Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken – Übung

Gesucht: $\gamma$

Rechenweg:
Addiere die Winkel $\alpha$ und $\beta$:
$$50^\circ + 60^\circ = 110^\circ$$
Ziehe die Summe von $180^\circ$ ab, da die Innenwinkelsumme eines Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt:
$$180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$

Lösung:
Der Winkel $\gamma$ beträgt $70^\circ$.

Gesucht: $\gamma$

Rechenweg:
Berechne die Summe der Winkel $\alpha$ und $\beta$:
$$75^\circ + 45^\circ = 120^\circ$$
Ziehe $120^\circ$ von $180^\circ$ ab, da die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks immer $180^\circ$ ergibt:
$$180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$

Lösung:
Der Winkel $\gamma$ beträgt $60^\circ$.

Gesucht: $\gamma$

Rechenweg:
Addiere $\alpha$ und $\beta$:
$$35^\circ + 85^\circ = 120^\circ$$
Ziehe die Summe von $180^\circ$ ab, da die Winkel in einem Dreieck immer eine Gesamtsumme von $180^\circ$ ergeben:
$$180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$

Lösung:
Der Winkel $\gamma$ beträgt $60^\circ$.

Gesucht: $\alpha$

Rechenweg:
Addiere die Winkel $\beta$ und $\gamma$:
$$90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$$
Ziehe $120^\circ$ von $180^\circ$ ab, da die Innenwinkelsumme eines Dreiecks $180^\circ$ beträgt:
$$180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$

Lösung:
Der Winkel $\alpha$ beträgt $60^\circ$.

Gesucht: $\beta$

Rechenweg:
Addiere $\alpha$ und $\gamma$:
$$120^\circ + 25^\circ = 145^\circ$$
Ziehe die Summe von $180^\circ$ ab, da die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks immer $180^\circ$ ergibt:
$$180^\circ - 145^\circ = 35^\circ$$

Lösung:
Der Winkel $\beta$ beträgt $35^\circ$.

Gesucht: $\gamma$

Rechenweg:
Berechne die Summe der Winkel $\alpha$ und $\beta$:
$$70^\circ + 80^\circ = 150^\circ$$
Ziehe die Summe von $180^\circ$ ab, da in jedem Dreieck die Innenwinkelsumme immer $180^\circ$ beträgt:
$$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$

Lösung:
Der Winkel $\gamma$ beträgt $30^\circ$.

Gesucht: $\alpha$

Rechenweg:
Addiere die Winkel $\beta$ und $\gamma$:
$$60^\circ + 40^\circ = 100^\circ$$
Ziehe die Summe von $180^\circ$ ab, da in einem Dreieck die Summe der Innenwinkel immer $180^\circ$ beträgt:
$$180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$$

Lösung:
Der Winkel $\alpha$ beträgt $80^\circ$.

Gesucht: $\gamma$

Rechenweg:
Addiere $\alpha$ und $\beta$:
$$25^\circ + 125^\circ = 150^\circ$$
Ziehe $150^\circ$ von $180^\circ$ ab, da die Innenwinkelsumme eines Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt:
$$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$

Lösung:
Der Winkel $\gamma$ beträgt $30^\circ$.

Gesucht: $\alpha$

Rechenweg:
Addiere die Winkel $\beta$ und $\gamma$:
$$45^\circ + 90^\circ = 135^\circ$$
Ziehe die Summe von $180^\circ$ ab, da in jedem Dreieck die Summe der Innenwinkel $180^\circ$ beträgt:
$$180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$$

Lösung:
Der Winkel $\alpha$ beträgt $45^\circ$.

Gesucht: $\beta$

Rechenweg:
Addiere die Winkel $\alpha$ und $\gamma$:
$$40^\circ + 100^\circ = 140^\circ$$
Ziehe die Summe von $180^\circ$ ab, da die Innenwinkelsumme eines Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt:
$$180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$$

Lösung:
Der Winkel $\beta$ beträgt $40^\circ$.

Gesucht: $\delta$

Rechenweg:
Addiere die Werte von $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$:
$$90^\circ + 80^\circ + 110^\circ = 280^\circ$$
Subtrahiere diese Summe von $360^\circ$, da alle Winkel in einem Viereck zusammen $360^\circ$ ergeben:
$$360^\circ - 280^\circ = 80^\circ$$

Lösung:
Der fehlende Winkel $\delta$ beträgt $80^\circ$.

Gesucht: $\gamma$

Rechenweg:
Zuerst summierst du die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\delta$:
$$100^\circ + 90^\circ + 70^\circ = 260^\circ$$
Ziehe diese Summe von $360^\circ$ ab, da das die Innenwinkelsumme eines Vierecks ist:
$$360^\circ - 260^\circ = 100^\circ$$

Lösung:
Der Winkel $\gamma$ ist $100^\circ$ groß.

Gesucht: $\beta$

Rechenweg:
Addiere zunächst die bekannten Winkel $\alpha$, $\gamma$ und $\delta$:
$$120^\circ + 90^\circ + 100^\circ = 310^\circ$$
Die Differenz zu $360^\circ$ ergibt den gesuchten Winkel $\beta$:
$$360^\circ - 310^\circ = 50^\circ$$

Lösung:
Der Winkel $\beta$ beträgt $50^\circ$.

Gesucht: $\alpha$

Rechenweg:
Summiere die Werte von $\beta$, $\gamma$ und $\delta$:
$$95^\circ + 85^\circ + 110^\circ = 290^\circ$$
Da die Gesamtwinkelsumme eines Vierecks $360^\circ$ ist, berechne die Differenz:
$$360^\circ - 290^\circ = 70^\circ$$

Lösung:
Der Winkel $\alpha$ misst $70^\circ$.

Gesucht: $\delta$

Rechenweg:
Zuerst addierst du die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$:
$$100^\circ + 100^\circ + 90^\circ = 290^\circ$$
Subtrahiere $290^\circ$ von $360^\circ$, da das die Summe aller Innenwinkel im Viereck ist:
$$360^\circ - 290^\circ = 70^\circ$$

Lösung:
Der Winkel $\delta$ beträgt $70^\circ$.

Gesucht: $\gamma$

Rechenweg:
Addiere die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\delta$ miteinander:
$$85^\circ + 75^\circ + 120^\circ = 280^\circ$$
Ziehe diese Summe von $360^\circ$ ab, da die Innenwinkelsumme eines Vierecks immer $360^\circ$ beträgt:
$$360^\circ - 280^\circ = 80^\circ$$

Lösung:
Der Winkel $\gamma$ ist $80^\circ$ groß.

Gesucht: $\beta$

Rechenweg:
Summiere die Winkel $\alpha$, $\gamma$ und $\delta$:
$$110^\circ + 80^\circ + 95^\circ = 285^\circ$$
Berechne dann die Differenz zu $360^\circ$, um den Winkel $\beta$ zu finden:
$$360^\circ - 285^\circ = 75^\circ$$

Lösung:
Der Winkel $\beta$ beträgt $75^\circ$.

Gesucht: $\alpha$

Rechenweg:
Addiere die bekannten Winkel $\beta$, $\gamma$ und $\delta$:
$$90^\circ + 120^\circ + 85^\circ = 295^\circ$$
Subtrahiere die Summe von $360^\circ$, da das die Innenwinkelsumme des Vierecks ist:
$$360^\circ - 295^\circ = 65^\circ$$

Lösung:
Der Winkel $\alpha$ beträgt $65^\circ$.

Gesucht: $\gamma$

Rechenweg:
Addiere die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\delta$:
$$105^\circ + 85^\circ + 100^\circ = 290^\circ$$
Ziehe die Summe von $360^\circ$ ab, um den fehlenden Winkel $\gamma$ zu berechnen:
$$360^\circ - 290^\circ = 70^\circ$$

Lösung:
Der Winkel $\gamma$ beträgt $70^\circ$.

Gesucht: $\delta$

Rechenweg:
Addiere die drei Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$:
$$90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 270^\circ$$
Ziehe diese Summe von $360^\circ$ ab, da die Innenwinkelsumme in einem Viereck $360^\circ$ beträgt:
$$360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$$

Lösung:
Der Winkel $\delta$ misst $90^\circ$.

Lösungsweg:
Wenn wir Laras Idee nachgehen und das Viereck mithilfe einer gedachten Linie zwischen den Eckpunkten $A$ und $C$ in zwei Dreiecke unterteilen, dann erhalten wir folgende Figur:

Dabei teilt sich der Winkel $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$ in die beiden Winkel $\alpha_1$ und $\alpha_2$. Das Gleiche gilt auch für den Winkel $\gamma = \gamma_1 + \gamma_2$.
Dadurch dass die Innenwinkelsumme für Dreiecke $180^\circ$ beträgt, können wir folgende Gleichungen aufstellen:
$$ \alpha_1 + \gamma_1 + \delta = 180^\circ \\ ~ \\ \alpha_2 + \gamma_2 + \beta = 180^\circ $$

Sowohl das Dreieck $\triangle ACD$ als auch das Dreieck $\triangle ABC$ besitzen eine Innenwinkelsumme von $180^\circ$. Für die Innenwinkelsumme des gesamten Vierecks ergibt sich:
$$ \begin{array}{rl} \alpha + \beta + \gamma + \delta &= \alpha_1 + \alpha_2 + \beta + \gamma_1 + \gamma_2 + \delta \\ & \\ &= ( \alpha_1 + \gamma_1 + \delta) + (\alpha_2 + \gamma_2 + \beta) \\ & \\ &= 180^\circ + 180^\circ \\ & \\ &= 360^\circ \end{array}$$

Antwort:
Lara hatte mit ihrer Vermutung recht, dass auch das konkave Viereck eine Innenwinkelsumme von $360^\circ$ hat, weil es sich durch Zerlegung auf zwei Dreiecke zurückführen lässt.

Lösungsweg:
Wenn wir Justins Idee nachgehen und das Fünfeck mithilfe einer gedachten Linie zwischen den Eckpunkten $C$ und $E$ in ein Dreieck und ein Viereck unterteilen, dann erhalten wir folgende Figur:

Dabei teilt sich der Winkel $\gamma = \gamma_1 + \gamma_2$ in die beiden Winkel $\gamma_1$ und $\gamma_2$. Das Gleiche gilt auch für den Winkel $\varepsilon = \varepsilon_1 + \varepsilon_2$.
Dadurch dass die Innenwinkelsumme für Dreiecke $180^\circ$ beträgt, gilt für das Dreieck $\triangle CDE$:
$$ \gamma_1 + \delta + \varepsilon_1 = 180^\circ$$

Für das Viereck $\square ABCE$ gilt aufgrund der Innenwinkelsumme von Vierecken dann die Gleichung:

$$ \alpha + \beta + \gamma_2 + \varepsilon_2 = 360^\circ$$

Für die Innenwinkelsumme des gesamten Fünfecks ergibt sich:
$$ \begin{array}{rl} \alpha + \beta + \gamma + \delta + \varepsilon &= \alpha + \beta + \gamma_1 + \gamma_2 + \delta + \varepsilon_1 + \varepsilon_2 \\ & \\ &= ( \alpha + \beta + \gamma_2 + \varepsilon_2) + (\gamma_1 + \delta + \varepsilon_1) \\ & \\ &= 360^\circ + 180^\circ \\ & \\ &= 540^\circ \end{array}$$

Antwort:
Justins Idee hat funktioniert und die Innenwinkelsumme des Fünfecks beträgt $540^\circ$.

Lösungsweg:
Nach Sophias Vermutung können wir das Sechseck über den neu eingezeichneten Mittelpunkt $M$ in $6$ gleich große und identische Dreiecke aufteilen. Das sollte in der Skizze so aussehen:

Dabei werden die Innenwinkel des Sechsecks jeweils durch die Konstruktion geteilt. Durch die Konstruktion bilden jeweils zwei Eckpunkte mit dem Mittelpunkt $M$ ein Dreieck mit der Innenwinkelsumme von $180^\circ$. Da es $6$ Dreiecke gibt, kommt Sophia mit ihrer Vermutung, dass die Innenwinkelsumme $6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ$ beträgt, der richtigen Antwort sehr nahe.
Jedoch umfasst die Innenwinkelsumme des Sechsecks nur die Winkel an den Eckpunkten $A$ bis $F$. Das bedeutet, dass die Winkel, die an den Mittelpunkt $M$ liegen, nicht zur Innenwinkelsumme des Sechsecks gehören. Da alle Winkel um den Punkt $M$ einen ganzen Kreis ergeben, der insgesamt einen Winkel von $360^\circ$ ergibt, kommen wir auf diese Innenwinkelsumme:
$$1080^\circ - 360 ^\circ = 720^\circ $$

Antwort:
Sophias Vermutung ist nicht ganz korrekt, weil sie die Winkel um den Mittelpunkt $M$ zur Innenwinkelsumme dazugezählt hat. Die Innenwinkelsumme eines regelmäßigen Sechsecks ergibt somit $720^\circ$.