Terme mit Variablen aufstellen (Übungsvideo)

Terme mit Variablen aufstellen (Übungsvideo) Übung

• Definiere die Begriffe Term und Variable.

  Tipps

  Beispiele für Terme:

  • $3 + 7$
  • $(5 - x) \cdot 3$
  • $x - y : 5$

  Beispiele für Variablen:

  $a$, $r$, $x$, $y$

  Lösung

  Im der Mathematik ist ein Term ein sinnvoller Rechenausdruck. Terme können Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern enthalten.

  Die Variablen, die in Termen vorkommen können, sind Platzhalter für eine Zahl oder Größe. Meistens stellen wir Variablen durch Kleinbuchstaben dar, z.B.: $a$, $r$, $x$ oder $y$. Erst wenn wir eine entsprechende Zahl oder Größe anstelle der Variablen einsetzen, können wir den zugehörigen Termwert berechnen.

  Beispiele für Terme mit und ohne Variablen:

  • $5$
  • $(2 - x) : 3$
  • $a + b$
  • $5 + 7 : (4 - 3)$

• Gib die passenden Terme an.

  Tipps

  Überlege dir, wofür die Variablen $e$ und $z$ stehen.

  $e$: Anzahl der Esel

  $z$: Anzahl der Ziegen

  Es sind doppelt so viele Rinder wie Esel.

  Bei $15$ Eseln müssen es also $30$ Rinder sein.

  Lösung

  Um zu überprüfen, ob ein Term zu einem bestimmten Sachverhalt passt, können wir die Probe durchführen. Dazu ermitteln wir einige Werte und testen, ob wir durch Einsetzen dieselben Termwerte erhalten.

  Auf einer Insel gibt es doppelt so viele Rinder wie Esel.
  Außerdem gibt es $20$ Schafe weniger als Ziegen.

  Ein Term für die Anzahl der Rinder enthält die Variable $e$: Anzahl der Esel.
  Es sind doppelt so viele Rinder wie Esel, also zum Beispiel:

  • $15$ Esel $\rightarrow 30$ Rinder
  • $20$ Esel $\rightarrow 40$ Esel

  Der passende Term ist daher $2 \cdot e$. Es gilt:

  • $2 \cdot 15 = 30$
  • $2 \cdot 20 = 40$

  $\,$

  Ein Term für die Anzahl der Schafe enthält die Variable $z$: Anzahl der Ziegen.
  Es gibt $20$ Schafe weniger als Ziegen, also zum Beispiel:

  • $80$ Ziegen $\rightarrow 60$ Schafe
  • $35$ Ziegen $\rightarrow 15$ Schafe

  Der passende Term ist daher $z - 20$. Es gilt:

  • $80 - 20 = 60$
  • $35 - 20 = 15$

• Entscheide, ob der Term zur Aufgabe passt.

  Tipps

  Überlege dir einige Beispiele und überprüfe, ob der Term die passenden Werte liefert.

  Beispiel: $2 \cdot x$

  Tim ist doppelt so alt wie Tom.
  $x$: Alter von Tom

  Tom $10$ Jahre $\rightarrow$ Tim $20$ Jahre: $2 \cdot 10 = 20$
  Tom $15$ Jahre $\rightarrow$ Tim $30$ Jahre: $2 \cdot 15 = 30$

  $\Rightarrow$ Der Term passt zur Aufgabe.

  Lösung

  Um sicher zu sein, ob der Term passt, können wir einige einfache Termwerte berechnen und überprüfen, ob diese zur Aufgabenstellung passen.

  Wir betrachten die einzelnen Aufgaben:

  • Anton ist dreimal so alt wie Toni. Mit $x$: Alter von Anton.

  Toni $10$ Jahre $\rightarrow$ Anton $30$ Jahre: $30 - 3 = 27 \neq 10$
  Toni $15$ Jahre $\rightarrow$ Anton $45$ Jahre: $45 - 3 = 42 \neq 15$
  $\Rightarrow$ Der Term $x - 3$ passt nicht.
  Passender Term: $x : 3$

  • Toni ist drei Jahre älter als Anton. Mit $x$: Alter von Toni.

  Anton $10$ Jahre $\rightarrow$ Toni $13$ Jahre: $13 - 3 = 10$
  Anton $15$ Jahre $\rightarrow$ Toni $18$ Jahre: $18 - 3 = 15$
  $\Rightarrow$ Der Term $x - 3$ passt.

  • Anton ist drei Jahre älter als Toni. Mit $x$: Alter von Toni.

  Toni $10$ Jahre $\rightarrow$ Anton $13$ Jahre: $10 - 3 = 7 \neq 13$
  Toni $15$ Jahre $\rightarrow$ Anton $18$ Jahre: $15 - 3 = 12 \neq 18$
  $\Rightarrow$ Der Term $x - 3$ passt nicht.
  Passender Term: $x + 3$

  • Froni hat drei Katzen weniger als Franziska. Mit $x$: Anzahl der Katzen von Froni.

  Franziska hat $5$ Katzen: $ \rightarrow$ Froni hat $2$ Katzen: $2 - 3 = -1 \neq 5$
  Franziska hat $10$ Katzen $ \rightarrow$ Froni hat $7$ Katzen: $7 - 3 = 4 \neq 10$
  $\Rightarrow$ Der Term $x - 3$ passt nicht.
  Passender Term: $x + 3$

  • Franziska hat doppelt so viele Katzen wie Froni. Mit $x$: Anzahl der Katzen von Froni.

  Froni hat $5$ Katzen $\rightarrow$ Franziska hat $10$ Katzen: $5 - 3 = 2 \neq 10$
  Froni hat $10$ Katzen $\rightarrow$ Franziska hat $20$ Katzen: $10 - 3 = 7 \neq 20$
  $\Rightarrow$ Der Term $x - 3$ passt nicht.
  Passender Term: $2 \cdot x$

  • Franziska hat drei Katzen weniger als Froni. Mit $x$: Anzahl der Katzen von Froni.

  Froni hat $5$ Katzen $\rightarrow$ Franziska hat $2$ Katzen: $5 - 3 = 2$
  Froni hat $10$ Katzen $\rightarrow$ Franziska hat $7$ Katzen: $10 - 3 = 7$
  $\Rightarrow$ Der Term $x - 3$ passt.

• Stelle einen passenden Term auf.

  Tipps

  Überlege dir, wie du den zweiten Wert mit der Variable $a$ berechnen kannst.

  Lösung

  Um zu einer Textaufgabe einen passenden Term aufzustellen, müssen wir diese zunächst sorgfältig lesen. Dann legen wir eine Variable fest. Mit der Variable stellen wir einen Term auf.

  In den Beispielen ist die Variable $a$ jeweils vorgegeben. Wir überlegen uns, wie wir mit der Variablen den anderen Wert berechnen können:

  1. Beispiel:
  Tim ist 5 Jahre jünger als Anton. Mit $a$: Alter von Anton.
  Anton $20$ Jahre $\rightarrow$ Tim $15$ Jahre: $20 - 5 = 15$
  Anton $30$ Jahre $\rightarrow$ Tim $25$ Jahre: $30 - 5 = 25$
  Term: $a - 5$

  2. Beispiel:
  Amira hat dreimal so viele Gummibärchen wie Toni. Mit $a$: Anzahl Gummibärchen von Amira.
  Toni $5$ Bärchen $\rightarrow$ Amira $15$ Bärchen: $15 : 3 = 5$
  Toni $7$ Bärchen $\rightarrow$ Amira $21$ Bärchen: $21 : 3 = 7$
  Term: $a : 3$

  3. Beispiel:
  Tarek hat fünfmal so viele Murmeln wie Angela. Mit $a$: Anzahl der Murmeln von Angela.
  Angela $5$ Murmeln $\rightarrow$ Tarek $25$ Murmeln: $5 \cdot 5 = 25$
  Angela $10$ Murmeln $\rightarrow$ Tarek $50$ Murmeln: $5 \cdot 10 = 50$
  Term: $5 \cdot a$

  4. Beispiel:
  Tobi hat fünf Kekse mehr als Alena. Mit $a$: Anzahl Kekse von Alena.
  Alena $5$ Kekse $\rightarrow$ Tobi $10$ Kekse: $5 + 5 = 10$
  Alena $20$ Kekse $\rightarrow$ Tobi $25$ Kekse: $20 + 5 = 25$
  Term: $a + 5$

• Bestimme die Termwerte.

  Tipps

  Setze den gegebenen $x$-Wert ein und berechne den Term.

  Achte darauf, die Klammer zuerst zu berechnen.

  Beispiel:

  $x = 7$

  $(4 + 7) \cdot 2 = 11 \cdot 2 = 22$

  Lösung

  Wir können Termwerte bestimmen, indem wir Zahlen für die Variable einsetzen. Danach berechnen wir den Term unter Berücksichtigung der Rechenregeln, wie zum Beispiel Klammer zuerst und Punkt vor Strich.

  Betrachten wir den Term $(4 + x) \cdot 2$:
  Wir setzen die gegebenen Zahlen für die Variable $x$ ein, berechnen die zugehörigen Termwerte und vervollständigen die Tabelle.

  • $x = 1 \rightarrow (4 + 1) \cdot 2 = 5 \cdot 2 = \bf{10}$
  • $x = 2 \rightarrow (4 + 2) \cdot 2 = 6 \cdot 2 = \bf{12}$
  • $x = 4 \rightarrow (4 + 4) \cdot 2 = 8 \cdot 2 = \bf{16}$
  • $x = 5 \rightarrow (4 + 5) \cdot 2 = 9 \cdot 2 = \bf{18}$

  $\,$

  $\begin{array}{c|c} x & \text{Termwert} \\ \hline 1 & 10 \\ 2 & 12 \\ 3 & 14 \\ 4 & 16 \\ 5 & 18 \end{array}$

• Berechne, wie viel Sita gespart hat. Stelle zunächst einen passenden Term auf.

  Tipps

  Lies den Text genau durch und überlege dir, woher Sita Geld bekommt.

  Wenn Anton fünf Monate lang ein Drittel seines Taschengelds spart, können wir das durch folgenden Term ausdrücken:

  $(t : 3) \cdot 5$

  Lösung

  Um einen Term für Sitas Ersparnisse auszustellen, betrachten wir, woher sie in den letzten vier Monaten Geld bekommen hat:

  • Taschengeld: Sie spart jeden Monat die Hälfte. Es sind vier Monate:

  $(t : 2) \cdot 4$

  • Geburtstag: Sie bekommt das Dreifache ihres Taschengelds:

  $3 \cdot t$

  • Ferienjob: Sie kümmert sich zwei Wochen um die Nachbarskatze:

  $2 \cdot 15\,€$

  Für den gesamten Term addieren wir die verschiedenen Einnahmen:
  $(t:2) \cdot 4 + 3 \cdot t + 2 \cdot 15\,€$

  Wenn wir wissen, dass Sita jeden Monat $16\,€$ Taschengeld bekommt, können wir diesen Wert für $t$ in unseren Term einsetzen und erhalten:
  $\begin{array}{rcrcrl} & (16\,€ :2) \cdot 4 & + & 3 \cdot 16\,€ & + & 2 \cdot 15\,€ & \\ = & 8\,€ \cdot 4 & + & 48\,€ & + & 30\,€ &\\ = & 32\,€ & + & 48\,€ & + & 30\,€ & \\ = & 110\,€ \end{array}$

  Insgesamt hat Sita also in den vier Monaten $\mathbf{110\,€}$ gespart.