Gesetz von Boyle-Mariotte

Gesetz von Boyle-Mariotte Übung

• Fasse die Aussagen des Gesetzes von Boyle-Mariotte mathematisch zusammen.

  Tipps

  In welchem mathematischen Zusammenhang stehen die Größen Druck und Volumen?

  Wie kann man diesen Zusammenhang in Formeln darstellen?

  Sind Druck und Volumen proportional oder umgekehrt proportional zueinander: Steigt der Druck mit zunehmendem Volumen oder nimmt er ab?

  Ist demnach das Produkt aus Druck und Volumen konstant oder deren Quotient?

  Wie verhalten sich die Drucke eines Gases bei unterschiedlichen Volumina? Ist der Druck des Gases bei kleinerem Volumen größer oder kleiner?

  Lösung

  Druck und Volumen eines idealen Gases verhalten sich umgekehrt proportional zueinander: $p \sim \frac 1V$.

  Das bedeutet, dass mit steigendem Volumen der Druck eines Gases abnimmt. Je mehr Platz die Teilchen haben, desto seltener übertragen sie Kräfte auf die begrenzenden Wände: Der Druck ist geringer. Umgekehrt nimmt der Druck zu, wenn sich das Volumen eines Gases verringert. Die Teilchen stoßen häufiger an die Wände und übertragen mehr Kraft auf eine kleinere Fläche.

  Je höher die eine Größe, desto geringer ist die andere Größe. Daher ist das Produkt aus Druck und Volumen konstant: $p \cdot V=\text {const.}$. In einem geringeren Volumen herrscht daher auch der höhere Druck und umgekehrt: $\frac {p_1} {p_2}=\frac {V_2} {V_1}$.

• Benenne die Bedingungen, unter denen das Gesetz von Boyle-Mariotte gültig ist.

  Tipps

  Wie kann sichergestellt werden, dass die Teilchen untereinander und mit den Wänden nur elastische Stöße ausführen?

  Soll das Verhalten von zwei Größen zueinander beschrieben werden, müssen weitere Zustandsgrößen des Gases konstant gehalten werden.

  Lösung

  Das Gesetz von Boyle-Mariotte gilt nur für ideale Gase. In solchen Gasen sollen volumenlose Teilchen nur elastische Stöße untereinander und mit den Wänden ausführen. Das bedeutet, dass beispielsweise keine Energie in Wärme umgewandelt wird. Dies wird experimentell durch ein Verdünnen des Gases näherungsweise ermöglicht. Die Art und Zusammensetzung der Teilchen kann aber unterschiedlich sein. So gilt das Gesetz auch für Gasgemische wie Luft.

  Soll der Zusammenhang zwischen den zwei physikalischen Größen Druck und Volumen eines Gases untersucht werden, so müssen andere Zustandsgrößen konstant gehalten werden. In diesem Fall ist das die Temperatur. Daher werden Veränderungen beim Gasvolumen experimentell möglichst langsam durchgeführt. Eine zu schnelle Volumenänderung würde zu unelastischen Stößen führen. Es würde kein ideales Gas mehr vorliegen.

• Vergleiche die Drücke, die nach dem Gesetz von Boyle-Mariotte in dem Neongas herrschen.

  Tipps

  Wie verhält sich der Druck, wenn das Volumen des Neongases halbiert, gefünftelt, gezehntelt wird?

  Zwischen welchen Volumen- und somit Druckwerten liegt das Volumen von $100~cm^3$?

  Lösung

  Für den beschriebenen Versuch kann zur Vorhersage das Gesetz von Boyle-Mariotte herangezogen werden. Das Neongas ist verdünnt und wird langsam zusammengedrückt, behält also eine konstante Temperatur. Damit verhält es sich (fast) wie ein ideales Gas.

  Halbiert man das Volumen des Neongases, so verdoppelt sich der Druck. Beträgt das Volumen nur noch ein Fünftel der ursprünglichen Größe, so verfünffacht sich der ursprüngliche Druck. Bei einem Volumen von einem Zehntel ist demnach der Druck zehnmal so hoch wie zu Beginn.

  Beträgt das Volumen nur noch zwei Fünftel des ursprünglichen Volumens, so steigt der Anfangsdruck um den Faktor fünf Halbe. Damit liegt er etwas höher als der Druck bei halbiertem Volumen.

• Ermittle den Druck, der am Ende des beschriebenen Versuchs in der Spritze herrscht.

  Tipps

  Welche Größen sind gegeben, welche Größe ist gesucht?

  Welcher Zusammenhang aus dem Gesetz von Boyle-Mariotte setzt zwei verschiedenen Volumina (hier $V_{Anfang},~V_{Ende}$) zu den jeweilig herrschenden Drücken (hier $p_{Anfang},~p_{Ende}$) ins Verhältnis?

  Stelle nach der gesuchten Größe um und setze ein.

  Lösung

  Zum Anfang des Versuchs herrscht in der Spritze der Luftdruck, der auch außen vorliegt: $p_{Anfang}=1~\text{bar}$.

  Das Volumen in der Spritze verkleinert sich dann während des Versuchs von $V_{Anfang}=10~\text{mL}$ auf $V_{Ende}=4~\text{mL}$.

  Dann gilt für die gesuchte Größe $p_{Ende}$ wegen $\frac {p_{Anfang}} {p_{Ende}}=\frac {V_{Ende}} {V_{Anfang}}$:

  $p_{Ende}=\frac {p_{Anfang} \cdot V_{Anfang}} {V_{Ende}}=\frac {1~\text{bar} \cdot 10~\text{mL}} {4~\text{mL}}=2,5~\text{bar}.$

  Auf wie viel bar kannst du denn die Luft in einer Spritze (ohne Spitze!) mit deiner Hand zusammendrücken?

• Gib die wesentlichen Eigenschaften eines idealen Gases wieder.

  Tipps

  Wechselwirkungen zwischen den Teilchen untereinander und mit den begrenzenden Wänden finden im idealen Gas nicht statt.

  Bei unelastischen Stößen wird Energie in innere Energie, zum Beispiel Wärme, umgewandelt. Bei elastischen Stößen nicht.

  Lösung

  Experimentell kann man ein ideales Gas natürlich nur näherungsweise herstellen. Das ideale Gas ist ein theoretisches Konstrukt, mit dessen Hilfe man Vorhersagen über das Druckverhalten bei Volumenänderung treffen kann.

  Diese theoretischen Vorhersagen können experimentell überprüft werden. Durch das Verwenden eines verdünnten Gases können dabei die idealen Bedingungen fast vollständig nachgebildet werden. So decken sich die experimentellen Ergebnisse zum Gesetz von Boyle-Mariotte in guter Näherung mit den theoretischen Vorhersagen.

• Erschließe dir den Druck, der am Ende des Gedankenexperiments in dem idealen Gas herrscht.

  Tipps

  In jedem Schritt ändern sich Volumen und Druck des Gases.

  Die Volumen- oder Druckänderung in jedem Schritt bezieht sich immer auf die aktuell herrschenden Verhältnisse, nicht auf die ursprünglichen Werte zu Beginn des Experimentes.

  Lösung

  Auf die Volumen- und Druckveränderungen in dem idealen Gas kann das Gesetz von Boyle-Mariotte angewendet werden. So findet eine Verdopplung des Druckes des idealen Gases im ersten Schritt bei halbiertem Volumen statt.

  Bezeichnet man das ursprüngliche Volumen als $V_{Anfang}$ und den ursprünglichen Druck analog als $p_{Anfang}$, so kann man die Schritte wie folgt beschreiben:

  1.Schritt: $2p_{Anfang},~\frac 12 V_{Anfang}$

  2.Schritt: $12p_{Anfang},~\frac {1} {12} V_{Anfang}$

  3.Schritt: $4p_{Anfang},~\frac {1} {4} V_{Anfang}$

  4.Schritt: $2p_{Anfang},~\frac {1} {2} V_{Anfang}$

  So zeigt sich, dass der ursprüngliche Druck des Gases nach dem letzten Schritt verdoppelt wurde.

  Experimentell kann man ein ideales Gas nur näherungsweise herstellen. Das ideale Gas ist ein theoretisches Konstrukt, mit dessen Hilfe man Vorhersagen über das Druckverhalten bei Volumenänderung treffen kann.

  Diese theoretischen Vorhersagen können experimentell überprüft werden. Durch das Verwenden eines verdünnten Gases können dabei die idealen Bedingungen fast vollständig nachgebildet werden. So decken sich die experimentellen Ergebnisse zum Gesetz von Boyle-Mariotte in guter Näherung mit den theoretischen Vorhersagen.