Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen – Beispiele

Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen – Beispiele Übung

• Stelle den Fahrplan für die Lösung allgemeiner Textaufgaben auf.

  Tipps

  Aus der Formel $ O = 2 \cdot A + M$ kannst du entnehmen, dass du den Flächeninhalt der Grundfläche und den der Mantelfläche brauchst, um den Oberflächeninhalt eines Prismas zu bestimmen.

  Lösung

  Eine Textaufgabe muss man zunächst gründlich durchlesen, um zu wissen, welche Informationen gesucht werden und vor allem welche Informationen schon gegeben sind.

  Soll der Oberflächeninhalt eines Prismas berechnet werden, schreibt man zunächst die allgemeine Formel für $O$ auf und schaut, welche anderen Formeln man noch benötigt (wie zum Beispiel die Formel für die Mantelfläche $M$) und schreibt diese ebenfalls auf.

  Wenn du dir eine Skizze zu dem Prisma machst und alle Angaben die du schon kennst in die Skizze hineinschreibst, fällt es dir leichter einen Überblick über die Aufgabe zu haben.

  Weiter muss du die Form der Grund- bzw Deckfläche bestimmen. Wenn du die Form bestimmt hast, suchst du die Formel raus, mit der man den Flächeninhalt der Grundfläche bestimmen kann.

  Nachdem du den Flächeninhalt der Grundfläche bestimmt hast, musst du den Umfang der Grundfläche bestimmen. Die Formel dazu variiert je nach der Form der Grundfläche.

  Den Umfang brauchst du, um anschließend den Mantelflächeninhalt zu bestimmen.

  Hast du nun den Flächeninhalt der Grundfläche und den Mantelflächeninhalt bestimmt, kannst du den Oberflächeninhalt bestimmen.

  Zum Schuss formulierst du einen Antwortsatz, um dir selber nochmal klar zu machen, was das errechnete Ergebnis überhaupt aussagt.

• Berechne, wie viel Stoff benötigt wird.

  Tipps

  Den Oberflächeninhalt eines Körpers berechnet man mit der Formel $O = 2 \cdot A + M$.

  Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man mit der Formel $A =$ Länge $\cdot$ Breite.

  Den Mantelflächeninhalt berechnet man, indem man den Umfang $u$ der Grundfläche bzw. Deckfläche mit der Höhe $h$ multipliziert.

  Den Umfang der Grundfläche berechnet man mit der Formel $ u = 2 \cdot$ Länge $+ 2 \cdot $Breite.

  Denke an die Einheiten. $1~m^2 = 10~000~cm^2$

  Lösung

  Um die Stoffmenge berechnen zu können, müssen wir wissen, wie groß die Fläche ist, die mit Stoff bedeckt werden soll. Das heißt, wir müssen den Oberflächeninhalt des Quaders berechnen. Diesen berechnen wir mit der Formel $O = 2 \cdot A + M$. Wir brauchen den Flächeninhalt $A$ der Grundfläche bzw. der Deckfläche und den Mantelflächeninhalt $M$.

  Um den Flächeninhalt der Grundfläche zu bestimmen, müssen wir zunächst ihre geometrische Form bestimmen. Es handelt sich um ein Rechteck. Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man mit der Formel $A =$ Länge $\cdot$ Breite. Es gilt:

  $\begin{align} A & = 55~cm \cdot 45~cm\\ & = 2~475~cm^2 \end{align}$

  Da wir nun wissen, wie groß $A$ ist, müssen wir noch $M$ bestimmen. Dazu nutzen wir die Formel $M = u \cdot h$, wobei $u$ für den Umfang der Grundfläche steht und $h$ die Höhe des Quaders angibt. Wir kennen die Höhe $h = 70~cm$. Den Umfang $u$ eines Rechtecks berechnet man mit der Formel $u = 2 \cdot$ Länge $+ 2 \cdot$ Breite. Es folgt:

  $\begin{align} u & = 2 \cdot 55~cm + 2 \cdot 45~cm\\ & = 110~cm + 90~cm\\ & = 200~cm\\ \end{align}$

  Setzen wir dies nun in die Formel für $M$ ein, erhalten wir:

  $\begin{align} M & = 200cm \cdot 70~cm\\ & = 14~000~cm^2\\ \end{align}$

  Nun haben wir alle Angaben, um $O$ bestimmen zu können. Wir erhalten:

  $\begin{align} O & = 2 \cdot A + M\\ & = 2 \cdot 2~475~cm^2 + 14~000~cm^2\\ & = 18~950~cm^2 \end{align}$

  Da wir die Stoffmenge in $m^2$ angeben sollen, müssen wir $cm^2$ in $m^2$ umwandeln. Es gilt: $1~m^2 = 10~000~cm^2$ Das heißt, dass $1~m^2$ genauso viel entsprechen wie $10~000~cm^2$. Für unsere Stoffmenge folgt daraus $18~950~cm^2 = 1,895~m^2$.

  Wir brauchen also $1,895~m^2$ Stoff, um den ganzen Quader mit Stoff zu verzieren.

• Berechne den Oberflächeninhalt des Prismas.

  Tipps

  Schau dir die Grundfläche des Prismas an. Sie hat die Form eines Kreuzes. Unterteile die Fläche in Rechtecke und berechne dann den Flächeninhalt. Es gibt viele verschiedene Wege, aber nur eine Lösung.

  Den Flächeninhalt eines Rechteckes berechnet man mit der Formel $A=$ Länge $\cdot$ Breite.

  Den Mantelflächeninhalt eines Prismas berechnet man mit der Formel $M= u \cdot h$, wobei $u$ der Umfang der Grundfläche und $h$ die Höhe des Prismas ist.

  Den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnet man mit der Formel $O=2 \cdot A + M$, wobei $A$ der Flächeninhalt der Grundfläche und $M$ der Mantelflächeninhalt ist.

  Lösung

  Den Flächeninhalt der Grundfläche und Mantelfläche kann man auf verschiedene Art berechnen. Beide der jeweils angebotenen Rechenwege kann man nutzen und bei beidem kommt auch dasselbe heraus.

  $\begin{align} A & = (14~cm \cdot 12~cm) - 4 \cdot 2~cm \cdot 2~cm\\ & = 168~cm^2 - 16~cm^2\\ & = 152~cm^2\\ \end{align}$

  $\begin{align} A &= 10~cm \cdot 12~cm + 2 \cdot 2~cm \cdot 8~cm\\ & = 120~cm^2 + 32~cm^2\\ & = 152~cm^2\\ \end{align}$

  Außerdem ist $u=8 \cdot 2~cm+2 \cdot 8~cm +2 \cdot 10~cm=52~cm$. Also berechnen wir $M$.

  $\begin{align} M & =u \cdot h \\ &=52~cm \cdot 15~cm \\ &=780~cm^2 \end{align}$

  Für den Oberflächeninhalt setzen wir die Werte in die Formel $O = 2 \cdot A + M$ ein. Es folgt:

  $\begin{align} O& = 2 \cdot 152~cm^2 + 780~cm^2\\ & = 1084~cm^2\\ \end{align}$

• Entscheide, ob David Lisa ein Eis kaufen muss.

  Tipps

  Die Grundflächen der Prismen sind ein regelmäßiges Fünfeck, ein regelmäßiges Sechseck, ein Trapez und ein Dreieck. Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt der vier Flächen?

  Den Flächeninhalt eines regelmäßigen Fünfecks kannst du mit der Formel $A_{\text{Fünfeck}} \approx 1,72 \cdot a^2$ berechnen, wobei $a$ die Kantenlänge ist.

  Den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks kannst du mit der Formel $A_{\text{Sechseck}} =\frac32 \sqrt{3} \cdot a^2$ berechnen, wobei $a$ die Kantenlänge ist.

  Den Flächeninhalt eines Trapezes kannst du mit der Formel $A_{\text{Trapez}} =\frac12 \cdot (a+b) \cdot c$ berechnen, wobei $a$ und $b$ die Seitenlängen der parallelen Seiten sind und $c$ die Höhe des Trapezes.

  Den Flächeninhalt eines Dreieckes kannst du mit der Formel $A_{\text{Dreieck}} =\frac12 \cdot g \cdot h_g$ berechnen, wobei $g$ die Länge einer beliebigen Seite ist und $h_g$ die Länge der auf dieser Seite stehenden Höhe.

  Den Mantelflächeninhalt eines Prisma berechnet man mit der Formel $M = u \cdot h$, wobei $u$ dem Umfang der Grundfläche entspricht.

  Mit der Formel $ O = 2 \cdot A + M$ berechnet man den Oberflächeninhalt eines Prismas.

  Lösung

  Die vier Prismen haben vier verschiedene Grundflächen: Dreieck, Trapez, regelmäßiges Fünfeck und regelmäßiges Sechseck.

  Um den Oberflächeninhalt bei den einzelnen Prismen zu bestimmen, müssen wir zunächst den Flächeninhalt $A$ der Grundfläche berechnen, anschließend müssen wir den Umfang $u$ der Grundfläche berechnen, da wir diese brauchen, um den Mantelflächeninhalt $M$ des Prismas bestimmen zu können. Wenn $A$ und $M$ bekannt sind, können wir dann den Oberflächeninhalt $O$ berechnen.

  1. Den Flächeninhalt eines regelmäßigen Fünfecks kannst du mit der Formel $A_{\text{Fünfeck}} \approx 1,72 \cdot a^2$ berechnen, wobei $a$ die Kantenlänge ist. Für das blaue Prisma mit dem regelmäßigen Fünfeck als Grundfläche folgt also:

  $\begin{align} A & \approx 1,72 \cdot (3~cm)^2 \\ &\approx 15,48~cm^2 \end{align}$

  $\begin{align} u & = 5 \cdot a\\ & = 5 \cdot 3~cm\\ & = 15~cm \end{align}$

  $\begin{align} M & = 15~cm \cdot 5~cm\\ & = 75~cm^2 \end{align}$

  $\begin{align} O &\approx 2 \cdot 15,48~cm^2 + 75~cm^2\\ &\approx 105,96~cm^2 \end{align}$

  2. Den Flächeninhalt eines Trapezes kannst du mit der Formel $A_{\text{Trapez}} =\frac12 \cdot (a+b) \cdot c$ berechnen, wobei $a$ und $b$ die Seitenlängen der parallelen Seiten sind und $c$ die Höhe des Trapezes. Für das lila Prisma mit dem Trapez als Grundfläche folgt daraus:

  $\begin{align} A& = \frac{1}{2} \cdot 4~cm \cdot (10~cm + 6~cm)\\ & = 32~cm^2 \end{align}$

  $\begin{align} u& = 6~cm + 10~cm + 2 \cdot 5~cm\\ & = 26~cm \end{align}$

  $\begin{align} M & = 26~cm \cdot 15~cm\\ & = 390~cm^2 \end{align}$

  $\begin{align} O & = 2 \cdot 32~cm^2 + 390~cm^2\\ & = 454~cm^2 \end{align}$

  3. Den Flächeninhalt eines Dreieckes kannst du mit der Formel $A_{\text{Dreieck}} =\frac12 \cdot g \cdot h_g$ berechnen, wobei $g$ die Länge einer beliebigen Seite ist und $h_g$ die Länge der auf dieser Seite stehenden Höhe. Für das rosa Prisma mit dem Dreieck als Grundfläche folgt daraus:

  $\begin{align} A& = \frac{10~cm \cdot 5~cm}{2}\\ & = 25~cm^2 \end{align}$

  $\begin{align} u & = 2 \cdot 7,07~cm +10~cm \\ & = 24,14~cm \end{align}$

  $\begin{align} M & = u \cdot h\\ & = 24,14 \cdot 17~cm\\ & = 410,38~cm^2 \end{align}$

  $\begin{align} O & = 2 \cdot A +M\\ & = 2 \cdot 25~cm^2 + 410,38~cm^2\\ & = 460,38~cm^2 \end{align}$

  4. Den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks kannst du mit der Formel $A_{\text{Sechseck}} =\frac32 \sqrt{3} \cdot a^2$ berechnen, wobei $a$ die Kantenlänge ist. Für das gelbe Prisma mit dem Sechseck als Grundfläche folgt daraus:

  $\begin{align} A& = \frac32 \cdot \sqrt{3} \cdot (2~cm)^2\\ & \approx 10,4~cm^2 \end{align}$

  $\begin{align} u& = 6 \cdot 2~cm\\ & = 12~cm \end{align}$

  $\begin{align} M & = 12~cm \cdot 10~cm\\ & = 120~cm^2 \end{align}$

  $\begin{align} O & \approx 2 \cdot 10,4~cm^2 + 120~cm^2\\ & \approx 140,8~cm^2 \end{align}$

  David lag also richtig. David kauft aber trotzdem ein Eis für sie beide.

• Beschreibe die Formeln zum Oberflächeninhalt und Mantelflächeninhalt.

  Tipps

  Die Variable $A$ steht für den Flächeninhalt der Grundfläche. Die Variable $u$ steht für den Umfang der Grundfläche und die Höhe $h$ steht für die Höhe des Prismas.

  Lösung

  Mit der Formel $O = 2 \cdot A + M$ berechnet man den Oberflächeninhalt eines Prismas. Wie du schon an der Formel sehen kannst, benötigst du den Flächeninhalt der Grund- bzw. Deckfläche und den Mantelflächeninhalt. Da die Grund- und Deckfläche gleich groß, also deckungsgleich sind, muss man den Flächeninhalt mit zwei multiplizieren.

  Der Mantelflächeninhalt des Prismas berechnet sich aus der Formel $M = u \cdot h$. Hierfür benötigt man den Umfang $u$ der Grundfläche. Wie man diesen berechnet, hängt von der Form der Grundfläche ab. Hat die Grundfläche die Form eines Rechtecks, dann addiert man alle vier Seitenlängen. Hat die Grundfläche aber die Form eines regelmäßigen Fünfeckes, multipliziert man eine Kantenlänge mit fünf, da die Fläche fünfmal die gleich große Kantenlänge besitzt. $h$ gibt die Höhe des Prismas an.

• Bestimme den Oberflächeninhalt und das Volumen der Verpackung.

  Tipps

  Schau dir die Grundfläche des Prismas an. Welche geometrische Form kannst du erkennen?

  Die Grundfläche ist ein regelmäßiges Sechseck mit der Kantenlänge $a$. Der Umfang dieser Fläche berechnet man mit der Formel $A=6 \cdot a$.

  Den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks kannst du mit der Formel $A_{\text{Sechseck}} =\frac32 \sqrt{3} \cdot a^2$ berechnen, wobei $a$ die Kantenlänge ist.

  Den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnet man mit der Formel $ O = 2 \cdot A + M$

  Das Volumen eines Prismas berechnet man mit der Formel $V=A \cdot h$.

  Lösung

  Um den Oberflächeninhalt und das Volumen der Verpackung auszurechnen, benötigen wir die Formel $ O = 2 \cdot A + M$ und $V=A \cdot h$. Wir kennen weder $A$ noch $M$. Allerdings können wir $M$ sehr leicht ausrechnen, da wir den Umfang des Sechsecks und die Höhe bzw. Tiefe der Verpackung kennen. Die Verpackung hat einen Mantelflächeninhalt von

  $\begin{align} M & = u ~\cdot h\\ & = 42~cm \cdot 3~cm\\ & = 126~cm^2 \end{align}$

  $A$ können wir nicht ausrechnen, da wir nicht wissen, wie lang eine Kantenlänge $a$ des Sechsecks ist. Hier hilft uns die Form der Grundfläche weiter. Es handelt sich hierbei um ein regelmäßiges Sechseck. Daher können wir mit dem gegebenen Umfang die Kantenlänge berechnen.

  $\begin{align} u&=6 \cdot a \\ 42~cm&=6 \cdot a \\ a&=7~cm \end{align}$

  Den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks kannst du mit der Formel $A_{\text{Sechseck}} =\frac32 \sqrt{3} \cdot a^2$ berechnen, wobei $a$ die Kantenlänge ist. Wir berechnen $A$.

  $\begin{align} A&=\frac32 \sqrt{3} \cdot (7~cm)^2 \\ & \approx 127,3~cm^2 \end{align}$

  Jetzt können wir $O$ und $V$ berechnen.

  $\begin{align} O & = 2 \cdot A + M\\ & \approx 2 \cdot 127,3~cm^2 + 126~cm^2\\ & \approx 380,6~cm^2 \end{align}$

  $\begin{align} V & = A \cdot h\\ & \approx 127,3~cm^2 \cdot 3~cm\\ & \approx 381,9~cm^2 \end{align}$