Das Drachenviereck

Das Drachenviereck Übung

• Bestimme die Eigenschaften von Drachenvierecken.

  Tipps

  Bei einem Drachenviereck verläuft eine Symmetrieachse zwischen zwei Eckpunkten.

  Eine der Diagonalen teilt das Drachenviereck in zwei gleich große Hälften.

  Die Winkelsumme eines Vierecks beträgt $360^\circ$. Überlege, wie groß jeder Winkel sein muss, wenn alle Winkel gleich groß sind.

  Lösung

  Ein Drachenviereck ist ein Viereck mit speziellen Eigenschaften:

  • Eine seiner Diagonalen ist eine Symmetrieachse. In dem hier abgebildeten Drachenviereck ist die Diagonale, welche die Punkte $A$ und $C$ verbindet, die Symmetrieachse. Jede Seite eines Vierecks, also $a$, $b$, $c$ und $d$, ist die Verbindungsstrecke zweier nebeneinanderliegender Eckpunkte. Die Diagonalen sind die Verbindungsstrecken einander gegenüberliegender Eckpunkte. Bei einem Drachenviereck stehen diese Diagonalen immer senkrecht aufeinander.

  • Die Symmetrieachse kannst du verwenden, um das Drachenviereck in der Mitte zu falten. Die beiden Hälften des Vierecks, die durch die Symmetrieachse entstehen, sind Dreiecke. Es entstehen also die Dreiecke $ABC$ und $ACD$. Klappst du die eine Hälfte auf die andere entlang der Symmetrieachse, so siehst du, dass diese beiden Dreiecke kongruent sind. Das Umklappen zeigt dir auch, dass die Symmetrieachse die andere Diagonale halbiert. Außerdem werden die beiden Winkel, durch die die Symmetrieachse verläuft, von dieser halbiert.

  • Die zweite Diagonale, die im Allgemeinen keine Symmetrieachse des Drachenvierecks ist, teilt das Viereck in zwei gleichschenklige Dreiecke. Dass die Dreiecke gleichschenklig sind, siehst du wieder beim Umklappen an der Symmetrieachse, denn hierbei werden die beiden Schenkel genau aufeinandergelegt. Das Drachenviereck hat also je zwei nebeneinanderliegende Seiten, die gleich lang sind.

  • Manche Drachenvierecke haben noch speziellere Eigenschaften: Sind bei einem solchen Viereck alle Seiten gleich lang, so erfüllt es die Definition einer Raute. In diesem Fall sind je zwei gegenüberliegende Seiten parallel. Dasselbe gilt auch, wenn zusätzlich alle Winkel gleich groß sind. Da die Winkelsumme in jedem Viereck $360^\circ$ beträgt, hat ein Viereck mit vier gleich großen Winkeln vier rechte Winkel. Das Viereck ist also ein Rechteck. Ein Drachenviereck ist genau dann ein Rechteck, wenn es sogar ein Quadrat ist.

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  Überlege, was mit den Winkeln passiert, wenn du das Drachenviereck längs der Symmetrieachse faltest.

  In dem Umkreis eines Drachenvierecks ist die Symmetrieachse ein Durchmesser. Nach dem Satz des Thales beträgt ein Winkel eines Dreiecks, dessen Eckpunkte auf dem Kreis liegen und dessen eine Seite ein Durchmesser des Kreises ist, stets $90^\circ$.

  Die Symmetrieachse eines Drachenvierecks halbiert eine der Diagonalen.

  Lösung

  Ein Drachenviereck ist ein Viereck, dessen eine Diagonale eine Symmetrieachse ist. Die beiden Winkel, die der Symmetrieachse gegenüberliegen, sind daher gleich groß. Die beiden anderen Winkel, durch die also die Symmetrieachse verläuft, werden durch die Symmetrieachse genau halbiert. Die Symmetrieachse teilt die andere Diagonale in der Mitte. Jedes Drachenviereck hat einen Inkreis. Dies ist ein Kreis im Inneren des Drachenvierecks, der jede Seite in genau einem Punkt berührt. Nur solche Drachenvierecke, bei denen die beiden der Symmetrieachse gegenüberliegenden Winkel rechte Winkel sind, haben einen Umkreis.

  Somit findest du folgende korrekten Sätze:

  • Die Symmetrieachse teilt die andere Diagonale in der Mitte.

  • Der Inkreis berührt jede Seite in genau einem Punkt.

  • Der Umkreis existiert nicht immer.

  • Die Winkel an den Eckpunkten, durch die die Symmetrieachse verläuft, werden durch die Symmetrieachse in der Mitte geteilt.

  • Die Winkel an den Eckpunkten, die der Symmetrieachse gegenüberliegen, sind gleich groß.

• Zeige die achsensymmetrischen Vierecke.

  Tipps

  Jedes Drachenviereck hat eine Symmetrieachse, aber nicht jedes Viereck mit einer Symmetrieachse ist ein Drachenviereck.

  Die Symmetrieachse muss keine Diagonale sein.

  Dieses verschränkte Trapez hat eine Symmetrieachse. Die Symmetrieachse verläuft nicht durch das Viereck.

  Lösung

  Das Drachenviereck ist ein spezielles, symmetrisches Viereck. Hier ist nämlich eine der beiden Diagonalen eine Symmetrieachse. Es gibt Drachenvierecke, bei denen auch die andere Diagonale eine Symmetrieachse ist. Ein solches Viereck heißt Raute. Eine spezielle Raute ist das Quadrat.

  In dieser Aufgabe sollst du nicht nur Drachenvierecke aufzeigen, sondern alle Vierecke, die eine Symmetrieachse haben. Diese Symmetrieachse muss dann keine Diagonale sein.

  Folgende Vierecke haben eine Symmetrieachse:

  • $1.$ Dieses Drachenviereck hat eine Diagonale als Symmetrieachse.

  • $4.$ Ein Rechteck hat beide Seitenhalbierenden als Symmetrieachsen.

  • $5.$ Bei einer Raute sind beide Diagonalen Symmetrieachsen.

  • $6.$ Dieses verschränkte Trapez hat eine Seitenhalbierende als Symmetrieachse.

  Folgende Vierecke haben keine Symmetrieachse oder es handelt sich um kein Viereck:

  • $2.$ Dieses Trapez hat keine Symmetrieachse.
  • $3.$ Diese Figur hat zwar eine Symmetrieachse, sie ist aber kein Viereck, sondern ein Fünfeck.
  • $7.$ Dieses verschränkte Trapez hat keine Symmetrieachse. Es ist aber punktsymmetrisch.
  • $8.$ Dieses Parallelogramm hat keine Symmetrieachse. Es ist aber ebenfalls punktsymmetrisch. Ein Parallelogramm hat genau dann eine Symmetrieachse, wenn es ein Rechteck oder eine Raute ist.

• Unterscheide die Vierecke.

  Tipps

  Bie einem Drachenviereck stehen die Diagonalen aufeinander senkrecht.

  Eines der Vierecke ist kein Drachenviereck.

  Lösung

  Die Aufgabe zeigt vier verschiedene Vierecke, die manche Eigenschaften gemeinsam haben. Die Vierecke $1$, $2$ und $3$ sind Drachenvierecke, denn die Diagonale $f$ ist jeweils eine Symmetrieachse. Die Vierecke $3$ und $4$ sind Parallelogramme, das Viereck $4$ ist aber kein Drachenviereck. Keine seiner Diagonalen ist eine Symmetrieachse. Das Viereck $3$ ist als einziges eine Raute.

  • kein Inkreis: Jedes Drachenviereck besitzt einen Inkreis. Das Viereck $4$ ist das einzige in dieser Übung, das kein Drachenviereck ist. Es besitzt keinen Inkreis.

  • besitzt Umkreis: Damit ein Drachenviereck einen Umkreis besitzt, müssen zwei gegenüberliegende Winkel rechte Winkel sein. Dies ist nur bei dem Viereck $1$ der Fall. Auch das Parallelogramm $4$ hat keinen Umkreis.

  • $\beta=\delta=90^\circ$: Bei jedem Drachenviereck sind die der Symmetrieachse gegenüberliegenden Winkel gleich groß. In unserer Bezeichnung bedeutet das $\beta = \delta$. Nur bei dem Viereck $1$ sind diese Winkel rechte Winkel, d.h. $\beta = \delta = 90^\circ$.

  • $\beta =\delta \neq 90^\circ$, $\alpha \neq \gamma$: Bei den Vierecken $2$, $3$ und $4$ sind die Winkel $\beta$ und $\delta$ gleich groß, aber keine rechten Winkel. Nur bei dem Viereck $2$ sind zusätzlich die Winkel $\alpha$ und $\gamma$ verschieden.

  • $a=c \neq b=d$: Bei jedem Drachenviereck sind die Seiten $a$ und $d$ sowie die Seiten $b$ und $c$ gleich lang. Dass die Seiten $a$ und $c$ sowie $b$ und $d$ jeweils gleich lang sind, trifft auf die Vierecke $3$ und $4$ zu. Aber nur bei dem Parallelogramm $4$ sind die Seiten $c$ und $b$ verschieden lang.

  • $e\!\perp\! f$, $a \!\neq \!b$, $\beta \!\neq 90^\circ$: Bei den Drachenvierecken $1$, $2$ und $3$ stehen die Diagonalen aufeinander senkrecht. Bei den Vierecken $1$ und $2$ sind zusätzlich die Seiten $a$ und $b$ verschieden lang. Nur bei dem Viereck $2$ ist noch zusätzlich der Winkel $\beta$ kein rechter Winkel.

  • $e, \!f\!$ Symmetrieachsen: Nur bei der Raute sind beide Diagonalen $e$ und $f$ Symmetrieachsen.

  • $a=b=d$: Die Raute $3$ ist das einzige Viereck mit drei gleich langen Seiten.

  • $\alpha = \gamma$, $a=b$: Außerdem ist die Raute das einzige der Vierecke, bei dem die Winkel $\alpha$ und $\gamma$ gleich sind und zusätzlich die Seiten $a$ und $b$ gleich lang.

  • $\alpha = \gamma$, $a \neq d$: Die Winkel $\alpha$ und $\gamma$ sind, wie bei den Drachenvierecken, auch bei dem Parallelogramm $4$ gleich. Aber hier sind zusätzlich die nebeneinanderliegenden Seiten $a$ und $d$ verschieden lang.

  • $e \not\perp f$: Bei jedem Drachenviereck stehen die Diagonalen $e$ und $f$ aufeinander senkrecht. Das Parallelogramm $4$ ist die einzige gezeigte Figur, für die $e \not\perp f$ gilt.

• Beschrifte das Drachenviereck.

  Tipps

  Die Beschriftung der Eckpunkte, Seiten und Winkel erfolgt stets gegen den Uhrzeigersinn.

  Der Winkel $\alpha$ liegt nicht dem Eckpunkt $A$ gegenüber.

  Überlege, welche beiden Winkel gleich groß sind.

  Lösung

  Bei jedem Viereck werden die Eckpunkte mit den lateinischen Großbuchstaben $A$, $B$, $C$ und $D$ bezeichnet. Dabei geht man gegen den Uhrzeigersinn vor. Der Eckpunkt $A$ liegt unten, daher muss der Eckpunkt $B$ rechts sein, der Eckpunkt $C$ oben und $D$ links. Die Winkel werden mit den griechischen Kleinbuchstaben $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$ bezeichnet. Der Winkel beim Eckpunkt $A$ heißt $\alpha$, der bei $B$ heißt $\beta$, zu $C$ gehört $\gamma$ und zu $D$ schließlich $\delta$. Die Seiten eines Vierecks werden mit den lateinischen Kleinbuchstaben $a$, $b$, $c$ und $d$ ebenfalls gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet. Die Strecke $\overline{AB}$ heißt $a$, die anderen Seiten ergeben sich dadurch.

  Bei jedem Viereck beträgt die Summe aller Innenwinkel genau $360^\circ$. Es gilt also:

  $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

  Beim Drachenviereck sind die beiden Winkel, die der Symmetrieachse gegenüberliegen, gleich groß. Es gilt also:

  $\beta = \delta$

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Überlege, ob ein symmetrisches Trapez einen Inkreis besitzt.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Sind bei einem Drachenviereck drei Seiten gleich lang, so ist es eine Raute.“ Sind drei Seiten gleich lang, so hat auch die vierte Seite eines Drachenvierecks dieselbe Länge. Das bedeutet: Das Drachenviereck ist eine Raute.

  • „Ein Drachenviereck besitzt genau dann einen Umkreis, wenn es zwei einander gegenüberliegende rechte Winkel hat.“ Besitzt ein Drachenviereck einen Umkreis, so ist die Symmetrieachse ein Durchmesser. Nach dem Satz des Thales sind dann die beiden Winkel, die der Symmetrieachse gegenüberliegen, rechte Winkel. Sind umgekehrt die beiden der Symmetrieachse gegenüberliegenden Winkel rechte Winkel, so ist die Symmetrieachse der Durchmesser eines Kreises, auf dem auch die beiden anderen Punkte des Vierecks liegen. Dieser Kreis ist also ein Umkreis. Sind dagegen die beiden Winkel, durch die die Symmetrieachse verläuft, rechte Winkel, so müssen alle Winkel rechte Winkel sein. Das Drachenviereck ist dann ein Quadrat und besitzt ebenfalls einen Umkreis.

  • „Halbiert die Diagonale eines Vierecks die andere Diagonale und steht auf ihr senkrecht, so ist es ein Drachenviereck. “ In diesem Fall ist nämlich die halbierende Diagonale eine Symmetrieachse.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Sind bei einem Drachenviereck drei nebeneinanderliegende Winkel gleich groß, so ist es ein Quadrat.“ Das Bild zeigt ein Trapez mit den Winkeln $\alpha = 150^\circ$, $\beta = \gamma = \delta = 70^\circ$.

  • „Hat ein Viereck eine Symmetrieachse, so besitzt es einen Inkreis.“ Es gibt viele symmetrische Vierecke, die keinen Inkreis besitzen, z. B. ein Rechteck, das kein Quadrat ist.

  • „Sind bei einem Viereck drei Winkel gleich groß, so ist es ein Drachenviereck.“ Durch die Größe der Winkel sind die Seitenlängen nicht festgelegt. Es gibt daher asymmetrische Vierecke mit drei gleich großen Winkeln.

  • „Ein Trapez ist genau dann ein Drachenviereck, wenn es ein Parallelogramm ist.“ In einem Trapez sind zwei gegenüberliegende Seiten parallel. Ist ein Trapez zugleich ein Drachenviereck, so ist eine der Diagonalen eine Symmetrieachse. Durch Spiegelung an der Symmetrieachse folgt, dass auch die beiden anderen gegenüberliegenden Seiten parallel sein müssen. Ein Trapez, das zugleich ein Drachenviereck ist, ist demnach ein Parallelogramm. Ist umgekehrt ein Trapez zugleich ein Parallelogramm, so muss es deswegen noch kein Drachenviereck sein, sondern kann zwei Paare verschieden langer Seiten haben.