Terme aufstellen und berechnen (Übungsvideo)

Terme aufstellen und berechnen (Übungsvideo) Übung

• Beschreibe, wie sich der innere Umfang der Rahmens bestimmen lässt.

  Tipps

  Wie lässt sich der Umfang in einem Rechteck berechnen?

  Beachte die Rechenregeln beim Berechnen des konkreten Umfangs.

  Lösung

  Wir haben einen Rahmen vorliegen, bei dem uns der innere Umfang interessiert. Wir wissen aber lediglich, dass der große Rahmen die Seiten $a$ und $b$ besitzt und der innere Rahmen um $2 \cdot c$ hinsichtlich $a$ und $b$ kürzer ist.

  Mit diesen Informationen können wir aber schon einen Term aufstellen, mit dem wir später den Umfang berechnen können. Da wir für den Umfang alle vier Seiten des Rechtecks addieren, müssen wir deren Länge ermitteln.

  Dabei kann die längere Seite des Rechtecks durch den Term $a - c - c$ beschrieben werden, die andere Seite durch $b - c - c$. Da die gegenüberliegende Seite wie stets in einem Rechteck die gleiche Länge besitzt, können wir beide Terme mit zwei multiplizieren. Der Term für den Umfang lautet dann $2 \cdot (a - c - c) + 2 \cdot (b - c - c)$.

  Wenn die Längen beispielsweise bei $a = 5~cm$, $b = 3~cm$ und $c = 1~cm$ liegen, beträgt der Umfang, nachdem wir die Zahlen eingetragen haben:

  $2 \cdot (5~cm - 1~cm - 1~cm) + 2 \cdot (3~cm - 1~cm - 1~cm) = 8~cm$.

• Schildere, wie du einen Term für $x$ gefahrene Kilometer aufstellst und die Kosten für $15~km$ berechnest.

  Tipps

  Stelle erst einen Term auf und setze dann eine Zahl ein, um einen Wert zu erhalten.

  Es ist ratsam, mit einem Teil des Terms anzufangen, der sich nicht mehr verändert.

  Lösung

  Wir wollen den Term aufstellen, mit dem Frau Bauer den Preis für ihre $x$ Kilometer lange Taxifahrt berechnen kann. Dann sollen noch die Kosten für $15$ zurückgelegte Kilometer ermittelt werden.

  Da sich der Preis einer Taxifahrt aus zwei Komponenten zusammensetzt, wissen wir schon einmal, dass es sich um eine Summe handelt. Der eine Teil der Summe ist die Grundgebühr. Sie beträgt $1,70~€$ und muss stets gezahlt werden.

  Der andere Teil hängt von der Anzahl zurückgelegter Kilometer ab und lässt sich mit $x \cdot 0,75 \frac{€}{km}$ darstellen, weil ein gefahrener Kilometer $0,75~€$ kostet.

  Der gesamte Term für die Fahrtkosten lautet $1,70~€ + x \cdot 0,75 \frac{€}{km}$. Wenn wir den Preis für eine $15$ Kilometer lange Taxifahrt berechnen wollen, setzen wir $x = 15$ in den Term ein. Es ergibt sich somit $1,70~€ + 15~km \cdot 0,75 \frac{€}{km} = 1,70~€ + 11,25~€ = 12,95~€$, wobei sich das $km$ wegkürzt, sodass die Elemente des Term nur noch in $€$ angegeben werden.

• Leite den Term aus der Vorschrift her.

  Tipps

  Überlege dir, welche Operationszeichen sich hinter „Subtrahiere“, „Produkt“ und „Summe“ stecken.

  Was ziehen wir hier von was ab?

  Lösung

  Subtrahiere das Produkt von a und 3 von der Summe aus 5 und 5a.

  Gehen wir die Anleitung für den Term Schritt für Schritt durch. Zuerst fällt uns da die Formulierung "Subtrahiere ... von ..." ins Auge. Der Kern unseres Terms ist also eine Differenz. Eine Differenz besteht aus einem Minuend und einem Subtrahend, wobei ersterer derjenige Teil ist, von dem etwas abgezogen wird, und zweiter jener Teil, der abgezogen wird.

  In unserer Aufgabe ist die Summe aus 5 und 5a der Minuend, und das Produkt aus 3 und a der Subtrahend.

  Es ergibt sich der Term 5 + 5a - 3a, der noch zu 5 + 2a zusammengefasst werden kann.

• Untersuche, welcher der Rikschafahrer dir den besten Preis für eine zweistündige Tour durch Paris anbietet.

  Tipps

  Der Preis mit der höchsten Grundgebühr muss nicht zwingend auch der höchste Preis sein.

  Vergleiche die Werte der Terme, indem du die Zeit einsetzt.

  Lösung

  Wie du Zahlen auf einem Zahlenstrahl sortierst, ist dir sicherlich bekannt. Terme kann man nicht so leicht sortieren. Erst, wenn ein Term einen Wert besitzt, ergibt es auch Sinn, diesen mit anderen zu vergleichen.

  Das ist auch unser erster Schritt, wenn wir die Angebote miteinander vergleichen wollen. Dazu setzen wir $x = 120~min$ in die Terme ein, da wir zwei Stunden mit der Rikscha fahren wollen und die Zahl in Minuten angegeben werden muss.

  So ergibt sich folgende Reihenfolge:

  1. $15~€ + 120~Min \cdot 0,10~€/Min = 27~€$
  2. $30~€ + 120~Min \cdot 0,05~€/Min = 36~€$
  3. $10~€ + 120~Min \cdot 0,25~€/Min = 40~€$
  4. $20~€ + 120~Min \cdot 0,30~€/Min = 56~€$.

• Bestimme, welcher Term den Rechenbaum beschreibt.

  Tipps

  Fange oben links an, wenn du die einzelnen Rechenschritte deines Terms aufschreibst.

  Die Rechenoperation, welche früher berücksichtigt werden muss, steht höher als jene, die später wichtig wird.

  Lösung

  Wenn du einen Rechenbaum in einen Term umformen möchtest, orientierst du dich an der Reihenfolge der Rechenoperationen. Die Rechenoperationen, die zuerst berücksichtigt werden müssen, stehen dabei höher als jene, die erst später vorkommen.

  Dementsprechend führst du zuerst die Differenz von 4 und U aus. Da du als nächstes diese Differenz durch U teilst, können diese beiden Schritte praktisch in dem Bruch $\frac{4 - U}{U}$ untergebracht werden.

  Zu diesem Bruch addieren wir noch 4 und subtrahieren letztlich U. Der finale Term lautet dann $\frac{4-U}{U} + 4 - U$.

• Ermittle den Term, welcher den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt.

  Tipps

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten $x$ und $y$ lässt sich durch $x \cdot y$ berechnen.

  Auch das von dir aufgestellte Produkt enthält die abgeänderten Faktoren $x$ und $y$.

  Wenn eine Seite $a$ nur noch ein Drittel mal so lang ist, beschreibt dies $\frac{a}{3}$.

  Lösung

  In dieser Aufgabe verändert sich das Rechteck mit den Seiten $x$ und $y$. Die Seite $x$ wird um $4~cm$ verlängert, die Seite $y$ soll halbiert werden. Wir wollen den Term für den Flächeninhalt ermitteln.

  Da der Flächeninhalt eines jeden Rechtecks durch den Term $x \cdot y$ beschrieben wird, ist auch dieses Produkt die Grundlage für den gesuchten Term. Da die eine neue Seite durch $x + 4$ und die andere durch $\frac{y}{2}$ dargestellt wird, lautet der neue Term für den Flächeninhalt:

  $(x + 4) \cdot \frac{y}{2}$.

  Wenn die Seiten ursprünglich $x = 5~cm$ und $y = 8~cm$ lang waren, so beträgt der neue Flächeninhalt $(5 + 4) \cdot \frac{8}{2} = 9 \cdot 4 = 36~cm^2$.