Zustandsgleichung idealer Gase
Tauche ein in die Physik der Gase und entdecke, wie Druck, Volumen und Temperatur miteinander interagieren. Lerne die Zustandsgleichung idealer Gase kennen und verstehe, wie sie den Zusammenhang dieser Zustandsgrößen erklärt. Interessiert? Erfahre mehr über die Spezialfälle und praktische Anwendungen!
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Grundlagen zum Thema Zustandsgleichung idealer Gase
Zustandsgleichung idealer Gase
Der Zustand von Gasen wird allgemein durch drei Größen beschrieben: Druck, Volumen und Temperatur. Diese drei Größen werden auch als Zustandsgrößen bezeichnet. Die Zustandsgleichung idealer Gase beschreibt den Zusammenhang zwischen diesen drei Größen. Im folgenden Text wird die Zustandsgleichung idealer Gase auf einfache Weise erklärt.
Wie lautet die Zustandsgleichung idealer Gase?
Die Definition der Zustandsgleichung idealer Gase lautet:
- Die Zustandsgleichung idealer Gase besagt, dass das Verhältnis von Druck $p$ mal Volumen $V$ zu Temperatur $T$ konstant ist.
Die Formel der Zustandsgleichung idealer Gase lautet:
$\boxed{\dfrac{p \cdot V}{T} = \text{const}}$ $\quad$ oder auch: $ \quad \dfrac{p_1 \cdot V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 \cdot V_2}{T_2}$
In der rechten Formel steht der Index $1$ für den Ausgangszustand. Der Index $2$ gibt einen veränderten Zustand an. Die Formel zeigt, dass der Zusammenhang zwischen den drei Größen immer konstant ist.
Die Zustandsgleichung für ideale Gase wird auch als allgemeine, universelle oder ideale Gasgleichung bezeichnet.
Achte unbedingt auf die Einheiten der idealen Gasgleichung, wenn du sie anwenden möchtest. Die Temperatur muss beispielsweise in Kelvin $(\pu{K})$ angegeben werden.
Zustandsgleichung idealer Gase – Spezialfälle
Es lassen sich drei Spezialfälle der Zustandsgleichung idealer Gase ableiten, die den Zusammenhang zwischen jeweils zwei Größen darstellen, während die dritte Größe als konstant angenommen wird.
Das Gesetz von Gay-Lussac besagt, dass bei konstantem Druck gilt:
- Je größer die Temperatur, desto größer das Volumen.
- Als Formel bedeutet das: $\quad \dfrac{V}{T} = \text{const}$.
Das Gesetz von Boyle-Mariotte besagt, dass bei konstanter Temperatur gilt:
- Je größer der Druck, desto kleiner das Volumen.
- Als Formel bedeutet das: $\quad p \cdot V = \text{const}$.
Das Das Gesetz von Amontons besagt, dass bei konstantem Volumen gilt:
- Je größer die Temperatur, desto größer der Druck.
- Als Formel bedeutet das: $\quad \dfrac{p}{T} = \text{const}$.
Da die Gesetze teilweise schon vor der Zustandsgleichung idealer Gase existierten, lässt sich diese auch aus ihren Spezialfällen ableiten. Das Gesetz von Gay-Lussac und das Gesetz von Boyle-Mariotte enthalten beide das Volumen. Zudem sind beide Terme konstant. Setzen wir sie zusammen, so erhalten wir die Zustandsgleichung idealer Gase.
Es gibt zudem weitere Herleitungen der Zustandsgleichung idealer Gase, die teilweise jedoch deutlich komplizierter sind.
Was sind ideale Gase?
Bei der Zustandsgleichung idealer Gase wird von Gasen mit einer sehr geringen Dichte ausgegangen. Das bedeutet, dass sie ein sehr großes Volumen besitzen, wodurch das Eigenvolumen der einzelnen Gasmoleküle vernachlässigt werden kann. Zudem bedeutet eine geringe Dichte, dass die Teilchen weit auseinander liegen, sodass keine Anziehungskräfte zwischen den Teilchen berücksichtigt werden müssen. Somit handelt es sich um eine vereinfachte Formel.
Diese idealen Gase kommen in der Natur kaum vor. Die Zustandsgleichung ist jedoch eine sehr gute Näherung. Für reale Gase ist diese Formel bei Zimmertemperatur anwendbar. Nur dann verhalten diese sich annähernd so wie ein ideales Gas. Eine ausführliche Erklärung zur Zustandsgleichung für reale Gase findest du im Video über reale Gase.
Zustandsgleichung idealer Gase – Beispiele
Schauen wir uns zunächst einen mit Luft gefüllten Ball an. Bei einer bestimmten Temperatur hat dieser eine bestimmte Dichte und ein bestimmtes Volumen. Liegt der Ball eine Weile in der Sonne, so steigt seine Temperatur. Auch das Volumen und die Dichte steigen. Das zeigt sich dadurch, dass der Ball praller wird.
Schauen wir uns ein Beispiel an, bei dem das Volumen konstant ist: Kocht man Wasser in einem Topf mit Deckel, so ist das Volumen konstant. Durch die Herdplatte steigt die Temperatur des Wassers und der Luft im Topf. Somit steigt auch der Druck. Dieser ist irgendwann so groß, dass sich der Deckel vom Topf bewegt. Dadurch vergrößert sich das Volumen und der Druck sinkt wieder ab.
Zustandsgleichung idealer Gase – Zusammenfassung
In Video und Text findet man eine einfache Erklärung der Zustandsgleichung idealer Gase. Zudem wird kurz auf die Herleitung der Formel eingegangen. Auch wird die Frage geklärt, was ideale Gase überhaupt sind. Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier auf der Seite Übungen und Arbeitsblätter mit Aufgaben zum Thema Zustandsgleichung idealer Gase.
Transkript Zustandsgleichung idealer Gase
Hallo. In diesem Video soll es um die Zustandsgleichung idealer Gase gehen. Dieser Ring hier stellt ein Gas, zum Beispiel Luft, in einem abgeschlossenen Raum dar. Ihr kennt bereits zwei Gesetze, die dann gelten. Das Erste hat etwas mit der Temperatur des Gases zu tun. Es lautet nämlich: Das Volumen (V) geteilt durch die Temperatur (T) ist immer konstant. Diese Gleichung kennt ihr schon unter dem Namen Gesetz von Gay-Lussac. Das Gesetz gilt, wenn der Druck im Gas konstant ist. Dann besagt es, dass, wenn die Temperatur im Gas größer wird, sich auch das Volumen vergrößert. Den Druck stelle ich nun mal mit einem kleinen Gewicht auf dem Gas dar. Dazu kennt ihr ein zweites Gesetz. Es lautet: Volumen (V) mal Druck (p) ist ebenfalls konstant. Dieses Gesetz gilt genau dann, wenn die Temperatur konstant ist. Und es besagt, dass, wenn der Druck auf das Gas größer wird, das Volumen dementsprechend kleiner wird. Diese beiden Gesetze können wir nun zusammenfassen zu einem, denn beide Gesetze enthalten das Volumen (V) und beide Gesetze haben als Lösung einen konstanten Wert. Wir erhalten dann: V×(p/t)=const. Das ist nun für uns die endgültige Zustandsgleichung idealer Gase. Und was bedeutet nun diese Formel im Einzelnen? Betrachten wir das wieder an unserem Gasring mit Erhitzen und Druck. Was passiert nun, wenn 1. der Druck immer konstant bleibt? Das kennen wir schon, das war das Gesetz von Gay-Lussac. Ihr erinnert euch? Wenn wir nun das Gas erhitzen, werden die Teilchen in dem Gas immer schneller und das Gas dehnt sich demnach aus. Nun zum 2., euch auch schon bekannten Punkt: Was ist, wenn T konstant ist? T=const? Ach ja, das ist das Boyle-Mariotte-Gesetz. Wenn sich nun also der Druck erhöht, dann bedeutet das, dass das Volumen des Gases sich verkleinert. Die beiden Punkte waren bisher ja nichts Neues. Aber es gibt ja noch eine dritte Variable in der Gleichung, das V. Das kann nämlich auch konstant sein. Aber was passiert denn dann, wenn sich nun beispielsweise die Temperatur des Gases erhöht und das Volumen nicht variabel ist, weil es sich zum Beispiel um einen abgeschlossenen Raum handelt? Dann muss sich, laut der Gleichung, der Druck in dem Gas erhöhen. Das habt ihr schon mal gesehen, wenn ihr Wasser in einem Topf mit Deckel gekocht habt. Irgendwann steigt die Temperatur so sehr und der Druck wird so groß, dass er sogar ausreicht, um den Deckel minimal anzuheben. Dadurch wird das Volumen wieder minimal vergrößert und der Druck sinkt, denn die Gleichung muss ja immer konstant bleiben. Jetzt fragt ihr euch vielleicht noch: Was sind eigentlich ideale Gase? Was soll das bedeuten? Die Gleichung stimmt nämlich eigentlich nur exakt für Gase mit einer sehr, sehr kleinen Dichte. Das bedeutet auch, dass sie ein sehr großes Volumen haben und dann muss man kein Eigenvolumen der einzelnen Gasmoleküle berücksichtigen. Das macht die Sache natürlich einfacher. Außerdem bedeutet eine sehr kleine Dichte, dass alle Teilchen so weit auseinanderliegen, dass keine Anziehungskräfte zwischen diesen Teilchen berücksichtigt werden müssen. Das vereinfacht das alles natürlich auch noch mal. Und obwohl diese idealen Gase so in der Natur eigentlich kaum vorkommen, ist diese Gleichung für die Genauigkeit, mit der wir arbeiten wollen, eine sehr gute Näherung. Aha. Darum heißt es also ideale Gase. Da können wir aber froh sein, dass wir um die Gleichung für reale Gase herumgekommen sind. Die existiert nämlich mittlerweile auch schon und ist um einiges komplizierter. Also, wir können uns mit der Zustandsgleichung für ideale Gase begnügen. Ich hoffe, ich konnte euch mit meinem Video helfen.
Zustandsgleichung idealer Gase Übung
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Bestimme, welche Eigenschaft zu den jeweiligen Gesetzen passt.
TippsDas ideale Gasgesetz setzt sich aus den anderen beiden Gesetzen zusammen.
LösungDas Gasgesetz $p\cdot V=const.$ ist das Boyle-Mariotte-Gesetz. Die Voraussetzung für dessen Gültigkeit ist, dass die Temperatur konstant ist.
Das Gasgesetz $\frac V T=const.$ ist das Gay-Lussac-Gesetz. Hierbei ist die Voraussetzung für die Gültigkeit, dass der Druck konstant ist.
Da bei den meisten Fällen in der Natur aber weder Druck noch Temperatur konstant sind, kann man beide Gesetze zu dem idealen Gasgesetz zusammenfassen (oder: Zustandsgleichung idealer Gase): $V\cdot \frac p T=const.$. Hierbei müssen Druck und Temperatur nicht konstant sein.
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Bestimme die Verhältnisse der Größen in den jeweiligen Gesetzen.
TippsDie Formel für das Gasgesetz nach Gay-Lussac lautet: $\frac V T=const.$
Die Formel für das Gasgesetz nach Boyle-Mariotte lautet: $p\cdot V=const.$
Die Formel für das ideale Gasgesetz lautet: $V\cdot \frac p T=const.$
LösungAm einfachsten ist es, wenn man sich die Formel zu dem passenden Gesetz anschaut: Was passiert, wenn das Volumen im Boyle-Mariotte-Gesetz größer wird? Da nach dem Boyle-Mariotte-Gesetz $p\cdot V$ immer dieselbe Konstante (innerhalb eines Systems) ergibt, muss der Druck p kleiner werden, damit das Ergebnis stimmen kann. Andererseits kann man sich das vielleicht auch vorstellen: Wenn man eine bestimmt Menge an Gas auf ein größeres Volumen verteilt, dann haben die Gasteilchen mehr "Platz" und der Druck ist somit kleiner.
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Berechne die Temperatur eines Kühlschranks mithilfe des Gasgesetztes von Gay-Lussac
TippsDas Gasgesetz von Gay-Lussac lautet $\frac V T=konst.$
Stelle eine Beziehung mithilfe des Gesetzes von Gay-Lussac her bezüglich der Situation, bevor der aufgeblasene Luftballon in den Kühlschrank kommt (Zeitpunkt 1), und unmittelbar nachdem er aus dem Kühlschrank kommt (Zeitpunkt 2).
LösungDa wir, nachdem wir den Luftballon aufgeblasen haben, keine Luft mehr hinzufügen, ist unser Druck in dem Luftballon konstant. Damit dürfen wir das Gesetz von Gay-Lussac benutzen: $\frac V T=konst.$
Zum Zeitpunkt 1 (vor dem Kühlen) haben wir ein Volumen $V_1=1dm^3$ und eine Temperatur $T_1=37°C=310,15K$. Zum Zeitpunkt 2 (direkt nach dem Kühlen) haben wir ein Volumen von $V_2=0,9dm^3$ und unsere Temperatur $T_2$ ist die unbekannte Kühlschranktemperatur.
Da nun nach dem Gesetz von Gay-Lussac alle Temperatur/Volumen Wertepaare dieselbe Konstante ergeben, können wir unsere beiden Situationen gleichsetzen. Es gilt: $\frac{V_1} {T_1}= \frac{V_2}{T_2}$.
Nach $T_2$ umgestellt und eingesetzt ergibt sich: $T_2=\frac{V_2}{V_1}\cdot T_1 =\frac{0,9dm^3}{1dm^3}\cdot 310,15K=279,135K\approx 6^\circ C$
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Berechne mit Hilfe des Gasgesetzes von Boyle-Mariotte, bei welchem Druck ein Luftballon platzt.
TippsDas Gesetz von Boyle-Mariotte lautet: $p \cdot V=konst.$
Stelle eine Beziehung mithilfe des Gesetzes von Boyle-Mariotte her bezüglich des Zustandes bei dem normal aufgeblasenen Luftballon (Zustand 1) und bei einem, der kurz vor dem Platzen ist (Zustand 2).
LösungDa es keine Temperaturänderung gibt, ist die Temperatur in dem Luftballon konstant. Damit dürfen wir das Gesetz von Boyle-Mariotte benutzen: $p \cdot V=konst.$
Im Zustand 1 (ganz normal aufgeblasen) haben wir ein Volumen $V_1=1,2dm^3$ und einen Druck $p_1=1013mbar$. Im Zustand 2 (kurz vor dem Platzen) haben wir ein Volumen von $V_2=2dm^3$ und einen Druck $T_2$, welcher der gesuchte Druck ist, ab dem der Luftballon platzt. Da nun nach dem Gesetz von Boyle-Mariotte alle Druck/Volumen-Wertepaare dieselbe Konstante ergeben, können wir unsere beiden Zustände gleichsetzen. Es gilt: $p_1 \cdot V_1= p_2 \cdot V_2$.
Nach $p_2$ umgestellt ergibt sich: $p_2=p_1 \cdot \frac{V_1}{V_2}=1013mbar \cdot \frac{1,2dm^3}{2dm^3}=607,8mbar$.
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Bestimme, welche Aussagen für ein ideales Gas zutreffen.
TippsDas Modell des idealen Gases ist eine Vereinfachung der Realität, bei der man viel weniger berücksichtigen muss.
LösungDas Modell des idealen Gases nimmt vor allem an, dass die Gasmoleküle kein Eigenvolumen haben, sondern als ausdehnungslose Massepunkte angesehen werden. Das ist in der Realität natürlich nicht so: Die Moleküle sind zwar sehr klein, aber sie haben ein Eigenvolumen. Weiterhin nimmt das Modell an, dass es zwischen den Gasmolekülen und anderen Teilchen keine Kräfte bestehen und sich die Moleküle ganz frei bewegen. In der Realität ist dies auch nicht so, die Teilchen enthalten zum Beispiel Elektronen, die ja eine Ladung haben und sich deswegen gegenseitig anziehen, bzw. abstoßen. Das Modell des idealen Gases ist also nur eine Vereinfachung, damit es für uns nicht so kompliziert ist. Gase mit geringer Dichte entsprechen am besten dieser Näherung.
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Berechne, wie viel Luft beim Heizen einer Skihütte entweicht.
TippsWir können davon ausgehen, dass der Druck innerhalb der Hütte und außerhalb der Hütte gleich ist. Damit dürfen wir das Gesetz von Gay-Lussac benutzen.
Das Gesetz von Gay-Lussac lautet: $\frac V T=konst.$
Stelle eine Beziehung mithilfe des Gesetzes von Gay-Lussac her bezüglich des Zustandes, bevor die Hütte aufgeheizt wird (Zustand 1) und nachdem sie aufgeheizt wurde (Zustand 2).
Die entwichene Luft ist genau die Differenz der Volumen, welches die Luft bei 22°C einnimmt und welches sie bei -14°C einnimmt.
Achte darauf, dass du die Temperaturen in der Einheit Kelvin einsetzt, da wir sonst (wegen der Minusgrade) ein falsches Ergebnis erhalten.
LösungWir können davon ausgehen, dass der Druck innerhalb der Hütte und außerhalb der Hütte gleich ist. Damit dürfen wir das Gesetz von Gay-Lussac benutzen: $\frac V T=konst.$
Die Idee ist, dass wir das Volumen berechnen, welches die Luft bei 22°C einnimmt (Zustand 2), also $T_2=22°C=295K$ und $V_2$ ist unser unbekanntes Volumen. Im Zustand 1 (vor dem Aufheizen) haben wir ein Volumen $V_1=100m^3$ und eine Temperatur $T_1=-14°C=259K$.
Da nun nach dem Gesetz von Gay-Lussac alle Temperatur/Volumen Wertepaare dieselbe Konstante ergeben, können wir unsere beiden Situationen gleichsetzen. Dabei ist darauf zu achten, dass man die Temperaturen in der Einheit Kelvin einsetzt, da wir sonst (wegen der Minusgrade) ein falsches Ergebnis erhalten. Es gilt:
$\frac{V_1} {T_1}= \frac{V_2}{T_2}$.
Nach $V_2$ umgestellt ergibt sich: $V_2=\frac{T_2}{T_1}\cdot V_1 =\frac{295K}{259K}\cdot 100m^3=113,9m^3$.
Also entweichen der Hütte genau $\Delta V=V_2-V_1=113,9m^3-100m^3=13,9m^3$ Luft.
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Sehr gut und deutlich erklärt :D vorher wusste ich nicht mal wieso es "ideale Gase" heißt
@Tanja: Die beiden Formeln bedeuten das gleiche. Sandra sagt, dass (p*V)/T=konstant. Dies gilt für jeden Zustand einer festen Stoffmenge eines idealen Gases, d.h. es gilt für alle Drücke, Temperaturen und Volumina. Hat ein Zustand den Druck p_1, das Volumen V_1 und die Temperatur T_1 so gilt also (p_1*V_1)/T_1=konstant. Für einen anderen Zustand mit Druck p_2, Volumen V_2 und Temperatur T_2 gilt aber ebenfalls (p_2*V_2)/T_2=konstant. Die Konstante ist in allen Gleichungen die selbe, sie ändert sich ja nicht wenn der Zustand des idealen Gases sich ändert. Also können wir die beiden Gleichungen gleichsetzen und erhalten
(p_1*V_1)/T_1= (p_2*V_2)/T_2.
Lg Nikolai
Die Formel ist doch p1 x v1 durch T1 = p2 x v2 durch T2 oder etwa nicht ?? Hä?
Prima auch von der Geschwindigkeit und Aufbau
Hey, super erklärt !