Dreiecksarten

Dreiecksarten Übung

• Gib die Eigenschaften von Dreiecken wieder.

  Tipps

  Ein spitzer Winkel ist kleiner als $90^\circ$ und ein stumpfer größer als $90^\circ$.

  Der Winkelsummensatz besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt.

  Ein stumpfwinkliges Dreieck hat einen Winkel größer als $90^\circ$. Da die Summe aller Winkel $180^\circ$ beträgt, müssen die beiden anderen Winkel spitze Winkel sein.

  Gleichseitige Dreiecke sind Spezialfälle von gleichschenkligen Dreiecken.

  Lösung

  In jedem Dreieck gilt, dass die Anordnung der Winkel genau der Anordnung der gegenüberliegenden Seiten entspricht. Das bedeutet: Je größer der Innenwinkel eines Dreiecks ist, desto länger ist die gegenüberliegende Seite.

  Bei einem spitzwinkligen Dreieck sind alle Innenwinkel spitze Winkel. Ein spitzer Winkel ist ein Winkel kleiner als $90^\circ$.

  Der Winkelsummensatz gilt in jedem beliebigen Dreieck. Er besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel immer $180^\circ$ beträgt.

  Bei einem stumpfwinkligen Dreieck ist einer der drei Winkel ein stumpfer Winkel. Ein stumpfer Winkel ist größer als $90^\circ$. Da die Summe der drei Innenwinkel immer $180^\circ$ beträgt, müssen die beiden verbleibenden Winkel spitze Winkel, also kleiner als $90^\circ$, sein.

  Bei gleichschenkligen Dreiecken sind mindestens zwei Seiten gleich lang. Die beiden gleich langen Seiten werden Schenkel genannt. Gleichseitige Dreiecke sind ein Spezialfall von gleichschenkligen Dreiecken. Dort sind alle drei Seiten gleich lang. Das bedeutet, dass jedes gleichseitige Dreieck mit Sicherheit auch gleichschenklig ist. Umgekehrt gilt dies jedoch nicht.

  Die Seite in einem gleichschenkligen Dreieck, welche nicht so lang ist wie die beiden Schenkel, heißt Basis. An dieser Seite liegen die sogenannten Basiswinkel an. Diese beiden Winkel sind gleich groß.

  Insbesondere gilt in gleichseitigen Dreiecken, dass alle drei Winkel gleich groß sind, also $60^\circ$.

• Überprüfe, ob die verdächtige Person tatsächlich der Dieb ist.

  Tipps

  Ein stumpfwinkliges Dreieck hat einen stumpfen Winkel. Die beiden übrigen Winkel sind spitze Winkel.

  Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen $90^\circ$-Winkel.

  Wenn alle vier Hinweise erfüllt sind, ist der Dieb gefasst.

  Lösung

  Wir schauen uns die vier Hinweise an und prüfen, ob der Anhänger all diese Hinweise erfüllt.

  Hinweis 1: An der Kleidung des Diebs befindet sich irgendwo ein Dreieck.

  Der Anhänger ist ein Dreieck. Dieser Hinweis ist erfüllt.

  Hinweis 2: Das Dreieck an der Kleidung des Diebs ist nicht stumpfwinklig.

  Die Winkel des Anhängers sind bekannt: Ein Winkel ist $50^\circ$ groß, die anderen beiden sind $65^\circ$ groß. Dieses Dreieck hat keinen stumpfen Winkel. Das bedeutet, dieser Anhänger passt zu dem Hinweis.

  Hinweis 3: Das Dreieck des Diebs ist rechtwinklig.

  Dies liegt bei dem Anhänger nicht vor, weil der Anhänger keinen Winkel von $90^\circ$ hat. Dieser Hinweis ist nicht erfüllt.

  Hinweis 4: Das Dreieck des Diebes ist gleichschenklig, aber nicht gleichseitig.

  Das bedeutet, dass genau zwei Seiten gleich lang sind. Da bei dem Anhänger zwei Winkel gleich groß sind, sind auch die gegenüberliegenden Seiten gleich lang. Da nicht alle Winkel gleich groß sind, kann es sich nicht um ein gleichseitiges Dreieck handeln. Dieser Hinweis ist erfüllt.

  Insgesamt sind drei der vier Hinweise erfüllt. Die Verdächtige kann nicht der Dieb sein.

• Entscheide mithilfe der Winkel, ob das Dreieck rechtwinklig, gleichschenklig oder gleichseitig ist.

  Tipps

  Die Summe der Winkel in einem Dreieck beträgt stets genau $180^\circ$.

  Sind zum Beispiel die beiden Winkel $20^\circ$ und $80^\circ$ gegeben, rechnen wir:

  $180^\circ-20^\circ-80^\circ=80^\circ$.

  Somit haben wir zwei gleichgroße Winkel, also ein gleichschenkliges Dreieck.

  Sind zum Beispiel die beiden Winkel $65^\circ$ und $25^\circ$ gegeben, rechnen wir:

  $180^\circ-65^\circ-25^\circ=90^\circ$.

  Somit haben wir einen Winkel, der $90^\circ$ groß ist, also ein rechtwinkliges Dreieck.

  Lösung

  In dieser Aufgabe sind stets zwei Winkel gegeben. Mithilfe der Innenwinkelsumme kannst du sehr schnell ausrechnen, wie groß der dritte Winkel ist:

  Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt immer exakt $180^\circ$.

  Mithilfe der Winkel kannst du nun die jeweilige Dreiecksart bestimmen:

  • Jedes rechtwinklige Dreieck hat genau einen $90^\circ$-Winkel.
  • Jedes gleichseitige Dreieck hat immer 3 Winkel mit jeweils genau $60^\circ$.
  • Jedes gleichschenklige Dreieck hat genau 2 gleich große Winkel.

  Beispiel: Angegeben sind $40^\circ$ und $100^\circ$.

  • Du kannst den dritten Winkel berechnen: $180^\circ - 40^\circ - 100^\circ = 40^\circ$
  • Das Dreieck hat zwei gleich große Winkel und ist somit gleichschenklig.

• Ermittle mit deinem Wissen über Dreiecke den Unterschlupf der Bankräuber.

  Tipps

  Nach dem Winkelsummensatz beträgt die Summe der drei Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks immer $180^\circ$.

  Ein stumpfer Winkel ist größer als $90^\circ$.

  In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß, nämlich $60^\circ$.

  Lösung

  Was wissen wir? Der Unterschlupf der Räuber ist ein Haus mit einem Dach in Form eines stumpfwinkligen Dreiecks. Das bedeutet, dass einer der drei Winkel ein stumpfer Winkel sein muss. Wir können bei den gegebenen Dreiecken jeweils den fehlenden Winkel berechnen, um zu prüfen, ob einer der Winkel ein stumpfer Winkel ist.

  Nach dem Winkelsummensatz gilt, dass die Summe aller drei Innenwinkel stets $180^\circ$ beträgt.

  Da in fast jedem der Dreiecke zwei Winkel gegeben sind, müssen wir diese Gleichung nach dem dritten, fehlenden Winkel umformen.

  Dies machen wird nun für jedes der Dächer.

  Dach A: Wir kennen den rechten Winkel und einen weiteren Winkel, nämlich $45^\circ$. Damit gilt für den fehlenden Winkel:

  $180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ$

  Keiner der drei Winkel ist größer als $90^\circ$. Dieses Dreieck kann nicht stumpfwinklig sein. Dieses Dreieck ist rechtwinklig und gleichschenklig.

  Dach B: Hier sind zwei Winkel gegeben $45^\circ$ und $50^\circ$.

  Der dritte Winkel ergibt sich, wenn man die beiden Winkel von $180^\circ$ subtrahiert:

  $180^\circ-45^\circ-50^\circ=85^\circ$

  Alle drei Winkel sind spitze Winkel. Dieses Dreieck ist sicher nicht stumpfwinklig.

  Dach C: Hier sind zwei gleich große Winkel gegeben $35^\circ$.

  Wieder kann der dritte, fehlende Winkel berechnet werden, indem diese Winkel von $180^\circ$ subtrahiert werden;

  $180^\circ-35^\circ-35^\circ=110^\circ$

  Dies ist ein stumpfer Winkel. Dieses Dreieck ist stumpfwinklig und darüber hinaus auch gleichschenklig. Dies könnte der Unterschlupf der Räuber sein.

  Dach D: Dies ist ein gleichseitiges Dreieck. Das bedeutet, dass auch alle drei Winkel gleich groß sind, nämlich $60^\circ$. Auch dieses Dreieck kann nicht stumpfwinklig sein.

  Dach E: Gegeben sind die beiden Winkel $50^\circ$ sowie $65^\circ$. Es wird wieder der dritte Winkel berechnet.

  $180^\circ-50^\circ-65^\circ=65^\circ$

  Keiner der drei Winkel ist ein stumpfer Winkel. Alle drei Winkel sind spitze Winkel und zwei stimmen überein. Dieses Dreieck ist gleichschenklig und spitzwinklig.

  Schließlich und endlich können wir feststellen, dass einzig Haus C die Bedingung erfüllt und deswegen der gesuchte Unterschlupf sein muss.

• Bestimme mithilfe der Beschreibungen, was du über die Art der Dreiecke sagen kannst.

  Tipps

  Notiere dir die Eigenschaften der folgenden Dreiecke:

  • spitzwinklige Dreiecke
  • stumpfwinklige Dreiecke
  • gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke
  • rechtwinklige Dreiecke

  Ein stumpfwinkliges Dreieck liegt vor, wenn einer der drei Innenwinkel größer ist als $90^\circ$.

  Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang.

  Lösung

  In dieser Übung sollst du dir einen Überblick über die verschiedenen Dreiecke erarbeiten:

  Dreiecke können aufgrund ihrer Winkel eingeteilt werden: Jedes Dreieck hat mindestens zwei spitze Winkel. Ein spitzer Winkel ist kleiner als $90^\circ$. Der dritte Winkel unterscheidet die Dreiecke.

  • Ist der dritte Winkel auch ein spitzer Winkel, so liegt ein spitzwinkliges Dreieck vor.
  • Ist der dritte Winkel ein rechter Winkel, so liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor.
  • Ist der dritte Winkel ein stumpfer Winkel, so liegt ein stumpfwinkliges Dreieck vor.

  Dreiecke können auch dadurch unterschieden werden, wie viele der drei Seiten gleich lang sind.

  • Wenn mindestens zwei Seiten gleich lang sind, so liegt ein gleichschenkliges Dreieck vor.
  • Wenn sogar alle drei Seiten gleich lang sind, spricht man von einem gleichseitigen Dreieck.

  Nun kannst du die Informationen zuordnen:

  1. Eine Fläche mit drei Seiten und drei Ecken ist ein Dreieck. Die Summe der Innenwinkel dieses Dreiecks ist immer $180^\circ$.
  2. Wenn keiner der Winkel größer ist als $90^\circ$, dann kann es sich sicherlich nicht um ein stumpfwinkliges Dreieck handeln.
  3. Ist einer der drei Winkel ein rechter Winkel, also $90^\circ$, so spricht man von einem rechtwinkligen Dreieck.
  4. Wenn genau zwei Seiten gleich lang sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig.

• Finde die Fehler in den Aussagen der Polizistin zu Dreiecken.

  Tipps

  Du kannst dir auch alle Eigenschaften der Dreiecke aufschreiben. Vergleiche die Eigenschaften dann mit den Aussagen der Polizistin.

  Lösung

  1. Ein stumpfwinkliges Dreieck besitzt einen stumpfen Winkel, also einen Winkel, der größer ist als $90^\circ$. Da die Summe aller Winkel $180^\circ$ beträgt, gilt für die beiden verbleibenden Winkel, dass deren Summe kleiner sein muss als $90^\circ$. Das bedeutet, dass diese beiden Winkel spitze Winkel sein müssen.
  2. In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang. Das bedeutet, dass auch zwei Seiten gleich lang sind. Damit ist jedes gleichseitige Dreieck auch gleichschenklig. Umgekehrt ist dies aber nicht richtig.
  3. Bei 1. haben wir bereits festgestellt, dass bei einem stumpfwinkligen Dreieck die beiden nicht-stumpfen Winkel spitze Winkel sein müssen.
  4. Der Winkelsummensatz besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel in jedem beliebigen Dreieck immer $180^\circ$ beträgt. Da gibt es auch keine Ausnahmen oder Sonderfälle.
  5. In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel $90^\circ$ groß. Da die Summe der beiden übrigen Winkel ebenfalls $90^\circ$ beträgt, muss jeder der beiden Winkel kleiner sein als $90^\circ$, also ein spitzer Winkel.
  6. In gleichschenkligen Dreiecken gilt zum einen, dass zwei Seiten gleich lang sind und zum anderen, dass die gegenüberliegenden Winkel gleich groß sind.