsteht.
- Resonanz tritt auf, wenn die Frequenz der äußeren Kraft der Eigenfrequenz des Systems entspricht, was zu maximaler Schwingungsamplitude führen kann, wie bei der Tacoma Narrows Bridge, die aufgrund von Resonanz einstürzte.
- In der Musik nutzen Instrumente Resonanz, um laute und klare Töne zu erzeugen, während Resonanzwellen in verschiedenen Medien auftreten und Energie übertragen können.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Eigenschwingung, erzwungene Schwingung und Resonanz
Transkript Eigenschwingung, erzwungene Schwingung und Resonanz
Hallo zu Physik mit Lars! Heute geht es um Eigenfrequenz, Resonanz und erzwungene Schwingungen. Warum stürzen Gebäude beim Erdbeben ein, aber Wolkenkratzer nicht? Was passiert, wenn ich beim Radio den Sender wechsle? Warum piept es manchmal laut, wenn man Mikrofone benutzt. Die Antworten auf diese und viele weitere Fragen lassen sich mit den Phänomenen der Eigenfrequenz, Resonanz und erzwungenen Schwingung erklären. Wenn du dieses Video schaust, solltest du schon wissen, was ein Oszillator, eine Schwingung und die Periodendauer einer Schwingung sind. Du hast vielleicht schon gesehen, wie man die Periodendauer T eines Fadenpendels bestimmt. Diese ist nur abhängig von der Fadenlänge l und der Fallbeschleunigung g. Im Grunde ist die Periodendauer also nur abhängig von der Bauweise des Pendels und dem Ort des Experiments. Bei anderen Oszillatoren ist es auch so, dass man eine zum Oszillator gehörige Periodendauer berechnen kann. Es gibt also eine vom Aufbau bestimmte Periodendauer T für jeden Oszillator, die man deshalb auch natürliche Periodendauer nennt. Den Kehrwert der Periodendauer nennt man Frequenz f. Geht man vom Kehrwert der natürlichen Periodendauer aus, dann erhält man eine natürliche Frequenz. Diese nennt man Eigenfrequenz, da sie dem Oszillator eigen ist. Du solltest dir also merken, dass jeder Oszillator eine ihm innewohnende Frequenz hat, also eine Eigenfrequenz. Okay, jetzt kennst du den Begriff der Eigenfrequenz. Stelle dir nun ein Pendel als Beispiel eines Oszillators vor. Steht das Pendel in Ruhe vor dir, schwingt es nicht. Um es zum Schwingen zu bringen, muss man ihm Energie hinzufügen. Wir können das Pendel durch hin- und herbewegen der Hand zum Schwingen zwingen. Je nachdem, wie schnell man die Hand hin und her bewegt, ändert sich die Schwingung des Pendels. Das Pendel schwingt also nicht unbedingt mit seiner Eigenfrequenz. Die Frequenz, mit der das Pendel schwingt, hängt vielmehr von der Frequenz ab, mit der man die Hand bewegt. Man nennt die Frequenz der Hand Erregerfrequenz, weil sie das Pendel zum Schwingen anregt. Natürlich gilt das auch für alle anderen Oszillatoren, die man durch das periodische hinzu führen von Energie zum Schwingen anregen kann. Eine so erzeugte Schwingung nennt man passenderweise eine erzwungene Schwingung. Eine erzwungene Schwingung ist eine Schwingung, die erzeugt wird, wenn man einem Oszillator Energie mit einer Erregerfrequenz hinzufügt. Im Gegensatz dazu nennt man eine nicht erzwungene Schwingung eines Oszillators mit seiner Eigenfrequenz Eigenschwingung. Super, zwei von drei Punkten haben wir schon abgehakt. Jetzt verbinden wir beide neuen Phänomene und erhalten ein drittes. Wenn die Erregerfrequenz einer erzwungenen Schwingung ungefähr gleich der Eigenfrequenz des Oszillators ist, dann tritt Resonanz auf. Resonanz heißt, dass die Amplitude der erzwungenen Schwingung bei bestimmten Erregerfrequenzen größer ist als bei anderen. Dieser Effekt tritt manchmal auch bei anderen Frequenzen auf. Meist sind das Vielfache der Eigenfrequenz. Alle Frequenzen, bei denen Resonanz auftritt, nennt man Resonanzfrequenz. Resonanz kann gut und schlecht sein. Vielleicht hast du schon mal von einer Resonanzkatastrophe gehört. Damit meint man die Zerstörung eines Oszillators im Resonanzfall. Ein Beispiel ist ein Gebäude, das bei einem Erdbeben einstürzt. Gibt es eine Erregerfrequenz mit der Resonanzfrequenz eines Bauwerkes, so schaukelt das Bauwerk sich auf. Dann kann es nach kurzer Zeit zur Resonanzkatastrophe kommen und das Gebäude stürzt ein. Ein weiteres Beispiel für eine Erregerfrequenz ist die Frequenz von Windböen. So kann zum Beispiel eine Brücke zum Einsturz gebracht werden. Bei einer Akustikgitarre braucht man Resonanz jedoch. Wir können die Schwingungen der Saiten nur laut genug hören, weil der Resonanzkörper der Gitarre die Schwingung verstärkt. Auch zum Radiohören brauchen wir Resonanz, denn auch das Radiosignal wird durch das Ausnutzen von Resonanz empfangen und verstärkt. Auf einer Bühne hört man manchmal ein lautes Piepen, das durch sogenannte Rückkopplung zwischen Mikrofon und Lautsprecher erzeugt wird. Die Verstärkung des Tons findet hier auch durch Resonanz statt. Resonanz ist also sehr vielseitig und begegnet uns häufig im Alltagsleben. Sie kann sowohl nützlich als auch schädlich für uns sein. Fassen wir nochmal zusammen: Jeder Oszillator hat eine natürliche Eigenfrequenz und kann eine Eigenschwingung mit dieser Frequenz ausführen. Wird ein Oszillator durch eine Erregerfrequenz zum Schwingen gebracht, nennt man dies erzwungene Schwingung. Ist die Erregerfrequenz einer erzwungenen Schwingung nahe einer Resonanzfrequenz des Oszillators, kommt es zur Resonanz. Resonanz ist das erzwungene Schwingen mit verstärkter Amplitude bei bestimmten Erregerfrequenzen. Klasse, jetzt weißt du etwas über Eigenfrequenz, erzwungene Schwingung und Resonanz. Bis zum nächsten Mal, dein Tutor Lars!
Eigenschwingung, erzwungene Schwingung und Resonanz Übung
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Gib an, was die Eigenfrequenz eines Oszillators ist.
TippsJe größer die Frequenz ist, desto geringer ist die Periodendauer.
Die Eigenfrequenz ist eine Eigenschaft, anhand der man Oszillatoren kategorisiert.
LösungJeder Oszillator hat eine Eigenfrequenz, die ihm innewohnt.
Betrachtet man eine einzelne Schwingung, so kann man beobachten, dass es eine bestimmte Zeit braucht, um diese Schwingung zu durchlaufen. Je länger dabei das Pendel ist, desto länger dauert eine volle Schwingung.
Das kannst du selbst einmal ausprobieren: Klebe einen Faden mit etwas Klebefilm auf eine $1€$ Münze. Nun halte den Faden in unterschiedlicher Entfernung von der Münze und beobachte die Dauer einer Schwingung.
Die Dauer einer Schwingung richtet sich nach der Formel : $ T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}} $.
Das heißt die Dauer einer Schwingung hängt nur vom Ort des Experimentes also dem Ortsfaktor $g$ und der Fadenlänge $L$ ab.
Die Masse spielt keine Rolle. Auch das kannst du selbst ausprobieren. Tausche dazu einfach die Münze durch ein 1-Cent Stück aus und wiederhole den Versuch.
Viel Spaß beim Experimentieren.
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Nenne die Eigenschaften einer erzwungenen Schwingung.
TippsEin Fadenpendel in der Hand wird nur zum Schwingen angeregt, wenn du deine Hand in der passenden Frequenz bewegst.
Die Schwingung eines Oszillators kann durch Energie, welche von Außen zugeführt wird, zum Schwingen angeregt werden.
LösungEine erzwungene Schwingung ist eine Schwingung, die erzeugt wird, wenn man einem Oszillator Energie mit einer Erregerfrequenz zuführt.
Entspricht die Erregerfrequenz genau der Eigenfrequenz des Oszillator, tritt Resonanz auf.
Ein Beispiel für eine erzwungene Schwingung ist etwa ein Fadenpendel in der Hand, welches dadurch in Bewegung gerät, dass wir die Hand, nicht aber das Pendel schwingen.
Dabei stellt die Hand die erregende Frequenz dar. Solange diese nicht im Einklang mit der Eigenfrequenz des Oszillators ist, wird die Schwingung nur schwach übertragen.
Du kannst diese These selbst überprüfen:
Nimm den Faden eines Fadenpendels in die Hand (etwa so eines wie in Aufgabenteil $1$ beschrieben).
Nun versuche, es zum schwingen zu bringen, ohne den Pendelkörper direkt zu berühren.
Du wirst merken, dass das Pendel nur richtig schwingt, wenn du zum richtigen Moment auch deine Hand bewegst.Auch dieser Effekt ist mit der Erregerfrequenz zu erklären.
Viel Spaß beim Ausprobieren!
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Berechne die Umlaufdauer einer Schwingung.
TippsAuf der Erde gilt $g = 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} $.
Die Masse des Pendels ist für die Berechnung irrelevant.
LösungDie Umlaufdauer eines Oszillators errechnet sich nach der gezeigten Formel.
Wie du siehst, hängt die Umlaufdauer $T$ von der Länge des Pendels $L$ und dem Ortsfaktor $g$ ab.
Die Masse des Pendels spielt keine Rolle bei der Berechnung.
Mit der gegebenen Länge $L = 33 \text{cm} = 0,33 \text{m} $ und dem Ortsfaktor auf der Erde von $9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ ergibt sich :
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{0,33\text{m}}{9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} = 1,15 \text{s}$.
Die Umlaufdauer beträgt $T = 1,15\text{s}$.
Bei der Berechnung ist es wichtig auf die Einheit der Pendellänge zu achten:
Da der Ortsfaktor in $\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ angegeben wird, muss auch die Pendellänge $L$ ebenfalls in $\text{m}$ und nicht etwa in $\text{cm}$ angegeben werden. -
Ermittle die natürliche Periodendauer.
TippsEs gilt die Formel für die Berechnung der Umlaufdauer des Fadenpendels.
Verwende für alle Längeneinheiten $\text{m}$.
LösungZunächst einmal wollen wir den Begriff der natürlichen Schwingung klären.
Eine natürliche Schwingung ist die Schwingung, die ein Oszillator ausführt, wenn dieser ohne störende Fremdeinwirkung frei schwingen kann.
Für die Berechnung der Dauer einer natürlichen Schwingung wollen wir nun die gültige Formel bemühen:
$T_{nat} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$
mit Fadenlänge $L$ und Ortsfaktor $g$.
Für eine Fadenlänge $L = 0,1\text{m}$ ergibt sich bei Ortsfaktor $g = 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$:
$T_{nat} = 2\pi \sqrt{\frac{0,1\text{m}}{9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}= 0,63\text{s}$.
Die natürliche Schwingung eines Pendels der Länge $10\text{cm}$ beträgt (auf der Erde) also $T_{nat} = 0,63\text{s}$.
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Gib die Größen an, welche die Eigenfrequenz eines Fadenpendels beeinflussen.
TippsDie natürliche Schwingungsdauer $T$ bestimmt die Eigenfrequenz.
LösungGenerell gilt : Die Frequenz $f$ ist der Kehrwert der Schwingungsdauer $T$ also $ f = \frac{1}{T} $.
Kennt man also die Dauer der natürlichen Schwingung eines Oszillators, kann man dessen Eigenfrequenz einfach berechnen.
Die Schwingungsdauer errechnet man mit der Formel :
$T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{L}{g}}$.
Mit der Fadenlänge $L$ und dem Ortsfaktor $g$ lässt sich so die Dauer einer Schwingung berechnen. Die Masse des Pendels sowie die Dicke des Fadens nehmen also keinen Einfluss auf die Eigenfrequenz.
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Ermittle die Eigenfrequenz der Oszillatoren.
TippsDie Frequenz $f$ ist definiert als der Kehrwert einer Periodendauer $T$.
Am besten rechnest du die Fadenlängen zu Beginn der Rechnung in $\text{m}$ um.
LösungDie Frequenz $f$ ist definiert als der Kehrwert einer Periodendauer $T$:
$f = \frac{1}{T}$.
Um die Frequenz zu errechnen, muss also zunächst einmal die Umlaufdauer bekannt sein.
Für die Umlauf- oder Periodendauer gilt (für das Fadenpendel) :
$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.
Damit ergibt sich
$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}}$.
Da die Berechnung der Frequenz unmittelbar mit der Berechnung der Periodendauer zusammenhängt, ist auch hier klar, dass die gleichen Einheiten verwendet werden müssen.
Am besten rechnest du die Fadenlängen zu Beginn der Rechnung in $m$ um.
Betrachten wir ein Beispiel:
Die Fadenlänge betrage $L = 30\text{cm}$.
Umrechnen
$30\text{cm} = 0,3\text{m}$Einsetzen in die hergeleitete Formel
$\frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{0,3\text{m}}{9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}} = 0,91 \frac{1}{\text{s}}$Antwort
Für ein Fadenpendel der Länge $L = 30\text{cm}$ beträgt die Eigenfrequenz $f = 0,91 \frac{1}{\text{s}}$.
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Lol
Das ist eine gute Frage/ Beobachtung!
Dazu vorab eine Bemerkung: in der Physik benutzen. wir ja meistens Modelle. Wenn wir etwas einen Oszillator nennen, dann reduizieren wir dieses reale etwas auf ein physikalisch idealisiertes Objekt. Dabei lassen wir dann je nachdem wie stark wir etwas idealisieren viele seiner realen Eigenschaften außer acht.
Wir versuchen uns immer auf die wesentlichen Eigenschaften zu konzentrieren.
Du kannst das mit einer Skizze vergleichen: wenn du jemandem eine Wegbeschreibung aufzeichnest, idealisierst du die reale Welt auf eine Karte mit Straßennamen und Häuserblocks, dabei ist aber zum Beispiel egal, welche Farbe die Häuser haben und wie viele Autos am Straßenrand stehen.
Wenn das erstmal klar ist, dann kommt die Antwort zu deiner Frage ganz natürlich:
Ja, ein Gebäude können wir auch als Oszillator betrachten, denn es kann schwingen. Dabei lassen wir wahrscheinlich aber viele reale Eigenschaften des Gebäudes außer acht, wie zum Beispiel seine genaue Form, die Tatsache, dass es aus verschiedenen Materialien besteht und so weiter. Man erhält trotzdem schon Ergebnisse mit denen man grobe Abschätzungen machen kann.
Zum Beispiel wie die Höhe des Gebäudes die Eigenfrequenz beeinflusst und in welchen Größenordnungen sich diese Frequenz bewegt.
Je genauer unser Modell die Realität widerspiegelt, desto besser werden die Voraussagen, die wir berechnen können, aber desto komplizierter werden auch die Rechnungen ;)
Tolles Video. Die Übungen helfen mir auch, aber hier hat sich mal wieder (wie leider so häufig bei sofatutor) ein Fehler bei dem vierten Punkt der Übung eingeschlichen: Die Dauer einer natürlichen Schwingung eines Pendels mit der Fadenlänge von 30 cm ist 1,1 s und nicht 1,01 s. Ansonsten danke für eure Videos und Übungen, ihr bin mir sicher ihr seid für viele eine große Hilfe.
@E Hruby
dieser Satz setzt sich aus mehreren Einzelinformationen zusammen:
*Es liegt ein Oszillator, also ein schwingungsfähiges System, vor und dieser besitzt eine Eigenfrequenz.
*Für Resonanz muss nun durch äußere Kräfte eine Schwingung angeregt werden. Man spricht von einer erzwungenen Schwingung.
*Dafür muss die Erregerfrequenz, der äußeren Schwingung, ein beliebiges ganzzahliges Vielfaches der Eigenfrequenz des Oszillators sein.
Sind alle diese Bedingungen erfüllt kommt es zum Resonanzfall und im extremsten Fall zur Resonanzkatastrophe.
gutes Video! Aber ich verstehe den Staz " Resonanz ist das erzwungene Schwingen bei einer bestimmten Erregerfrequenz" überhaupt nicht! Ich kann mir darunter echt nichts vorstellen!:(