Einführung Prisma
Prisma: Ein dreidimensionaler Körper mit Grundflächen und Deckflächen. Du lernst gerade und schiefe Prismen kennen sowie deren Darstellung und Beschriftung. Erfahre mehr über verschiedene Prismenarten wie Quader und Würfel. Neugierig geworden? Das und vieles mehr erwartet dich im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Einführung Prisma
Prisma – Definition und Eigenschaften
In der Mathematik liegen die Eigenschaften des Prismas in der Geometrie des Prismas:
Ein Prisma ist ein dreidimensionaler Körper, dessen Grundfläche und Deckfläche aus dem gleichen Vieleck bestehen.
So ein Vieleck heißt auch Polygon. Die Grundfläche kann also ein Dreieck, ein Viereck, ein Fünfeck oder ein anderes Polygon sein.
Verschiebt man nun die Grundfläche senkrecht „nach oben“, erhält man eine weitere Fläche, die Deckfläche. Das Prisma entsteht nun dadurch, dass man die deckungsgleichen Ecken der Grund- und Deckfläche über Kanten miteinander verbindet.
Für Prismen gilt also:
- Grund- und Deckfläche sind parallel und kongruent.
- Ein Prisma hat immer so viele Seitenflächen, wie die Anzahl der Ecken der Grundfläche.
- Die Seitenflächen bilden zusammen den Mantel des Prismas, auch Mantelfläche genannt.
- Die gesamte Oberfläche des Prismas setzt sich aus der Mantelfläche und den Grund- und Deckflächen zusammen.
Wusstest du schon?
Mit Prismen kannst du Kristalle besser verstehen! Viele Edelsteine wie Diamanten bestehen aus kristallinen Strukturen, die sich aus vielen kleinen Prismen zusammensetzen.
Da sie lichtdurchlässig sind, können diese Prismen das Licht brechen und wunderschöne Farbmuster erzeugen. Ihre funkelnde Pracht ist ein schönes Beispiel für die Bedeutung mathematischer Konzepte in der Natur!
Prisma – Beispiele
Die Form eines Prismas hängt also wesentlich von der Form der Grundfläche ab. Am häufigsten ist die Grundfläche drei- oder viereckig.
Prisma – Grundfläche Dreieck
Hat ein Prisma ein Dreieck als Grundfläche, besitzt es zwei kongruente Dreiecke als Deck- und Grundfläche. Der Mantel setzt sich aus drei Rechtecken zusammen.
Prisma – Grundfläche Viereck
Ein Prima mit viereckiger Grundfläche nennt man Quader. Ein Quader ist ein gerades Prisma. Bei ihm bestehen auch die Grund- und Deckfläche aus Rechtecken. Entsprechend der Anzahl der Ecken besteht die Mantelfläche aus vier Rechtecken.
Der Würfel
Ein Würfel ist ein besonderer Quader und somit ebenfalls ein Prisma. Bei einem Würfel sind Grund- und Deckfläche Quadrate. Die Seitenkanten eines Würfels sind ebenso lang wie die Seiten des Grundflächenquadrats. Das bedeutet, dass bei einem Würfel alle Kanten gleich lang sind.
Aber nicht nur die Grundfläche entscheidet über die Form eines Prismas.
Das gerade und das schiefe Prisma
Das gerade Prisma entsteht aus der senkrechten Verschiebung der Grundfläche. Die Grund- und Deckflächen sind kongruent und parallel zueinander und die Seitenflächen sind Rechtecke.
Ein schiefes Prisma entsteht aus der nicht senkrechten Verschiebung der Grundfläche. Die Grund- und Deckfläche sind weiterhin kongruent und parallel zueinander. Die Seitenflächen sind in diesem Fall aber keine Rechtecke, sondern Parallelogramme.
Die Seitenlängen $a$, $b$ und $c$, sowie auch die Höhe $h$, sind in beiden Prismen gleich groß. Nur die Seitenlängen der Seitenflächen sind durch den schrägen Verlauf beim schiefen Prisma auf der rechten Seite der Abbildung etwas länger.
Prisma – Netz
Man kann auch eine Art „Schnittmuster“ für das Prisma erstellen:
Wird ein Prisma aufgeklappt, erhält man das Netz bzw. Körpernetz. In diesem kann man alle begrenzenden Flächen des Prismas erkennen.
Die Seitenflächen bilden zusammen dann die Mantelfläche des Prismas. Alle begrenzenden Flächen bilden gemeinsam die Oberfläche des Prismas.
Die Oberfläche eines Prismas setzt sich also aus Mantelfläche, Grundfläche und Deckfläche zusammen, wie in der Abbildung zu sehen ist.
Kontrovers diskutiert:
Aktuellen Forschungsergebnissen zufolge könnte die Einführung von Virtual Reality im Mathematikunterricht die Visualisierung von Prismen, also deren bildliche Darstellung, deutlich erleichtern.
Einige Forschende sehen darin großes Potenzial für ein besseres Verständnis der räumlichen Geometrie. Kritikerinnen und Kritiker befürchten jedoch, dass der technische Aufwand und die Kosten diese Methode nur schwer umsetzbar machen. Was hältst du davon?
Prisma – Formeln
Wie bei allen geometrischen Körpern gibt es bei den Prismen zwei wichtige Größen, die berechnet werden können.
Prisma – Oberfläche
Prismen bestehen aus einer Mantelfläche $M$ sowie einer Deck- und einer Grundfläche $G$. Um den Oberflächeninhalt $O$ eines Prismas zu berechnen, musst du die Flächeninhalte dieser addieren.
$O = 2\,G + M$
Da Grund- und Deckfläche kongruent sind, können wir $2\,G$ statt $G + D$ schreiben.
Prisma – Volumen
Um das Volumen $V$ von Prismen zu berechnen, brauchst du ebenfalls den Flächeninhalt $G$ der Grundfläche.
$V = G \cdot h$
Außerdem muss die Höhe $h$ des Prismas bekannt sein.
Konkrete Beispiele zur Berechnung von Oberflächen und Volumen von Prismen findest du auf den verlinkten Seiten.
Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal eine Packung Milch oder Saft in der Hand gehabt und dich gefragt, warum sie genau diese Form hat. Solche Verpackungen sind oft Quader, also rechteckige Prismen. Sie sind so gestaltet, weil man sie leicht stapeln und transportieren kann.
Indem du die Eigenschaften von Prismen verstehst, kannst du nachvollziehen, warum solche Formen für Verpackungen praktisch und effizient sind.
Ausblick – das lernst du nach Einführung Prisma
Bereite dich darauf vor Schrägbilder von Quadern kennenzulernen! Vertiefe außerdem dein Wissen über Körpernetze und lerne, wie du den Oberflächeninhalt und das Volumen eines Prismas berechnen kannst. Erlerne neue Fähigkeiten und betrachte Körper aus einer neuen Perspektive!
Zusammenfassung – Prisma
- Prismen sind geometrische Körper.
- Die Form der Grundfläche ist entscheidend für die Art des Prismas.
- Prismen bestehen aus einer Deck-, einer Grund- und einer Mantelfläche.
- Grund- und Deckfläche sind parallel und kongruent.
- Ein Prisma hat immer so viele Seitenflächen, wie die Anzahl der Ecken der Grundfläche
- Die Oberfläche eines Prismas wird mit der Formel $O = 2\,G + M$ berechnet.
- Für das Volumen eines Prismas gilt $V = G \cdot h$.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Prisma
Transkript Einführung Prisma
Der Juwelier Gustav Glänz wollte schon lange so eine prachtvolle Kette für seine hochkarätigen Kunden austellen und nun hat er sie endlich gefunden. Betrachtet man diese Kette genauer, so sieht man, dass alle Kristalle eine ganz besondere Form besitzen. Die Form eines Prismas. In diesem Video lernen wir, was ein Prisma ist und welche Eigenschaften es besitzt. Wir gehen von zweidimensionalen Formen mit geraden Kanten aus. Ein Beispiel dafür ist dieses Dreieck. Dieses Dreieck dient nun als Grundfläche. Verschieben wir es senkrecht zur Grundfläche und verbinden diese zwei Dreiecke mit Kanten, so erhalten wir einen dreidimensionalen Körper. Wie wir sehen, haben wir nun zwei kongruente Dreiecke, die durch diese drei rechteckigen Flächen miteinander verbunden sind. Den so entstandenen Körper nennen wir Prisma. In diesem Fall handelt es sich um ein gerades Prisma, da die Verschiebung des Dreiecks senkrecht zur Grundfläche durchgeführt wurde. Wir wissen, dass dieses Dreieck die Grundfläche ist. Die verschobene Fläche, also das kongruente Dreieck, nennen wir Deckfläche. Die Kanten, die die Höhe der Verschiebung angeben, heißen Seitenkanten und die Flächen, die dadurch entstanden sind, heißen Seitenflächen. Weil wir genau drei Seitenflächen haben, nennen wir dies auch ein dreiseitiges Prisma. Klappen wir das Prisma auf, so erhalten wir das Körpernetz des Prismas. Das setzt sich aus der Grundfläche, der Deckfläche und der Mantelfläche zusammen. Zusammen bilden die Flächen die Oberfläche des Prismas. Schauen wir uns doch einmal die verschiedenen Kristalle der Kette an, um zu überprüfen, ob es sich wirklich um Prismen handelt. Diese Fläche ist auf jeden Fall nicht kongruent zu einer gegenüberliegenden Fläche, da sich dort eine Kante befindet. Können wir zwei andere Flächen finden, die kongruent zueinander sind? Genau! Wir haben hier ein Fünfeck, und auch hier. Diese sind die zwei zueinander kongruente Flächen nach denen wir gesucht haben. Das Fünfeck ist daher die Grundfläche. Weil wir fünf Seitenflächen haben, ist dies ein fünfseitiges Prisma. Die Verschiebung der Grundfläche kann allerdings auch nicht senkrecht zur Grundfläche durchgeführt werden. In diesen Fällen sprechen wir von einem schiefen Prisma. Die Grund- und Deckfläche sind weiterhin kongruent und parallel zueinander. Die Seitenflächen sind in diesem Fall Parallelogramme und keine Rechtecke. Betrachten wir einmal den nächsten Kristall. Können wir an diesem Kristall zueinander kongruente Flächen erkennen? Hier haben wir sogar mehr als zwei: diese beiden, diese und diese sind kongruent zueinander. Die Kanten zwischen ihnen liegen senkrecht zu diesen Flächen. Es handelt sich also in allen drei Fällen um eine parallele Verschiebung der verschiedenen Grundflächen. Dies ist ein ganz besonderes Prisma: der Quader. Sind zusätzlich noch alle Kantenlängen gleich, ist es ein Würfel. Dieser ist also auch ein Prisma. Während Gustav Glänz den perfekten Ausstellungsort für die Kette vorbereitet, fassen wir zusammen. Ein gerades Prisma ist ein Körper mit mindestens zwei zueinander parallelen, kongruenten Vielecken als Grund- und Deckfläche. Die Seitenflächen sind Rechtecke. Das heißt, dass auch der Quader und der Würfel Prismen sind. Verläuft die Verschiebung nicht senkrecht, so sprechen wir von einem schiefen Prisma. Hier sind die Seitenflächen Parallelogramme. Gustav Glänz hat den perfekten Ort gefunden, um die Kette auszustellen und für alle Kunden sichtbar zu machen. Doch. Oh nein! Räuber! Oh, da sind sie wohl in das falsche Video eingebrochen.
Einführung Prisma Übung
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Gib die Eigenschaften von Prismen an.
TippsBetrachte ein Dreieck, das als Grundfläche dient.
Verschiebe das gleiche Dreieck nun senkrecht zur Grundfläche und verbinde diese zwei Dreiecke mit Kanten, so erhältst du ein Prisma.
Erfolgt die Verschiebung nicht senkrecht, so erhältst du ein schiefes Prisma. Andernfalls ist das Prisma gerade.
LösungWir betrachten nun ein Vieleck, das als Grundfläche dient. Das gleiche Vieleck verschieben wir senkrecht zur Grundfläche und verbinden diese zwei Vielecke mit Kanten. Durch die senkrechte Verschiebung entsteht ein gerades Prisma mit folgenden Eigenschaften:
- Es besitzt mindestens zwei zueinander parallele, kongruente Vielecke als Grund- und Deckfläche.
- Seine Seitenflächen sind Rechtecke.
- Seine Seitenkanten sind parallel zueinander.
- Die Seitenflächen sind dann Parallelogramme.
- Die Seitenkanten sind weiterhin parallel zueinander.
-
Benenne die jeweiligen Prismen.
TippsJedes Prisma besitzt jeweils mindestens eine Grund- und kongruente Deckfläche, die zueinander parallel sind.
Hier siehst du einen Kegel und eine Pyramide.
LösungEin gerades Prisma besitzt folgende Eigenschaften:
- Es hat mindestens zwei zueinander parallele, kongruente Vielecke als Grund- und Deckfläche.
- Seine Seitenflächen sind Rechtecke.
- Seine Seitenkanten sind parallel zueinander.
- Fünfseitiges Prisma: Es handelt sich hierbei um ein Prisma mit einem Fünfeck als Deck- und Grundfläche. Daher besitzt dieses Prisma fünf Seitenflächen.
- Dreiseitiges Prisma: Hierbei handelt es sich um ein Prisma mit einer dreieckigen Deck- und Grundfläche. Dieses Prisma besitzt drei Seitenflächen.
- Quader: Dieser ist ein spezielles Prisma. Es hat eine viereckige Deck- und Grundfläche. Alle zueinander parallelen Flächen können Deck- und Grundflächen sein, da diese jeweils zueinander parallel und kongruent sind. Ein Quader besitzt vier Kanten, die parallel zueinander und gleich lang sind.
- Würfel: Auch der Würfel ist ein spezielles Prisma. Es handelt sich hierbei um einen Quader, bei dem alle Kanten gleich lang sind. Somit ist es egal, auf welcher Fläche der Würfel steht. Der resultierende Körper sieht immer gleich aus.
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Entscheide, bei welchen der jeweiligen Körper es sich um ein Prisma handelt.
TippsEin Prisma beschreibt eine Gruppe von geometrischen Körpern, deren Grundfläche einem beliebigen Vieleck entspricht. Zudem sind alle Kanten, die die Höhe des Prismas beschreiben, parallel zueinander und gleich lang.
Deck- und Grundfläche von Prismen sind parallel zueinander und kongruent.
Ein Kreis ist kein Vieleck.
LösungEin Prisma beschreibt eine Gruppe von geometrischen Körpern, deren Grundfläche einem beliebigen Vieleck entspricht. Zudem sind alle Kanten, die die Höhe des Prismas beschreiben, parallel zueinander und gleich lang. Daraus ergibt sich, dass Grund- und Deckfläche von Prismen identisch sind.
Mit dieser Definition können wir nun entscheiden, welche der abgebildeten geometrischen Körper ein Prisma darstellen. Wir beginnen mit den geometrischen Körpern in der ersten Reihe und gehen von links aus:
Erste Reihe
- Bild 1 stellt eine Pyramide mit fünfeckiger Grundfläche dar. Bei einer Pyramide laufen alle Seitenkanten aufeinander zu und treffen sich an der Pyramidenspitze. Da bei einem Prisma allerdings alle Seitenkanten parallel zueinander und gleich lang sind, stellen wir fest, dass eine Pyramide kein Prisma ist.
- Bild 2 stellt ein Prisma mit rechteckiger Grundfläche dar. Einen solchen geometrischen Körper nennt man auch Quader. Ein Quader ist also ein Spezialfall eines Prismas.
- Bild 3 stellt ein Prisma dar, dessen Grundfläche einem symmetrischen, also gleichschenkligen Trapez entspricht.
- Bild 1 stellt ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche dar.
- Bild 2 stellt einen Kegel dar. Hier haben wir weder eine vieleckige Grundfläche noch Seitenkanten, die parallel zueinander und gleich lang sind. Also ist auch ein Kegel kein Prisma.
- Bild 3 stellt einen allgemeinen Zylinder dar. Dieser Zylinder besitzt einen Kreis als Grundfläche. Ein Kreis ist kein Vieleck und daher ist dieser Zylinder auch kein Prisma.
- Bild 4 stellt ein Prisma mit sechseckiger Grundfläche dar.
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Ermittle die Körpernetze der jeweiligen Prismen.
TippsAchte ganz genau auf die Deck- und Grundflächen.
LösungUm die Körpernetze der jeweiligen Prismen zu bestimmen, betrachten wir deren Deck- und Grundfläche und die aus deren Form resultierende Mantelfläche. Je nachdem wie viele Ecken die Deck- und Grundfläche besitzen, setzt sich die Mantelfläche aus genauso vielen Seitenflächen zusammen. So erhalten wir folgende Körpernetze:
Fünfseitiges Prisma
Das Körpernetz eines fünfseitigen Prismas setzt sich aus zwei Fünfecken und einer Mantelfläche aus fünf Rechtecken zusammen.
Dreiseitiges Prisma
- Das dreiseitige Prisma besitzt ein Körpernetz mit zwei Dreiecken und drei Rechtecken. Wichtig ist hierbei, dass die längere Seite an den Dreiecken anliegt, da wir zwei verschiedene Körpernetze für Prismen haben.
- Das Körpernetz eines sechsseitigen Prismas besteht aus zwei Fünfecken und fünf Rechtecken.
- Der Würfel hat ein Körpernetz, das sich aus sechs Quadraten zusammensetzt. Zwei dieser Quadrate sind jeweils Deck- und Grundfläche. Die anderen vier ergeben die Mantelfläche.
- Das Körpernetz bestehend aus zwei Dreiecken und zwei Rechtecken, deren kurze Seite an den Dreiecken anliegt, beschreibt zwar auch ein Prisma, aber nicht das gewünschte. Dieses Prisma wäre deutlich höher und hat eine verhältnismäßig kleine Grundfläche.
- Das Körpernetz bestehend aus zwei Trapezen und vier Rechtecken gehört zu einem Prisma. Dieses hat gleichschenklige Trapeze als Deck- und Grundfläche.
-
Beschrifte das gegebene Prisma.
TippsDie Oberfläche eines Prismas setzt sich aus seiner Mantel-, Deck- und Grundfläche zusammen.
Die Mantelfläche setzt sich aus allen Seitenflächen zusammen.
LösungBei dem hier betrachteten Prisma haben wir zwei kongruente Dreiecke, die durch drei rechteckige Flächen miteinander verbunden sind. Ein solches Prisma nennen wir dreiseitiges Prisma.
- Das untere Dreieck ist die Grundfläche des Prismas.
- Das obere kongruente Dreieck ist die Deckfläche.
- Die Kanten, die die Deckfläche mit der Grundfläche verbinden, heißen Seitenkanten.
- Die Flächen zwischen Deck- und Grundfläche heißen Seitenflächen.
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Arbeite die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen der jeweiligen Prismen heraus.
TippsGrenzen zwei Flächen eines Prismas aneinander, so ist dort eine Kante. Überall dort, wo drei Kanten eines Prismas aufeinandertreffen, liegt eine Ecke vor.
LösungGrenzen zwei Flächen eines Prismas aneinander, so ist dort eine Kante. Überall dort, wo drei Kanten eines Prismas aufeinandertreffen, liegt eine Ecke vor. Demnach können wir folgende Eigenschaften festhalten:
$\begin{array}{c|ccc} \text{Prisma} & \text{Ecken} & \text{Kanten} & \text{Fl}\ddot{\text{a}}\text{chen} \\ \hline \text{a} & 6 & 9 & 5 \\ \text{b} & 12 & 18 & 8 \\ \text{c} & 10 & 15 & 7 \\ \text{d} & 8 & 12 & 6 \\ \text{e} & 14 & 21 & 9 \end{array}$
Generell kann man festhalten, dass es doppelt so viele Ecken gibt, wie es Seiten gibt. Beispielsweise hat ein dreiseitiges Prisma demnach sechs Ecken.
Es gibt dreimal so viele Kanten, wie es Seiten gibt. Ein dreiseitiges Prisma hat also $3 \cdot 3 = 9$ Kanten.
Die Anzahl der Flächen ergibt sich aus der Seitenanzahl plus der Grund- und Deckfläche. Das dreiseitige Prisma hat also $3+2=5$ Flächen.
Mit diesen Zusammenhängen lassen sich die Eigenschaften zu allen Prismen ermitteln.
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