Koordinatensystem – Einzeichnen und Ablesen von Punkten

Koordinatensystem – Einzeichnen und Ablesen von Punkten Übung

• Beschreibe, wie ein Punkt im Koordinatensystem eingezeichnet wird.

  Tipps

  Die allgemeine Darstellung für einen Punkt lautet $P(x|y)$. Der linke Wert steht also für die $x$-Koordinate und der rechte Wert für die $y$-Koordinate.

  Achte auf das Vorzeichen bei den einzelnen Koordinaten.

  Lösung

  In dem Bild auf der rechten Seite siehst du, wie die Punkte $Q(3|4)$, $B(-2|5)$ und $M(0|-2)$ eingezeichnet werden.

  Das Vorgehen ist jeweils gleich.

  Der linke Wert eines Punktes steht für die $x$-Koordinate und der rechte Wert steht für die $y$-Koordinate.

  Für den Punkt $Q(3|4)$ bedeutet das:

  • Die $x$-Koordinate ist $3$.
  • Die $y$-Koordinate ist $4$.

  Du gehst beim Einzeichnen des Punktes $Q$ wie folgt vor:

  • Du gehst entlang der $x$-Achse $3$ Einheiten nach rechts.
  • Von dort gehst du entlang der $y$-Achse $4$ Einheiten nach oben.

  Hinweis: Bei negativen Einträgen musst du nach links bzw. nach unten gehen.

• Gib die Koordinaten der Punkte an.

  Tipps

  Ein Punkt $P(x|y)$ im $x$-$y$-Koordinatensystem hat eine $x$- und eine $y$-Koordinate.

  Achte auf das Vorzeichen:

  • Liegt ein Punkt rechts von der $y$-Achse, so ist die $x$-Koordinate positiv.
  • Liegt er links von der $y$-Achse, so ist die $x$-Koordinate negativ.
  • Liegt ein Punkt oberhalb der $x$-Achse, so ist die $y$-Koordinate positiv.
  • Liegt er unterhalb der $x$-Achse, so ist die $y$-Koordinate negativ.

  Du kannst dir von einem Punkt aus eine Parallele zu der jeweiligen Koordinatenachse denken. Dort, wo die andere Koordinatenachse geschnitten wird, kannst du die entsprechende Koordinate ablesen.

  Lösung

  Wie kannst du die Koordinaten eines Punktes aus einem Koordinatensystem ablesen?

  • Du zeichnest durch den Punkt eine zur $y$-Achse parallele Gerade. Dort, wo diese Gerade die $x$-Achse schneidet, kannst du die $x$-Koordinate ablesen.
  • Nun zeichnest du eine zur $x$-Achse parallele Gerade. Diese schneidet die $y$-Achse. An dieser Stelle liest du die $y$-Koordinate des Punktes ab.

  Dieses Vorgehen siehst du hier anschaulich für den Punkt $D$.

  Hinweis: Mit etwas Übung kannst du dir das Zeichnen der Parallelen gerne sparen und dir die gestrichelten Linien vorstellen.

  So ergeben sich für die gesuchten Punkte die folgenden Koordinaten:

  • $A(-2|-3)$
  • $D(4|2)$
  • $Z(2|0)$

  Übrigens: Der Punkt $Z$ liegt auf der $x$-Achse. Deshalb ist die $y$-Koordinate $0$.

• Stelle die Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem dar.

  Tipps

  Am Beispiel des Punktes $D(4|2)$ siehst du hier, wie du diesen einzeichnen kannst:

  • Zeichne eine zur $y$-Achse parallele Gerade durch $x=4$.
  • Zeichne eine zur $x$-Achse parallele Gerade durch $y=2$.
  • Dort wo die beiden Geraden sich schneiden ist der gesuchte Punkt.

  Ein Koordinatensytem wird in vier Quadranten unterteilt. Diese beginnen oben rechts und sind gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet.

  Merke dir die Vorzeichen der Punkte in den einzelnen Quadranten: So hat zum Beispiel ein Punkt im vierten Quadranten (unten rechts) eine positive $x$- und eine negative $y$-Koordinate.

  Beachte, dass die erste Koordinate eines Punktes die $x$-Koordinate und die zweite die $y$-Koordinate ist.

  Lösung

  Hier kannst du die entsprechenden Punkte sehen.

  Am Beispiel des Punktes $C(2|-3)$ siehst du hier nochmal, wie du diesen einzeichnen kannst:

  • Zeichne eine zur $y$-Achse parallele Gerade durch $x=2$.
  • Zeichne eine zur $x$-Achse parallele Gerade durch $y=-3$.
  • Dort wo die beiden Geraden sich schneiden ist der gesuchte Punkt.

• Prüfe die folgenden Aussagen.

  Tipps

  Zeichne dir zur Aussage passende Punkte ein und prüfe deren Koordinaten.

  Du kannst beispielsweise beliebige Punkte auf der $x$-Achse einzeichnen. Was fällt dir an den Koordinaten auf?

  Hier siehst du eine zur $y$-Achse parallele Gerade.

  Alle Punkte auf dieser Geraden haben die $x$-Koordinate $2$.

  Der Punkt $Z(2|0)$ liegt auf der $x$-Achse. Der Punkt $M(0|-2)$ liegt auf der $y$-Achse.

  Lösung

  Im Folgenden lernst du einige Eigenschaften von Punkten kennen.

  • Die $x$-Achse: Alle Punkte auf der $x$-Achse haben die $y$-Koordinate $0$.
  • Die $y$-Achse: Alle Punkte auf der $y$-Achse haben die $x$-Koordinate $0$.

  Parallelen zu den Koordinatenachsen

  • Alle Punkte mit einer festen $x$-Koordinate (zum Beispiel $x=2$) und einer beliebigen $y$-Koordinate liegen auf einer zur $y$-Achse parallelen Geraden (hier rot gestrichelt eingezeichnet). Diese schneidet die $x$-Achse bei $x=2$. In dem Bild sind die Punkte $(2|-5)$, $(2|-2)$, $(2|2)$ und $(2|3)$ hervorgehoben.
  • Alle Punkte mit einer festen $y$-Koordinate (zum Beispiel $y=2$) und einer beliebigen $x$-Koordinate liegen auf einer zur $x$-Achse parallelen Geraden. Diese schneidet die $y$-Achse bei $y=2$. Die Aussage in der Aufgabe ist deshalb falsch, da dort behauptet wird, dass eine solche Gerade zur $y$-Achse parallel sei.

  Die erste Winkelhalbierende

  Alle Punkte, welche übereinstimmende $x$- sowie $y$-Koordinaten haben, liegen auf einer Geraden. Diese wird erste Winkelhalbierende genannt. Diese ist hier grün eingezeichnet zu sehen. Die eingetragenen Punkte auf dieser Winkelhalbierenden sind $(-3|-3)$, $(2|2)$ sowie $(3|3)$.

• Ergänze die Erklärung zu einem Koordinatensystem.

  Tipps

  Hier siehst du ein Koordinatensystem.

  Der hier eingezeichnete Punkt $O$ hat die Koordinaten $(0|0)$.

  Jeder weitere Punkt ist eindeutig durch ein Koordinatenpaar bestimmbar.

  Lösung

  Funktion eines Koordinatensystems

  Ein Koordinatensystem (Kurzform: KOS) dient zur Darstellung von Punkten oder anderen geometrischen Elementen in der Ebene. Es kann sein, dass du an anderer Stelle den Begriff kartesisches Koordinatensystem hörst. Dieser geht auf den französischen Mathematiker René Descartes zurück.

  Aufbau eines Koordinatensystems

  Ein Koordinatensystem hat zwei senkrecht zueinander stehende Achsen:

  • die $x$-Achse
  • die $y$-Achse

  Hinweis: Die $x$-Achse wird auch als Abzisse und die $y$-Achse als Ordinate bezeichnet. Lass dich von diesen Fachbegriffen nicht verwirren!

  Die beiden Koordinatenachsen schneiden sich in einem Punkt. Dies ist der Koordinatenursprung. Er wird mit dem Buchstaben $O$ bezeichnet und hat die Koordinaten $(0|0)$.

• Leite die Koordinaten der Punkte her.

  Tipps

  Alle Koordinaten sind ganzzahlig.

  Mache dir jeweils die Koordinaten der gegebenen Punkte klar.

  In einem Parallelogramm sind die einander gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander.

  Lösung

  Hier siehst du die Lösung zu der unteren Aufgabe.

  Die gegebenen Punkte sind $(-3|1)$, $(1|1)$ sowie $(2|3)$.

  • Um das rote Parallelogramm zu erhalten, verschiebst du den Punkt $(2|3)$ parallel zur $x$-Achse nach rechts. Die $x$-Koordinate ist um $4$ größer, da dies auch die Differenz der $x$-Koordinaten der beiden anderen Punkte ist. Der resultierende Punkt im ersten Quadranten ist $(6|3)$.
  • Um das grüne Parallelogramm zu erhalten, gehst du genauso vor. Du verschiebst den Punkt $(2|3)$ parallel zur $x$-Achse nach links. So erhältst du im zweiten Quadranten den Punkt $(-2|3)$.
  • Der verbleibende Punkt des blauen Parallelogramms erhältst du, wenn du zum Beispiel von $(-3|1)$ ausgehend $1$ nach links und zwei nach unten gehst. Dies entspricht der Bewegung von $(2|3)$ zu $(1|1)$. So erhältst du im dritten Quadranten den Punkt $(-4|-1)$.

  Ebenso gehst du bei der oberen Aufgabe vor. Die abgebildeten Punkte sind $(-3|1)$, $(1|1)$ sowie $(1|3)$.

  • Das Rechteck erhältst du durch den Punkt $(-3|3)$ im zweiten Quadranten.
  • Die beiden Parallelogramme erhältst du durch $(5|3)$ im ersten Quadranten sowie $(-3|-1)$ im dritten Quadranten.