Was ist eine Gleichung?

Was ist eine Gleichung? Übung

• Gib an, woraus ein Term besteht.

  Tipps

  Das sind Beispiele für Terme:

  • ${9}$
  • ${3+5}$
  • ${16-8}$

  Dies sind weitere Beispiele für Terme:

  • ${2x}$
  • ${a-4}$

  Lösung

  Alle Rechenausdrücke, die in Gleichungen vorkommen, können auch in Termen vorkommen. Setzt sich ein Term aus mehreren Zahlen zusammen, werden diese mit Rechenzeichen und manchmal mit Klammern sinnvoll verknüpft.

  Ein Term ist ein Rechenausdruck, der also aus Zahlen (zum Beispiel $2$ oder $5$), Rechenzeichen (zum Beispiel $+$ und $-$ ), Klammern und auch Variablen (zum Beispiel $a$ oder $x$) besteht.

  Beispiele für ein Terme sind:

  • ${5+7}$
  • ${x-3}$
  • $6$

• Bestimme, ob es sich um eine wahre Gleichung handelt.

  Tipps

  Überprüfe, ob die Terme auf beiden Seiten der Gleichungen jeweils gleichwertig sind.

  ${5+6=11}$ ist eine wahre Gleichung.

  $16-x=12$ liefert für $x=5$ ist eine unwahre Gleichung.

  Lösung

  Hier ist es wichtig, dass die Terme auf beiden Seiten der Gleichung gleichwertig sind. Dafür rechnest du sowohl die rechte als auch die linke Seite der Gleichung aus und überprüfst, ob sie den gleichen Wert annehmen. Wenn eine Variable in der Gleichung vorkommt, dann setzt du an die Stelle $x$ den für $x$ gegebenen Zahlenwert ein.

  Folgende Gleichungen sind wahr:

  ${3+2=5}$

  ${3+5=7+1}$

  ${4+x=7}\\{x=3}$

  ${2+4=2\cdot3}$

  Folgende Gleichungen sind unwahr:

  ${6+5=13}\rightarrow$ denn ${11\neq 13}$

  ${4+x=7}$ für ${x=4}\rightarrow$ denn ${8\neq 7}$

  ${3+5=7}\rightarrow$ denn ${8\neq 7}$

  ${x+5=10}$ für ${x=6}\rightarrow$ denn ${11\neq 10}$

• Ermittle die Lösungen der Gleichung.

  Tipps

  Überlege dir, welche Zahl du für die Variable einsetzen musst, damit die Gleichung eine wahre Aussage liefert.

  Beipiel:

  ${15+y=22}$

  Für ${y=7}$ ist die Gleichung wahr.

  Lösung

  Achte darauf, dass die Lösungswerte und die Variablen zusammenpassen.

  Die Gleichungen haben folgende Lösungen

  • Du setzt in die Gleichung ${72:{a}=9}$ für ${a=8}$ ein. Dadurch entsteht mit ${72:8=9}$ eine wahre Aussage.
  • Du setzt in die Gleichung ${a+6=15}$ für ${a=9}$ ein. Dadurch entsteht mit ${9+6=15}$ eine wahre Aussage.
  • Du setzt in die Gleichung ${18=a-7}$ für ${a=25}$ ein. Dadurch entsteht mit ${18=25-7}$ eine wahre Aussage.
  • Du setzt in die Gleichung ${4\cdot{a}=16}$ für ${a=4}$ ein. Ddurch entsteht mit ${4\cdot{4}=16}$ eine wahre Aussage.

• Entscheide, ob die angegebene Lösung richtig ist.

  Tipps

  Setze den gegebenen Zahlenwert in die Gleichung ein und prüfe, ob eine wahre Aussage herauskommt.

  Beispiel:

  ${2\cdot{x}+15=29}$ mit ${x=7}$

  Die Gleichung ist korrekt, da $2\cdot{7}+15=14+15={29}$.

  Lösung

  Folgende Rechnungen sind korrekt:

  ${3\cdot{x}+4=10}$ mit ${x=2}\rightarrow$ denn ${3\cdot2+4=6+4=10}$

  ${35y=135-30}$ mit ${y=3}\rightarrow$ denn ${35\cdot3=135-30=105}$

  Folgende Rechnungen sind inkorrekt:

  Wenn man hier die Zahlenwerte in die Variable einsetzt, erhält man keine wahre Aussage.

  ${(18:{p})+3=12}$ mit $p=4$

  Gleichung ist wahr für ${p=2}\rightarrow$ denn ${(18:{2})+3=9+3=12}$

  ${k-125=242}$ mit $k=117$

  Gleichung ist wahr für ${k=367}\rightarrow$ denn ${367-125=242}$

• Beschreibe, was eine Gleichung ist.

  Tipps

  Eine einfache Gleichung ohne Variable ist zum Beispiel ${4+7=11}$. Du kennst sie schon aus der Grundschule.

  Eine Gleichung mit Variable ist zum Beispiel $8+x=12$, wobei hier $x$ den Zahlenwert $4$ annimmt, damit die Gleichung wahr ist.

  Überlege dir, wie eine Gleichung aufgebaut ist: Sie besteht immer aus Termen und Rechenzeichen.

  Lösung

  Gleichungen in der Mathematik kann man mit einer Waage aus dem Einkaufsladen vergleichen: Es muss auf beiden Seiten immer das gleiche Gewicht sein, damit die Waage ausgeglichen ist.
  So ist es auch bei Gleichungen: Damit sie wahr sind, müssen die Terme auf beiden Seiten den gleichen Wert annehmen.

  Gleichungen ohne Variablen

  Eine Gleichung verbindet zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen.

  Beispiel:

  $3+2=5$

  Gleichungen mit Variablen

  Wenn eine Gleichung Variablen beinhaltet, kann sie keine, eine oder mehrere Lösungen haben.

  Die Zahlenwerte, für die die Gleichung wahr ist, nennt man Lösung der Gleichung.

• Ermittle den $x$-Wert, für den die Gleichung richtig ist.

  Tipps

  Setze die Werte für $x$ in die jeweilige Gleichung ein und überprüfe, für welchen Wert auf beiden Seiten der Gleichung das Gleiche herauskommt.

  Beispiel:

  ${16+x=24}$ für ${x=8}$

  Rechnung:

  ${16+8=24}$

  Lösung

  Überprüfe, welcher $x$-Wert auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Zahl liefert. Für diesen $x$-Wert ist dann die Gleichung wahr und damit ist dieser Wert die Lösung der Gleichung.

  Diese Gleichungen sind für ${x=4}$ wahr:

  ${3\cdot{x}+12=24}$

  ${35+56:{x}=49}$

  Diese Gleichungen sind für ${x=5}$ wahr:

  ${65:{x}=13}$

  ${121-x=29\cdot4}$

  Diese Gleichungen sind für ${x=6}$ wahr:

  ${x\cdot8-12=36}$

  ${65=x+59}$