Koordinatensystem – Einzeichnen und Ablesen von Punkten (Übungsvideo)

Koordinatensystem – Einzeichnen und Ablesen von Punkten (Übungsvideo) Übung

• Bestimme die Punkte im Koordinatensystem.

  Tipps

  Jeder Punkt im zweidimensionalen Koordinatensystem besteht aus zwei Koordinaten. Einer $x$- und einer $y$-Koordinate.

  Die erste Koordinate bei $P(x|y)$ ist die $x$- und die zweite die $y$-Koordinate.

  Hier siehst du am Beispiel des Punktes $Q(3|4)$ wie du diesen einzeichnest:

  • Du gehst $3$ Einheiten entlang der $x$-Achse nach rechts.
  • Dann gehst du $4$ Einheiten entlang der $y$-Achse nach oben.

  Bei einem negativen Wert gehst du entsprechend nach links bzw. unten.

  Lösung

  Hier kannst du die vier Punkte im Koordinatensystem sehen.

  Wir schauen uns nun für jeden der Punkte an, wie diese eingezeichnet werden:

  • $A({-3}|2)$: Gehe $3$ Einheiten entlang der $x$-Achse nach links und $2$ Einheiten entlang der $y$-Achse nach oben.
  • $B(2|{-4})$: Gehe $2$ Einheiten entlang der $x$-Achse nach rechts und $4$ Einheiten entlang der $y$-Achse nach unten.
  • $E(3|4)$: Gehe $3$ Einheiten entlang der $x$-Achse nach rechts und $4$ Einheiten entlang der $y$-Achse nach oben.
  • $F(4|{-1})$: Gehe $4$ Einheiten entlang der $x$-Achse nach rechts und $1$ Einheit entlang der $y$-Achse nach unten.

• Gib die Koordinaten der Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ an.

  Tipps

  Starte beim Koordinatenursprung. Dieser ist im Punkt $(0|0)$.

  Die Einheiten, die du entlang der $x$-Achse gehst, stehen für die $x$-Koordinate. Das ist bei einem Punkt die linke Koordinate.

  • Punkte rechts vom Ursprung haben eine positive $x$-Koordinate.
  • Punkte links vom Ursprung haben eine negative $x$-Koordinate.

  Die Einheiten, die du entlang der $y$-Achse gehst, stehen für die $y$-Koordinate. Dies ist bei einem Punkt die rechte Koordinate.

  • Punkte oberhalb der $x$-Achse haben eine positive $y$-Koordinate.
  • Punkte unterhalb der $x$-Achse haben eine negative $y$-Koordinate.

  Hier siehst du den Punkt $P(2|-4)$ und gestrichelte Hilfslinien:

  Starte im Koordinatenursprung und gehe $2$ Einheiten nach rechts und dann die gestrichelte Linie $4$ Einheiten nach unten.

  Lösung

  In dieser Aufgabe geht es darum die Koordinaten von Punkten aus dem Koordinatensystem zu ermitteln. Hier siehst du, wie du vorgehen kannst:

  • Den Punkt $A$ erreichst du, indem du $6$ Einheiten entlang der $x$-Achse nach links gehst $(x=-6)$. Dann gehst du $3$ Einheiten entlang der $y$-Achse nach oben $(y=3)$. Dies führt zu dem Punkt $A(-6|3)$.
  • Jetzt kannst du den Punkt $B$ untersuchen. Dieser liegt auf der $x$-Achse. Du gehst $4$ Einheiten nach links. So ist der Punkt $B(-4|0)$.
  • Den Punkt $C$ erreichst du wie folgt: Du gehst $1$ Einheit nach rechts $(x=1)$ und $4$ Einheiten nach oben $(y=4)$. Somit ist $C(1|4)$.
  • Kommen wir zuletzt zu dem Punkt $D$. Du gehst $3$ Einheiten nach links und $5$ Einheiten nach unten. Der Punkt lautet also $D(-3|-5)$.

• Ermittle die Koordinaten der Punkte.

  Tipps

  Die linke Koordinate ist die $x$- und die rechte die $y$-Koordinate.

  Der Punkt $D$ liegt auf der $x$-Achse.

  Punkte auf den Koordinatenachsen haben eine Koordinate, die $0$ ist.

  Zeichne durch jeden Punkt eine Parallele zu einer der Koordinatenachsen. Dort, wo diese Parallele die andere Koordinatenachse schneidet, kannst du die entsprechende Koordinate ablesen.

  Der Punkt $C$ hat zwei positive und der Punkt $A$ zwei negative Koordinaten.

  Lösung

  Hier siehst du am Beispiel des Punktes $A$ eine Möglichkeit, wie du Koordinaten von Punkten bestimmen kannst:

  • Zeichne eine Parallele zur $y$-Achse durch $A$. Diese schneidet die $x$-Achse bei $x=-7$. Dies ist die $x$-Koordinate des Punktes $A$.
  • Zeichne eine Parallele zur $x$-Achse durch $A$. Diese schneidet die $y$-Achse bei $y=-6$, der $y$-Koordinate des Punktes $A$.

  Du erhältst so den Punkt $A(-7|-6)$.

  Ebenso kannst du die anderen Punkte bestimmen:

  • $B(-3\vert 2)$
  • $C(2|4)$
  • $D(5|0)$
  • $E(2|-4)$

  Hinweis: Jeder Punkt, der wie $D$ auf der $x$-Achse liegt, hat die $y$-Koordinate $0$.

• Leite die Punkte her, die die drei gegebenen Punkte zu einem Parallelogramm ergänzen.

  Tipps

  In einem Parallelogramm sind die einander gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander.

  Übertrage das obige Koordinatensystem in dein Heft:

  • Zeichne eine Parallele zu der Strecke $\overline{AB}$ durch den Punkt $C$.
  • Zeichne eine weitere Parallele durch die Strecke $\overline{BC}$ durch $A$.
  • Die so erhaltenen Geraden schneiden sich in einem Punkt, welcher das Dreieck $ABC$ zu einem Parallelogramm ergänzt.

  Zwei der drei gesuchten Punkte liegen auf der zu $AB$ parallelen Geraden, die durch $C$ geht.

  Lösung

  Hier siehst du die drei Möglichkeiten für einen weiteren vierten Punkt:

  • $D(-7|3)$: Das Viereck $ABCD$ ist ein Parallelogramm.
  • $E(7|3)$: Auch das Viereck $ABCE$ ist ein Parallelogramm.
  • $F(-3|-7)$ führt zu dem Parallelogramm $ABCF$.

  Wie kommst du zu diesen Punkten? Dies schauen wir uns an dem Beispiel des Punktes $D$ an:

  • Zeichne eine Parallele zu der Strecke $\overline{AB}$ durch den Punkt $C$.
  • Zeichne eine Parallele zu der Strecke $\overline{BC}$ durch den Punkt $A$.
  • Die beiden Parallelen schneiden sich in dem Punkt $D$.

• Beschreibe, wie du den Punkt $H(-5|4)$ in einem Koordinatensystem einzeichnen kannst.

  Tipps

  An der $x$-Koordinate kannst du erkennen, wie weit du entlang der $x$-Achse gehst:

  • Bei negativem Vorzeichen gehst du nach links.
  • Bei positivem Vorzeichen gehst du nach rechts.

  Der Punkt $P(3|4)$ hat die $x$-Koordinate $x=3$ und die $y$-Koordinate $y=4$.

  Ist die $y$-Koordinate zum Beispiel $2$, gehst du $2$ Einheiten entlang der $y$-Achse nach oben.

  Lösung

  Die Pfeile in diesem Bild deuten an, wie du einen Punkt in ein Koordinatensystem eintragen kannst.

  Zunächst einmal machst du dir klar, dass die linke Koordinate des Punktes $H(-5|4)$ die $x$- und die rechte die $y$-Koordinate ist:

  • $x=-5$
  • $y=4$

  Gehe nun $5$ Einheiten entlang der $x$-Achse nach links. Du gehst nach links, da das Vorzeichen negativ ist. Anschließend gehst du $4$ Einheiten entlang des $y$-Achse nach oben.

• Entscheide, wo der Punkt liegt.

  Tipps

  Der Schnittpunkt der beiden Koordinatenachsen ist der Koordinatenursprung $O(0|0)$.

  Alle Punkte oberhalb der $x$-Achse haben positive $y$-Koordinaten und alle unterhalb negative.

  Alle Punkte rechts der $y$-Achse haben positive $x$-Koordinaten und alle links davon negative.

  Lösung

  Hier kannst du sehen, welches Vorzeichen die Koordinaten der Punkte in den Quadranten haben:

  • Sind beide Vorzeichen positiv, dann liegt der Punkt im $I.$ Quadranten.
  • Sind beide Vorzeichen negativ, dann liegt der Punkt im $III.$ Quadranten.
  • Bei verschiedenen Vorzeichen liegen die Punkte in dem $II.$ oder $IV.$ Quadranten.
  • Für positive $x$ liegt der Punkt im $IV.$ und für negative $x$ im $II.$ Quadranten.

  Da $0$ weder positiv noch negativ ist, gibt es noch Sonderfälle:

  • Ist $x=0$, liegt der Punkt auf der $y$-Achse.
  • Ist $y=0$, liegt der Punkt auf der $x$-Achse.
  • Ist $x=0$ und $y=0$ ist der Punkt der Koordinatenursprung. Er wird mit $O$ bezeichnet. Man schreibt $O(0|0)$.