Die Raute
Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel, die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und sind Symmetrieachsen. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß und benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°. Aber ist jede Raute ein Rechteck? Erfahre mehr im folgenden Video!
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Grundlagen zum Thema Die Raute
Raute – Definition
Die Raute, manchmal auch Rhombus genannt, ist ein Viereck mit einer besonderen Geometrie. Sie hat nämlich vier Seiten, die alle gleich lang sind.
Ein Viereck mit viel gleich langen Seiten heißt Raute oder Rhombus.
Raute – Beschriftung
Wenn wir eine Raute aufmalen, bezeichnen wir ihre Eckpunkte gegen den Unhrzeigersinn mit den Buchstaben $A$, $B$, $C$ und $D$, wie bei jedem Viereck.
Die Seiten können wir alle gleich beschriften, weil sie ja alle gleich lang sind. Wir nehmen dazu ein kleines $a$.
Für die Winkel benutzen wir Buchstaben aus dem griechischen Alphabet. Der Winkel beim Punkt $A$ heißt $\alpha$, der Winkel bei $B$ heißt $\beta$, der Winkel bei $C$ heißt $\gamma$ und der Winkel bei $D$ heißt $\delta$. Insgesamt sieht unsere Zeichnung also so aus:
Wusstest du schon?
Die Raute ist in der Flagge von Bayern zu sehen. Die weiß‑blauen Rauten sind ein Symbol für das Bundesland und repräsentieren dessen Tradition und Geschichte. Jedes Mal, wenn du die bayerische Flagge siehst, kannst du an die besondere Geometrie denken, die du entdeckt hast!
Raute – Eigenschaften
Die Raute steht weit oben im Haus der Vierecke, da sie einige besondere Eigenschaften hat. Jede Raute ist auch immer ein Drachenviereck, ein Parallelogramm und ein (gleichschenkliges) Trapez.
Wir können unsere Raute auch zusammendrücken. Solange sich die Länge der Seiten nicht ändert, und gegenüberliegende Seiten parallel bleiben, ist es immer noch eine Raute. Das kann zum Beispiel so aussehen:
Jetzt sagst du vielleicht: Aber das ist doch ein Quadrat! Und du hast recht. Aber es ist auch eine Raute. Schauen wir noch einmal auf unsere Definition für die Raute:
- Alle Seiten sind gleich lang.
- Gegenüberliegende Seiten sind parallel.
- Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
Das Quadrat erfüllt alle Punkte. Jedes Quadrat ist also eine Raute, aber nicht jede Raute ein Quadrat.
Seiten der Raute
Wir wissen schon, dass alle Seiten gleich lang sind. Außerdem sind die Seiten, die sich gegenüberliegen, auch parallel. Die Seite $\overline{\text{ AB }}$ ist also parallel zu $\overline{\text{ CD }}$ und auch $\overline{\text{ BC }}$ ist parallel zu $\overline{\text{ DA }}$.
Winkel der Raute
Wir können auch etwas über die Winkel sagen. Zwei angrenzende, also benachbarte Winkel, ergeben zusammen immer genau $180^\circ$. So ist beispielsweise $\alpha + \beta = 180^\circ$. Und wenn man alle Winkel addiert, also $\alpha + \beta + \gamma + \delta$, erhält man genau $360^\circ$. Außerdem sind zwei gegenüberliegende Winkel immer gleich groß. Also sind zum Beispiel $\alpha$ und $\gamma$ gleich groß.
Diagonalen der Raute
Wenn wir vom Punkt $A$ zum Punkt $C$ eine Linie ziehen, erhalten wir eine Diagonale. Das Gleiche können wir zwischen den Punkten $B$ und $D$ machen. Diese Diagonalen halbieren die Winkel an den jeweiligen Eckpunkten.
Die beiden Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich gegenseitig. Daher sind die Diagonalen gleichzeitig Symmetrieachsen der Raute. Das bedeutet, dass wir die Raute entlang einer Diagonalen umklappen können. Die Hälften passen dann deckungsgleich aufeinander.
Fehleralarm
Viele Schülerinnen und Schüler denken, dass die Diagonalen in einer Raute gleich lang sind. Tatsächlich sind sie unterschiedlich lang und halbieren die Raute in vier gleichgroße Dreiecke.
Inkreis und Umkreis der Raute
Jede Raute hat einen Inkreis, der alle Seiten der Raute berührt. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Diagonalen.
Eine Raute hat nur dann einen Umkreis, wenn alle Winkel der Raute $90^\circ$ sind. In diesem Fall ist die Raute auch gleichzeitig ein Quadrat.
Raute zeichnen
Wenn du eine Raute zeichnen möchtest, beginnst du am besten mit den beiden Diagonalen (wenn du diese gegeben hast). Diese stehen senkrecht aufeinander und schneiden sich jeweils in der Mitte. Dann kannst du die Endpunkte der Diagonalen zu einer Raute verbinden.
Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal die Fensterscheiben im Dach eines Bahnhofs oder eines Gewächshauses betrachtet. Sie sind oft in Form einer Raute konstruiert. Das liegt daran, dass Rauten eine stabile Struktur bilden und Lasten gut verteilen.
Sieh dir die genaue Anordnung an, um zu erkennen, wie geometrische Formen im Alltag eingesetzt werden, um Gebäude sicher und stabil zu machen.
Raute – Formeln
Um Größen einer Raute zu berechnen, kannst du spezielle Formeln nutzen.
Abhängig davon, welche Größen gegeben und gesucht sind, kannst du die Formeln auch nach der gesuchten Größe umstellen.
Umfang der Raute
Der Umfang $U$ einer Figur ist die Länge der Linie, von der die Figur umgeben ist. Der Umfang einer Raute setzt sich also aus den vier gleich langen Seiten zusammen. Es gilt:
$U_{\text{Raute}} = a + a + a + a = 4 \cdot a$
Beispiele:
Umfang der Raute – Rechner
In das folgende Feld kannst du selbst ein paar Werte für die Seitenlänge einsetzen, auf Berechnen klicken und sehen, welcher Umfang sich daraus ergibt.
Flächeninhalt der Raute
Der Flächeninhalt $A$ einer Figur ist die Fläche, die durch den Rand der Figur eingeschlossen wird.
Du kannst den Flächeninhalt einer Raute aus den Längen der Diagonalen $e$ und $f$ oder wie bei einem Parallelogramm über die Höhe $h$ berechnen. Es gilt:
$A_{\text{Raute}}= \dfrac{1}{2} \cdot e \cdot f = a \cdot h$
Beispiele:
Flächeninhalt der Raute – Rechner
In die folgenden Felder kannst du selbst ein paar Werte für die Diagonalen einsetzen, auf Berechnen klicken und sehen, welcher Flächeninhalt sich daraus ergibt.
Ausblick – das lernst du nach Die Raute
Erweitere deine Kenntnis der Geometrie und lerne auch das Parallelogramm, das Trapez und das Drachenviereck kennen. Vertiefe dein Wissen und übe, verschiedene Vierecke zu identifizieren. Freue dich auf die Entdeckung weiterer mathematischer Formen!
Zusammenfassung der Raute
- Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten.
- Jede Raute ist auch eine Parallelogramm, ein Trapez und ein Drachenviereck.
- Ein Quadrat ist eine spezielle Raute mit vier rechten Winkeln.
- In einer Raute sind gegenüberliegende Seiten parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß.
- Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich gegenseitig.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Raute
Transkript Die Raute
Die ägyptische Katzengöttin liegt hier begraben. Der Legende nach, kann sie wieder zum Leben erweckt werden, vervollständigt man ihren Sarkophag. Wir haben jedoch nur einen Versuch, die Teile richtig einzusetzen. Sonst werden wir in der Pyramide eingesperrt. Die fehlenden Stücke bilden zusammen eine ganz besondere Form, nämlich eine Raute. In diesem Video lernst du, was eine Raute ist, wie man sie beschriftet und welche besonderen Eigenschaften sie besitzt. Die Raute ist ein Viereck, bei dem alle 4 Seiten gleich lang sind. Manchmal wird die Raute auch 'Rhombus' genannt. Die Eckpunkte der Raute bezeichnen wir mit A, B, C und D. Da alle Seiten dieselbe Länge haben, können wir alle Seiten auch mit einem kleinen a beschriften. Dem griechischen Alphabet entsprechend bezeichnen wir den Winkel bei A mit Alpha, den Winkel bei B mit Beta und die anderen Winkel demnach mit Gamma und Delta. Da alle Seiten gleich lang sind, sind gegenüberliegende Seiten auch stets parallel zueinander. Die Seite AB ist also parallel zu CD. Somit ist auch BC parallel zu DA. Die Summe zweier angrenzender Winkel ist in der Raute immer 180 Grad. So ist beispielsweise Alpha plus Beta gleich 180 Grad. Insgesamt ergibt sich für die Winkelsumme aller 4 Winkel 360 Grad. In der Raute sind gegenüberliegende Winkel immer gleich groß. Alpha ist also gleich Gamma und Beta gleich Delta. Die Winkel werden durch Diagonalen halbiert. Eine Diagonale ist eine Strecke, die einen Eckpunkt mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt verbindet. Diese stehen dabei stets senkrecht aufeinander. Gleichzeitig sind die Diagonalen auch die Symmetrieachsen der Raute. Wir können die Raute an dieser Diagonalen zusammenklappen und auch an dieser. In beiden Fällen sind die jeweiligen Hälften deckungsgleich zu den anderen Hälften. Somit entspricht die Raute auch der Definition eines Drachenvierecks, denn jedes Viereck, dessen Diagonale eine Symmetrieachse ist, ist ein Drachenviereck. Auch so haben wir weiterhin eine Raute. Alle Winkel sind nun jedoch rechte Winkel. Somit erfüllt diese Raute gleichzeitig die Eigenschaften eines Rechtecks, bei dem alle Winkel 90 Grad betragen. Da zusätzlich alle Seiten gleich lang sind, ist diese Form der Raute auch ein Quadrat. Grundsätzlich ist jedes Quadrat auch eine Raute, da es stets die Eigenschaft hat, dass alle Seiten gleich lang sind. Doch selbst wenn nicht alle Winkel 90 Grad betragen, ist die Raute auch ein Parallelogramm, denn gegenüberliegende Seiten sind jeweils parallel zueinander. Somit ist die Raute auch gleichzeitig ein Trapez, dessen Eigenschaft es ist, dass zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind. Lass uns das noch einmal zusammenfassen. Die Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Gegenüberliegende Seiten sind stets parallel zueinander und gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Die Diagonalen stehen senkrecht zueinander, halbieren sich gegenseitig und die Winkel an den Eckpunkten. Lass uns nun schauen, was passiert, wenn wir das letzte Stück einsetzen und die Raute vervollständigen. Oh, so hat sich die Katzengöttin wohl keiner vorgestellt.
Die Raute Übung
-
Bestimme die korrekten Aussagen zu den Eigenschaften einer Raute.
TippsEine Raute ist ein Viereck.
So kann eine Raute aussehen.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Alle fünf Seiten der Raute sind gleich lang.“
- Es stimmt, dass alle Seiten einer Raute gleich lang sind, allerdings besitzt eine Raute nur vier Seiten.
- Gegenüberliegende Winkel einer Raute sind immer gleich groß.
„Die Summe zweier angrenzender Winkel einer Raute beträgt immer $180^{\circ}$“
„Gegenüberliegende Winkel einer Raute sind immer gleich groß.“
„Die Diagonalen einer Raute sind gleichzeitig die Symmetrieachsen.“
- All dies sind Eigenschaften von Rauten. Du solltest sie dir gut merken.
-
Beschreibe die Eigenschaften einer Raute.
Tipps$\alpha$ und $\beta$ befinden sich in nebeneinanderliegenden Ecken.
Klappst du eine Raute entlang einer der Diagonalen um, dann sind die beiden Hälften deckungsgleich.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Eine Raute ist ein Viereck, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Sie wird auch Rhombus genannt.
Nebeneinanderliegende Winkel einer Raute addieren sich zu $180^{\circ}$. Es gilt also beispielsweise:
$\alpha + \beta=180^{\circ}$“
- $\alpha$ und $\beta$ befinden sich in nebeneinanderliegenden Ecken.
$\alpha = \gamma$“
Die Diagonalen einer Raute verlaufen durch gegenüberliegende Ecken und halbieren die jeweiligen Winkel. Sie bilden gleichzeitig die Symmetrieachsen.
- Klappst du eine Raute entlang einer der Diagonalen um, dann sind die beiden Hälften deckungsgleich.
-
Ermittle, welche Bezeichnung der geometrischen Figuren am zutreffendsten ist.
TippsBei einem Parallelogramm sind jeweils gegenüberliegende Seiten parallel.
Zwei gegenüberliegende Seiten eines Trapezes sind parallel.
LösungSo kannst du die Bezeichnungen mit den geometrischen Figuren verbinden.
- Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Die einzige Figur, die diese Voraussetzungen erfüllt, ist die zweite von rechts.
- Bei einem Parallelogramm sind jeweils gegenüberliegende Seiten parallel. Die Seiten müssen jedoch nicht alle gleich lang sein. Also ist es die zweite Figur von links.
- Zwei gegenüberliegende Seiten eines Trapezes sind parallel. Die Figur ganz rechts entspricht dieser Beschreibung am besten.
- Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Jeweils gegenüberliegende Seiten sind parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß. Die Figur ganz links entspricht dieser Definition.
-
Erschließe die fehlenden Winkel der Rauten.
TippsGegenüberliegende Winkel einer Raute sind gleich.
Nebeneinanderliegende Winkel einer Raute addieren sich zu $180^{\circ}$.
LösungMit diesen Informationen kannst du die Lücken füllen:
Gegenüberliegende Winkel einer Raute sind immer gleich groß.
Nebeneinanderliegende Winkel einer Raute addieren sich zu $180^{\circ}$.
Damit erhalten wir für die erste Raute:
- Der gegenüberliegende Winkel von $\alpha$ ist $\gamma$. Also gilt: $\gamma=100^{\circ}$
- Der gegenüberliegende Winkel von $\beta$ ist $\delta$. Also gilt: $\delta=80^{\circ}$
Der Winkel $\beta$ liegt neben $\alpha$. Also gilt:
$\alpha+\beta=180^{\circ}$. Mit $\alpha=60^{\circ}$ erhalten wir:
- $\beta=120^{\circ}$
- $\gamma=60^{\circ}$ und $\delta=120^{\circ}$
Der Winkel $\gamma$ liegt neben $\delta$. Also gilt:
$\gamma+\delta=180^{\circ}$. Mit $\delta=105^{\circ}$ erhalten wir:
- $\gamma=75^{\circ}$
-
Gib an, welche geometrischen Figuren ebenfalls Rauten sind.
TippsEine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Jeweils gegenüberliegende Seiten sind parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß
Überlege dir, welche der angegebenen Figuren diese Eigenschaften erfüllen.
LösungEine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Jeweils gegenüberliegende Seiten sind parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß. Überlege dir, welche dieser Figuren diese Eigenschaften erfüllen.
Dann erhältst du, dass diese Figuren ebenfalls Rauten sind:
„Rhombus“
- Das ist einfach ein anderer Name für eine Raute.
- Diese Figur erfüllt alle Voraussetzungen für eine Raute.
- Diese Figur erfüllt alle Voraussetzungen für eine Raute. Zusätzlich sind alle Winkel rechte Winkel.
„Trapez“
- Hier sind nicht alle gegenüberliegenden Seiten parallel. Eine Raute ist zwar ein Trapez, aber ein Trapez ist nicht automatisch auch eine Raute.
- Ein Kreis ist kein Viereck.
-
Erschließe den Flächeninhalt der Raute.
TippsUm den Flächeninhalt einer Raute zu berechnen, musst du die Flächeninhaltsformel für das Dreieck mal $4$ nehmen und anschließend die Längen der Diagonalen in die Formel des Flächeninhalts einsetzen.
Die Raute besteht aus vier gleich großen Dreiecken. Somit lautet die Flächeninhaltsformel für die Raute:
$A= \frac12 \cdot \frac{e~\cdot~f}{4} \cdot 4$
$A = \frac12 \cdot e \cdot f$
Für die erste Raute erhältst du also:
$A= \frac{1}{2} e \cdot f= \frac{1}{2} \cdot 3,\!5~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} = \dots$
LösungDie Raute wird durch die Diagonalen in vier gleich große Dreiecke unterteilt. Die Katheten der Dreiecke entsprechen jeweils der Hälfte der Diagonalen. Der Flächeninhalt eines dieser Dreiecke ist somit
$A=\frac12 \cdot \frac{e}{2} \cdot \frac{f}{2} = \frac12 \cdot \frac{e~\cdot~f}{4}$
Da die Raute aus vier solcher Dreiecke besteht, ist ihr Flächeninhalt:
$A= \frac12 \cdot \frac{e~\cdot~f}{4} \cdot 4$
$A = \frac12 \cdot e \cdot f$
Um den Flächeninhalt einer Raute zu berechnen, musst du die Diagonalen in die Formel des Flächeninhalts einsetzen. Für die erste Raute erhältst du also:
- $A=\frac{1}{2} e \cdot f=\frac{1}{2} \cdot 3,5~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} =7~\text{cm}^2$
- $A=\frac{1}{2} e \cdot f=\frac{1}{2} \cdot 3~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} =7,5~\text{cm}^2$
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Gutes Video und gut erklärt ✌🏻Das Ende war sehr lustig 😂😁
Lustiges Ende 🤣