Termumformungen (Übungsvideo)
Übe das Umformen von Termen! Von einfachen über schwierige Terme bis hin zu solchen mit Klammern – erhalte klare Lösungen und detaillierte Erklärungen, um dein Verständnis für das Thema zu festigen.
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Grundlagen zum Thema Termumformungen (Übungsvideo)
Einleitung zum Thema Termumformungen
Ein wichtiger Bestandteil der Mathematik in der 7. Klasse ist das Umformen von Termen. Dabei geht es darum, mathematische Ausdrücke zu vereinfachen oder umzuschreiben, um sie verständlicher und leichter berechenbar zu machen. Durch das Beherrschen von Termumformungen legst du den Grundstein für komplexere algebraische Aufgaben. In diesem Text übst du, wie du Terme geschickt umformst und vereinfachst, um mathematische Probleme effizient zu lösen.
In unserer Einführung zu Termumformungen findest du die wichtigsten Regeln und hilfreiche Beispiele übersichtlich erklärt.
Unter den Aufgaben findest du jeweils Lösungen und Erklärungen.
Merke
Beim Vereinfachen von Termen können wir Rechengesetze wie das Distributivgesetz und das Kommutativgesetz anwenden. Terme mit gleichen Variablen oder reine Zahlenterme können wir durch Addition oder Subtraktion zusammenfassen.
Teste dein Wissen zum Thema Termumformungen
Vereinfache den Term – einfache Terme
Vereinfache den Term – schwierige Terme
Vereinfache den Term – Terme mit Klammern
Vereinfache den Term – gemischte Aufgaben
Ausblick – so kannst du weiterlernen
Im nächsten Schritt kannst du dein Wissen in der Mathematik vertiefen, indem du dir das Lösen von Gleichungen anschaust. Dieses Thema hilft dir, komplexe mathematische Probleme zu verstehen und zu lösen. Außerdem ist es spannend, sich mit den binomischen Formeln zu beschäftigen. Diese Formeln sind ein wichtiges Werkzeug für das Ausklammern und Ausmultiplizieren von Termen. Mit beiden Themen wirst du noch sicherer und effizienter im Umgang mit mathematischen Herausforderungen und bereitest dich bestens auf die kommenden Aufgaben vor!
Transkript Termumformungen (Übungsvideo)
Tina macht gerade ein Praktikum in einem kleinen Tierpark. Es macht ihr Spaß, die Tiere zu versorgen. Aber sie hätte nicht gedacht, dass es hier so viel zu tun gibt. Um alle Aufgaben zu erledigen, braucht sie Wissen zu „Termumformungen“. Zur Erinnerung: Ein Term ist eine mathematisch sinnvolle Zusammensetzung aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern. Wenn wir Terme umformen möchten, wenden wir folgende Gesetze an. Mit dem Distributivgesetz können Klammern aufgelöst und mit dem Kommutativgesetz kann der Term geordnet werden. Außerdem können Terme mit gleichen Variablen zusammengefasst werden. Zum Beispiel sind „drei Komma vier x“ minus „zwei x“ gleich „eins Komma vier x“. Zuallererst muss Tina das Futter für die Tiere besorgen. Das ist eine lange Bestellliste. Fünf Karotten für die Ziegen, sieben Karotten für die Schweine und dann noch einmal zehn für die Esel. Weil Tina sehr gerne mit Termen arbeitet, schreibt sie gleich alles als Term auf. „fünf k“ plus „sieben k“ plus „zehn k“. Diese Summanden haben gleiche Variablen und können deshalb zu „zweiundzwanzig k“ zusammengefasst werden. Sie muss also zweiundzwanzig Karotten besorgen. Für die Anzahl an Äpfeln und Bananen wird die Futterbeschaffung schon etwas kniffliger. Die Affen haben gestern nämlich drei Bananen gar nicht angerührt. Deshalb lautet der Term nun acht mal in Klammern „a plus b“ minus „drei b“ plus „fünfzehn a“. Dabei steht a für die Anzahl der Äpfel und b für die Anzahl der Bananen. Zunächst einmal dürfen wir mit dem Distributivgesetz die Klammer ausmultiplizieren. Dadurch erhalten wir „acht a“ plus „acht b“ minus „drei b“ plus „fünfzehn a“. Mit dem Kommutativgesetz können wir jetzt die einzelnen Summanden vertauschen. Wir erhalten „acht a“ plus „fünfzehn a“ plus „acht b“ minus „drei b“. So sieht das schon ein wenig übersichtlicher aus und wir können den Term leichter zusammenfassen. Das ergibt „dreiundzwanzig a“ plus „fünf b“. Tina braucht also dreiundzwanzig Äpfel und fünf Bananen. Auch in der Buchhaltung des Tierparks fallen Terme an. „Fünf x“ mal in Klammern „zwei x“ minus „vier“ minus „x“ plus „zwölf“. Wir wenden wieder zunächst das Distributivgesetz an und multiplizieren aus. Da kommen wir auf „zehn x Quadrat“ minus „zwanzig x“ minus „x“ plus „zwölf“. Nun können wir gleiche Variablen zusammenfassen. Dadurch erhalten wir „zehn x Quadrat“ minus „einundzwanzig x“ plus „zwölf“. Weiter können wir diesen Term nicht vereinfachen. Für das neue Ziegengehege liegt schon ein Umriss vor, allerdings sind einige Maße noch unbekannt. Tina soll aus dem Umriss einen möglichst einfachen Term zur Flächenberechnung bilden. Sie erkennt, dass die Fläche aus Rechtecken zusammengesetzt ist und addiert diese. Das wären also „drei x“ plus „drei x“ plus „vier x“. Ihr Kollege Jonas hat einen anderen Term aufgestellt. In Klammern „x plus x“ mal drei plus „vier x“. Tina möchte überprüfen ob beide Terme äquivalent, also gleichwertig sind. Wenn wir also in dem ersten Term die drei mit dem Distributivgesetz ausklammern, dann erhalten wir den äquivalenten Term drei mal in Klammern „x plus x“ plus „vier x“. Mit dem Kommutativgesetz können wir nun die beiden Faktoren vertauschen und erhalten so den Term von Jonas. Die beiden Terme sind also gleichwertig. Und zusammenfassen können wir sie auch noch. „Drei x“ plus „drei x“ plus „vier x“ sind „zehn x“. Bei Jonas' Term können wir zuerst die Klammer berechnen. Da erhalten wir in Klammern „zwei x“ mal drei plus „vier x“. Das sind „sechs x“ plus „vier x“, also ebenfalls „zehn x“, denn die beiden Terme sind ja gleichwertig. Während Tina und Jonas den Umzug der Ziegen in das neue Gehege vorbereiten, fassen wir zusammen. Bei der Umformung von Termen helfen uns das Distributiv- und das Kommutativgesetz. Mit dem Distributivgesetz können wir Summen und Differenzen in Klammern auflösen und mit dem Kommutativgesetz können wir den Term ordnen. Dann kann man gleiche Variablen zusammenfassen. Bei diesen Umformungen bleiben die Terme äquivalent, also gleichwertig. Hat sich dieses Praktikum für Tina gelohnt? Es scheint als würde sie doch lieber Buchhalterin werden wollen.
Termumformungen (Übungsvideo) Übung
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Beschreibe, was Terme und Termumformungen sind.
Tipps$3x + 4a + 2x = 3x + 2x + 4a$
Hier wurde das Kommutativgesetz angewendet.
Wir können den Term $2k + 5k - k$ zusammenfassen zu $6k$.
LösungEin Term ist eine mathematisch sinnvolle Zusammensetzung aus Variablen, Zahlen, Rechenzeichen und Klammern.
Beispiel: $4x + (3x+2y) \cdot 5$Wir kennen die folgenden Termumformungen:
- Mit dem Distributivgesetz können Klammern aufgelöst werden.
- Mit dem Kommutativgesetz kann ein Term geordnet werden.
- Terme mit gleichen Variablen können zusammengefasst werden.
-
Fasse die Terme zusammen.
TippsTerme mit gleichen Variablen können zusammengefasst werden.
$4(x+y)=4x+4y$
Hier wurde das Distributivgesetz angewendet.
LösungUm Terme zu vereinfachen, können wir
- mit dem Distributivgesetz Klammern auflösen,
- mit dem Kommutativgesetz die Elemente ordnen und
- Terme mit gleichen Variablen zusammenfassen.
Beispiel 1: $5k+7k+10k =22k$
Bei dieser Rechnung können die einzelnen Summanden zusammengefasst werden, da sie alle die gleiche Variable enthalten.Beispiel 2: $3x+3x+4x=10x$
Auch hier können die einzelnen Summanden zusammengefasst werden, da sie alle die gleiche Variable enthalten.Beispiel 3: $(x+x) \cdot 3 + 4x = 3x + 3x + 4x = 10x$
In dem Fall wird zuerst die Klammer mithilfe des Distributivgesetzes aufgelöst. Anschließend können die einzelnen Elemente mit derselben Variable zusammengefasst werden. -
Ordne äquivalente Terme einander zu.
TippsFasse, wenn möglich, Terme mit gleichen Variablen zusammen.
Beispiel:
$4(3x+y) = 12x+4y$
Demnach sind $4(3x+y)$ und $12x+4y$ äquivalente Terme.
LösungZwei Terme sind äquivalent, wenn sie beim Einsetzen einer Zahl für die Variable denselben Wert annehmen.
Nachweisen können wir die Äquivalenz von Termen auch, indem wir den einen Term in den anderen umformen.Wir können beispielsweise den Term auf der linken Seite vereinfachen und so den Term auf der rechten Seite erhalten. Manchmal erhalten wir auch den Term auf der linken Seite durch Vereinfachung des Terms auf der rechten Seite. Beim letzten Beispiel müssen wir beide Terme umformen:
- $\mathbf{4s + 5t + 3s} = 4s + 3s + 5t = \mathbf{7s+5t}$
- $\mathbf{3(2s + 4t)} = 3 \cdot 2s + 3 \cdot 4t = \mathbf{6s+12t}$
- $\mathbf{(s+2s) \cdot 2 + 4t} = (3s) \cdot 2 + 4t = \mathbf{6s+4t}$
- $\mathbf{(4+3s) \cdot 5t} = 4 \cdot 5t + 3s \cdot 5t = 20t + 15st = 15t + 5t + 15st = \mathbf{15t + 15st + 5t}$
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Überprüfe, ob die Terme richtig umgeformt wurden.
TippsÜberprüfe, ob die Klammern richtig aufgelöst wurden: Wird die Klammer mit einer Zahl oder mit einer Variable multipliziert, so muss beim Auflösen jedes Element aus der Klammer damit multipliziert werden.
Nur Terme mit gleichen Variablen dürfen zusammengefasst werden, zum Beispiel $3a+5a$. Der Term $3a + 5ab$ hingegen kann nicht zusammengefasst werden.
Du kannst das Distributivgesetz auch in umgekehrter Reihenfolge anwenden.
Beispiel:
$4s + 4x = 4(s+x)$
LösungFolgende Umformungen sind richtig:
- $3a + 4(5b +2) = 3a + 20b +8$
- $2a +b -4a + b = 2(b-a)$
$2a +b -4a + b =2a-4a+b+b=-2a+2b=2b-2a= 2(b-a)$- $3a + (4a -b) \cdot b = 3a + 4ab - b^2$
Folgende Umformungen sind falsch:
- $a(4+2b) - 4b = 4a-2b$
$a(4+2b) - 4b =4a+2ab-4b$- $4a + 7a - a = 11a -1$
$4a+7a-a=4a+7a-1a=10a$- $6a - 6b = 6+(a-b)$
$6a-6b = 6 \cdot (a-b)$ -
Vereinfache den Term $5x \cdot (2x-4) - x + 12$.
TippsLöse zuerst die Klammer mit dem Distributivgesetz auf.
Beispiel:
$5b \cdot 3b = 15b^2$
LösungDer gegebene Term ist der Ausgangsterm:
$5x \cdot (2x-4) - x + 12$
Zuerst können wir die Klammer mit dem Distributivgesetz auflösen:
$5x \cdot 2x- 5x \cdot 4 - x + 12$
Nun fassen wir die beiden Produkte zusammen:
$10x^2-20x-x+12$
Jetzt können wir die beiden Summanden, welche $x$ enthalten, zusammenfassen:
$10x^2-21x+12$
Weiter können wir den Term nicht vereinfachen.
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Stelle einen Term auf und berechne.
TippsStelle zunächst einen Term für die Anzahl der geleisteten Stunden pro Woche auf. Multipliziere ihn anschließend mit der Anzahl der Wochen.
Fasse den Term zusammen. Hier einige Beispiele dazu:
$4 \cdot 2x = 8x$
$3x + 5x = 8x$
LösungWir stellen den Term Schritt für Schritt auf:
- montags: $4s$
- donnerstags: $2s$
- die restlichen $3$ Tage jeweils: $5s$
Da das Praktikum $3$ Wochen dauert, ergibt sich dieser Term:
${(4s+2s+3 \cdot 5s) \cdot 3}$
Wir können den Term vereinfachen, indem wir die ersten beiden Summanden in der Klammer zusammenfassen und das Produkt berechnen:
$(6s + 15s) \cdot 3$
Wir berechnen nun den Wert der Klammer:
$(21s) \cdot 3$
Vollständig zusammengefasst ergibt sich:
${63s}$
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