Terme vereinfachen
Lerne, wie du Terme spielend leicht vereinfachen kannst: von der Auflösung von Klammern mit dem Distributivgesetz, über das Sortieren nach dem Kommutativgesetz, bis hin zum Zusammenfassen gleichartiger Terme. Diese Schritte machen es einfach, selbst komplizierte mathematische Ausdrücke zu verstehen und zu vereinfachen. Interessiert? Dies und viele praktische Übungen findest du im folgenden Text!
- Terme vereinfachen – Definition
- Terme vereinfachen – Regeln
- Gleichartige Terme vereinfachen
- Terme mit einer Variablen vereinfachen
- Terme mit mehreren Variablen vereinfachen
- Terme vereinfachen unter Einhaltung der Reihenfolge – Beispiel
- Terme vereinfachen – Übungen
- Ausblick – das lernst du nach Terme vereinfachen
- Zusammenfassung – Terme vereinfachen
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Grundlagen zum Thema Terme vereinfachen
Terme vereinfachen – Definition
Terme sind zusammengesetzte Rechenausdrücke. Sie bestehen aus
- Zahlen
- Rechenzeichen
- und Variablen
Ein Term kann auch nur aus einer Zahl oder einer Variable bestehen. Besteht ein Term aus mehreren Zahlen oder Variablen, kann es sinnvoll sein, den Term zu vereinfachen.
Durch das Vereinfachen eines Terms wird dieser in seiner kürzesten Form dargestellt.
Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden sind. Oft müssen die Terme vereinfacht werden, damit die Gleichung gelöst werden kann.
Beim Vereinfachen von Termen gibt es, zusätzlich zu den Rechenregeln, Vorschriften, die zu beachten sind.
Wusstest du schon?
Schon im alten Ägypten gab es mathematische Texte, die sich mit dem Vereinfachen von Termen beschäftigten. Diese alten Schriften, die etwa $4000$ Jahre alt sind, zeigen, dass die Menschen damals schon Zahlen und Symbole genutzt haben, um mathematische Probleme zu lösen – zum Beispiel die Konstruktion der Pyramiden mit passenden Maßen und Winkeln.
Stell dir vor, du würdest deine Mathematik-Hausaufgaben auf Papyrus schreiben!
Terme vereinfachen – Regeln
Terme vereinfachen kann man, indem alle gleichartigen Terme zusammengefasst werden.
Dafür werden zunächst alle Klammern im Term aufgelöst. Hierfür wird das Distributivgesetz angewandt. Anschließend wird der Term so sortiert, dass die Summanden gleichartiger Terme nebeneinander stehen. Dieser Schritt kann durchgeführt werden, da bei Addition das Kommutativgesetz gilt. Letztendlich können die gleichartigen Terme zusammengefasst werden, indem die Koeffizienten addiert werden. Unter Einhaltung dieser Reihenfolge lassen sich auch komplizierte Terme vereinfachen.
-
Ausmultiplizieren mithilfe des Distributivgesetzes
(Die Klammern im Term werden aufgelöst.) -
Umstellen des Terms mithilfe des Kommutativgesetzes
(Der Term wird sortiert, indem gleichartige Terme nebeneinander geschrieben werden.) -
Zusammenfassen von gleichartigen Termen
(Gleichartige Terme werden addiert bzw. subtrahiert und damit zusammengefasst.)
Gleichartige Terme vereinfachen
Terme sind dann gleichartig, wenn sie dieselben Variablen in derselben Potenz haben oder es sich ausschließlich um Konstanten handelt. Der Koeffizient, also der Wert vor der Variable, muss hierbei nicht derselbe sein.
Die Koeffizienten gleichartiger Terme werden beim Zusammenfassen des Terms zusammengerechnet.
Es ist dabei immer zu beachten, dass $x$ und $y$ verschiedene Variablen sind und somit nicht gleichartig sein können. Des Weiteren lässt sich $xy$ weder mit $x$ noch mit $y$ zusammenfassen.
Potenzen müssen ebenfalls beachtet werden. $x$ und $x^2$ sind nämlich keine gleichartigen Terme und können deshalb nicht zusammengefasst werden.
Beispiele – gleichartige Terme:
- $3x$ und $7x$
- $-4x^{3}$ und $5x^{3}$
- $2xy$ und $90xy$
- $3$ und $-21$
Terme mit einer Variablen vereinfachen
Gleichartige Terme lassen sich ganz einfach zusammenfassen, indem die jeweiligen Koeffizienten miteinander verrechnet werden.
Welche Rechnung durchgeführt wird, ist abhängig von dem jeweiligen Vorzeichen des Terms.
Beispiele – Terme mit einer Variablen vereinfachen:
- $3x + 7x = (3+7)x = 10x$
- $3x - 7x =(3-7)x= -4x$
- $-3x +7x +2x = (-3 +7+2)x = 6x$
Es lassen sich auch Terme vereinfachen, die mehrere Variablen haben. Hier ist aber zu beachten, dass wieder nur gleichartige Terme zusammengefasst werden können. So lässt sich beispielsweise ein Term vereinfachen, der die Variablen $x$ und $y$ enthält, indem alle Koeffizienten von $x$ (die Werte vor dem $x$) zusammengerechnet werden und alle Koeffizienten von $y$ (die Werte vor dem $y$).
Aber Achtung: Es dürfen immer nur gleichartige Terme zusammengefasst werden. Sollten die gleichartigen Terme nicht nebeneinander stehen, kann der Term zuerst sortiert werden, indem das Kommutativgesetz anwendet wird.
Terme mit mehreren Variablen vereinfachen
Sobald im Term Klammern vorkommen, müssen diese zuerst aufgelöst werden. Dazu kann das Distributivgesetz angewendet werden. Anschließend kann der Term mithilfe des Kommutativgesetzes so umgestellt werden, dass gleichartige Terme direkt nebeneinanderstehen. Nun lassen sich die gleichartigen Terme ganz leicht zusammenfassen.
Verschachtelte Terme mit mehreren Variablen lassen sich also vereinfachen, indem die oben genannte Reihenfolge von Rechenschritten eingehalten wird.
Beispiele – Terme mit mehreren Variablen vereinfachen:
- $2y + 1 y + 6 x +4x = 3y +10 x$
- $2x - 3y +x+4y = 2x + x -3y +4y = 3x +y$
- $-4x^2 + x +x^2 +y +2x^2 -y \\ = x + y -y - 4x^2 + x^2 +2x^2 = x - x^2$
- $2xy + 3x +1 - 2y +5xy +1 \\ = 2xy + 5xy +3x -2y +1 +1 = 7xy +3x-2y +2$
Terme vereinfachen unter Einhaltung der Reihenfolge – Beispiel
Jetzt weißt du, in welcher Reihenfolge du bei verschachtelten Termen vorgehen kannst. An folgendem Beispiel sind die Regeln angewandt.
$\begin{array}{lllll} && x +3 \cdot (10+y)-7x-y &&\color{#669900}{| ~1.~ \text{Ausmultiplizieren (Distributivgesetz)}} \\ &&&&\\ &=& x + 30 +3y - 7x -y && \color{#669900}{| ~2. ~\text{Umstellen (Kommutativgesetz)}} \\ &&&&\\ &=& x -7x +3y-y +30 && \color{#669900}{| ~3. ~\text{Zusammenfassen}} \\ &&&&\\ &=& -6x +2y +30 && \\ \end{array}$
Fehleralarm
Ein häufiger Fehler beim Vereinfachen von Termen ist das Ignorieren der Klammerregeln.
Denkt daran: Was in Klammern steht, muss zuerst berechnet oder korrekt aufgelöst werden!
Terme vereinfachen im Alltag
Im Alltag werden Terme oft unbewusst und ganz intuitiv vereinfacht.
Möchte man beispielsweise das Geld aus einem Sparschwein zusammenzählen, so sortiert man die verschiedenen Münzen zunächst nach ihrem Wert. Anschließend werden alle Münzen einer Sorte zusammengefasst. Nach dieser Vereinfachung lässt sich der Wert der Münzen viel schneller berechnen.
Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal das Wechselgeld beim Einkaufen nachgerechnet. Dabei hast du sicher schnell gemerkt, dass es einfacher ist, gleiche Münzen zusammenzuzählen, anstatt jede Menge einzeln zu addieren. Ähnlich funktioniert das Vereinfachen von Termen in der Mathematik.
Indem du Terme zusammenfasst, kannst du schneller und einfacher zu einem Ergebnis kommen. Es ist ein bisschen wie das Nachzählen deines Wechselgeldes!
Terme vereinfachen – Übungen
Mit den folgenden Übungen zum Thema Terme vereinfachen kannst du testen, ob du alles verstanden hast!
Ausblick – das lernst du nach Terme vereinfachen
Wage den nächsten Schritt in der Mathematik und lerne, wie Gleichungen gelöst werden! Wenn du Terme und Gleichungen verstehen lernst und die linearen Gleichungen in ihrer allgemeinen Form durchschaust, wirst du zum wahren Experten. Freue dich auf das Lösen von Rätseln und entdecke die Magie der Mathematik!
Zusammenfassung – Terme vereinfachen
- Terme sind zusammengesetzte Rechenausdrücke aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen.
- Terme können aus einzelnen Zahlen und Variablen bestehen oder aus mehreren zusammengesetzt sein.
- Beim Vereinfachen kannst du dich an folgende Reihenfolge halten: Erst ausmultiplizieren, dann umstellen und zuletzt zusammenfassen.
- Gleichartige Terme kannst du direkt zusammenfassen.
Transkript Terme vereinfachen
Terme vereinfachen
Terme mit mehr als einer Variablen sind sehr viel einfacher, als sie aussehen. Solche Monster kannst du oft schnell zähmen, indem du die Terme vereinfachst! Schauen wir uns das einmal zusammen an.
Herangehensweise an die Termvereinfachung
Dieser Term enthält zwei verschiedene Variablen. 3x plus 2y Hmm... Wie kannst du ihn vereinfachen..? Vielleicht, denkst du: drei x plus 2 y ist gleich 5 x y. STOP!!! Das ist falsch! Man kann diesen Term nicht weiter vereinfachen. Denn es ist nicht möglich, unterschiedliche Variablen zusammenzufassen. Genauso wenig wie Dr. Evil einen Hai mit einem Pinguin kombinieren darf, um einen "Haiguin" zu erschaffen! Genau wie Haie und Pinguine sind Variablen wie x und y eben nicht das Gleiche. Merke dir: Du kannst nur gleichartige Terme addieren oder subtrahieren! Verschiedenartige Terme dürfen nie addiert oder subtrahiert werden!
Beispiel der Termvereinfachung
Sehen wir uns einmal ein Beispiel Schritt für Schritt an. x plus 3 mal - Klammer auf - 10 plus y - Klammer zu - minus 7x minus y Als Erstes multiplizierst du aus. Siehst du die Klammern? Mithilfe des Distributivgesetzes kannst du die Summe innerhalb der Klammern mit 3 multiplizieren. Das ergibt: x plus 30 plus 3y minus 7x minus y Im zweiten Schritt stellst du um. Dabei kannst du das Kommutativgesetz nutzen. Schreibe alle x-Terme hintereinander, und alle y-Terme. Das macht den nächsten Schritt leichter. x minus 7x plus 3y minus y plus 30 Und nun, in Schritt 3, fasst du alle gleichartigen Terme zusammen. Bei Termen, die aus Zahlen und Variablen bestehen, verrät dir der Koeffizient die Anzahl der jeweiligen Variable. minus 6x plus 2y plus 30
Wiederholung der Vorgehensweise
Gehen wir die einzelnen Schritte nochmal durch. Schritt 1: Ausmultiplizieren. Gibt es Klammern, nimm das Distributivgesetz zur Hilfe. Schritt 2: Umstellen. Nutze das Kommutativgesetz, um gleichartige Terme hintereinander zu schreiben. Schritt 3: Zusammenfassen. Fasse alle gleichartigen Terme zusammen. Aber vor allem: Fasse niemals verschiedenartige Terme zusammen! Als Erinnerung: Erschaffe keine Haiguine! Begehe nicht denselben Fehler wie Dr. Evil...
Fazit
..denn wer nicht hören will, muss fühlen...
Terme vereinfachen Übung
-
Ergänze die Erklärung, ob die beiden Terme $3x$ und $2y$ zusammengefasst werden dürfen.
TippsDu kannst dir das so überlegen:
- Die Variable $x$ entspricht dem Pinguin.
- Die Variable $y$ entspricht dem Hai.
Ein anderes Beispiel: Wenn du zu zwei Handys fünf Handys dazutust, hast du sieben Handys.
Wie sieht es aber aus, wenn du zu zwei Handys fünf Taschenrechner dazutust? Das kannst du nicht weiter zusammenfassen.
$3x+2x$ kann vereinfacht werden, da die Terme $3x$ und $2x$ gleichartig sind:
$3x+2x=5x$.
LösungMerke dir:
Du kannst Terme nur dann zusammenfassen, also addieren oder subtrahieren, wenn sie gleichartig sind.
Zum Beispiel ist $3x+2x=5x$.
Das ist wie bei Pinguinen. Wenn du beispielsweise $3$ Pinguine auf einer Eisscholle und $2$ Pinguine unter Wasser siehst, sind das insgesamt $5$ Pinguine.
Du kannst allerdings nicht Pinguine mit Haien kombinieren. Diese Erfahrung hat auch Dr. Evil gemacht. Was bedeutet das mathematisch?
Fasse nur Terme zusammen, die gleichartig sind, also genau die gleichen Variablen enthalten.
-
Fasse den Term $x+3\cdot(10+y)-7x-y$ zusammen.
TippsDas Distributivgesetz verwendest du, um Klammerterme auszumultiplizieren:
$a(b+c)=ab+ac$.
Den Faktor vor einer Variablen nennt man Koeffizient. Der Koeffizient von $x$ bei dem Term $5x$ ist also $5$.
Wenn du Terme addierst, in welchen die Variablen gleich sind, kannst du die Koeffizienten addieren. Das gilt natürlich auch, wenn du subtrahierst.
Schaue dir hierfür ein Beispiel an:
$2x+3x=(2+3)x=5x$.
Wenn in einem Term nur noch verschiedenartige Terme vorkommen, dann kannst du nicht weiter vereinfachen.
LösungHier kannst du die komplette Rechnung sehen.
Du startest mit dem Ausmultiplizieren. Hierfür verwendest du das Distributivgesetz: Du multiplizierst die beiden Summanden $10$ und $y$ in der Klammer mit dem Faktor $3$. Du erhältst als Zwischenschritt:
$x+3\cdot (10+y)-7x-y=$ $x+30+3y-7x-y$.
Merke dir, dass du nur Terme zusammenfassen kannst, in denen die Variablen gleich sind. Stelle also den Term so um, dass die gleichen Terme mit den gleichen Variablen hintereinander stehen. Du verwendest hier das Kommutativgesetz. Vielleicht kennst du dieses auch unter dem Namen Vertauschungsgesetz. Dies ergibt folgenden Zwischenschritt:
$x+30+3y-7x-y=x-7x+3y-y+30$.
Nun kannst du zusammenfassen. Addiere oder subtrahiere hierfür die Koeffizienten, also die Faktoren vor den Variablen:
$x-7x+3y-y+30=-6x+2y+30$.
Nun bist du fertig. Du kannst diesen Term nicht weiter vereinfachen.
-
Prüfe, welche Terme gleichartig sind.
TippsBeachte: In dem Term $xy$ kommen sowohl $x$ als auch $y$ vor.
Terme mit einem $xy$ können also weder mit Termen, die nur ein $x$, noch mit Termen, die nur ein $y$ enthalten, zusammengefasst werden.
Sie können aber natürlich mit anderen Termen, die auch $xy$ enthalten, zusammengefasst werden.
So gilt beispielsweise $8xy - 6xy = 2xy$.
Schaue dir die folgenden Beispiele an:
- $5x$ und $8x$ sind gleichartige Terme.
- $5x$ und $8y$ sind nicht gleichartig.
In gleichartigen Termen stimmen sowohl die Variablen als auch die Exponenten überein:
- $3x$ und $4x^2$ sind nicht gleichartig.
- $5xy$ und $7xy$ sind gleichartig.
- $6y^2$ und $-3y^2$ sind gleichartig.
LösungUm Terme zu vereinfachen, musst du dir Folgendes merken: Du darfst nur Terme zusammenfassen, die gleichartig sind.
Fasse niemals Terme zusammen, die verschiedenartig sind.
Hier kannst du üben, welche Terme zusammengefasst werden können.
Nachdem du die Terme, die zusammengefasst werden können, markiert hast, kannst du sie hintereinander schreiben und zusammenfassen.
- Wir starten mit dem Term $3x+4y-7xy+7+3y-x-5x^2-5$. Nun sortieren wir die Terme nach ihrer Gleichartigkeit. Das ergibt den Term $3x-x+4y+3y+7-5-7xy-5x^2$. Nun kannst du zusammenfassen zu $2x+7y+2-7xy-5x^2$.
- Wir starten mit dem Term $5xy+7x-7+7+3x-4y-5y^2+2y$. Umsortieren ergibt $7x+3x-4y+2y-7+7+5xy-5y^2$. Auch diesen Term kannst du vereinfachen zu $10x-2y+5xy-5y^2$.
- Wir beginnen mit $12-3x-5y^2+8x-6xy-7y+2y-8$. Umsortieren führt zu $-3x+8x-7y+2y+12-8-5y^2-6xy$. Fasse die gleichartigen Terme zusammen: $5x-5y+4-5y^2-6xy$.
Du kannst beim Üben gleichartige Terme immer mit der gleichen Farbe markieren, dann fällt das Zusammenfassen etwas leichter.
-
Fasse die Terme zusammen.
TippsDu kannst Terme nur dann zusammenfassen, wenn sie gleichartig sind.
Denke daran: Das Kombinieren von Pinguinen und Haien ist schiefgelaufen.
Du kannst auch Zahlen zusammenfassen, wenn sie nicht gemeinsam mit einer Variablen als Produkt auftauchen.
Betrachte zum Beispiel $2+x+7 = 9 + x$.
LösungGanz wichtig: Erschaffe keine Haiguine. Das heißt, Du darfst Terme nur dann zusammenfassen, wenn sie gleichartig sind.
Das bedeutet, dass nur die folgenden Terme zusammengefasst werden dürfen:
- $3x-4x=(3-4)x=-1x=-x$: Du siehst, hier werden die Koeffizienten $3$ und $4$ subtrahiert.
- So kann auch $3y-4y$ zusammengefasst werden zu $-y$.
- Du kannst auch Zahlen ohne Variablen zusammenfassen: $3-4=-1$
Übrigens: $2x$ ist eine Schreibweise für $2\cdot x$. Das Malzeichen zwischen Koeffizienten (hier die $2$) und der Variablen (hier $x$) wird oft weggelassen. Man hat sich darauf geeinigt, dass das Hintereinanderschreiben von einer Zahl und einer Variablen als Multiplikation gewertet wird.
-
Beschreibe, wann du Terme zusammenfassen kannst.
TippsDie folgenden Terme kannst du nicht zusammenfassen (also addieren oder subtrahieren):
- $2x$ und $3y$,
- $2$ und $3y$ sowie
- $3y$ und $5$.
Diese Terme kannst du zusammenfassen:
- $2x+3x=5x$,
- $2-3=-1$ sowie
- $3y+5y=8y$.
Merke dir: Fasse niemals Terme zusammen, die verschiedenartig sind.
Unter „Zusammenfassen“ versteht man hier Addieren oder Subtrahieren.
LösungMerke dir: Fasse niemals Terme zusammen, die verschiedenartig sind.
Mache nicht den gleichen Fehler wie Dr. Evil und versuche, Haiguine zu erschaffen.
Für die Mathematik bedeutet das, dass du nur Terme zusammenfassen darfst, die gleichartig sind.
Das heißt: Du darfst Terme nur dann addieren oder subtrahieren, wenn sie gleichartig sind.
Du darfst beispielsweise $4x + 7x$ zu $11x$ zusammenfassen.
Der Term $3a + 2b$ lässt sich jedoch nicht weiter zusammenfassen.
Zusatz: Du darfst Terme, die verschiedenartig sind, durchaus multiplizieren.
$2x\cdot 3y=6xy$
-
Untersuche die folgenden Terme.
TippsBeachte: Fasse nur gleichartige Terme zusammen.
Zwei Terme werden dabei als gleichartig betrachtet, wenn sie dieselbe(n) Variable(n) enthalten.
Wichtig ist dabei auch der Exponent der Variablen. Beispielsweise sind die Terme $4x$ und $3x^2$ nicht gleichartig.
Hier siehst du zwei Beispiele für das Distributivgesetz:
- $3(2x-y)=3\cdot 2x-3y=6x-3y$ und
- $(x+y)\cdot(-2)=-2x-2y$.
Wenn du Terme zusammenfasst, addierst oder subtrahierst du die Koeffizienten. Schaue dir hierfür ein Beispiel an:
$7x+3x-8x=(7+3-8)x=2x$.
Die Terme müssen dafür gleichartig sein, also dieselbe(n) Variable(n) beinhalten.
LösungDa haben sich die beiden Wissenschaftler ganz schön schwere Aufgaben einfallen lassen.
Dr. Evil's Term: $3(x-6)+4x-4(x+y)+8y+12$
- Er wendet das Distributivgesetz an:
- Nun sortiert er die Terme so, dass gleiche Terme hintereinander stehen: $3x+4x-4x-4y+8y-18+12$.
- So kann er die Terme leichter zusammenfassen zu $3x-4y-6$.
- Auch er wendet zunächst das Distributivgesetz an: $12x-3x+3y+8+2y+4\cdot 2x+4\cdot 3y-5=12x-3x+3y+8+2y+8x+12y-5$.
- Nun ordnet er die Terme so an, dass gleiche Terme hintereinander stehen: $12x-3x+8x+3y+2y+12y+8-5$.
- Zuletzt kann er die Terme zusammenfassen zu $17x+17y+3$.
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Echt gut erklärt
Armes PInguinlein :(
War echt gut das Video wär noch cool wenn es gruseliger wäre
Armes Pinguin 🐧
:)