Netze von Kegeln

Netze von Kegeln Übung

• Gib die Konstruktionsbeschreibung eines Kegels wieder.

  Tipps

  Es ist einfacher, wenn man zuerst die Grundfläche und dann die Mantelfläche zeichnet.

  Die Mantellinie $s$ lässt sich mithilfe der Formel $s=\sqrt{r^2+h^2}$ berechnen, wobei $h$ die Höhe des Kegels ist.

  Lösung

  Möchte man das Netz eines Kegels konstruieren, ist es einfacher, wenn man zunächst die Grundfläche und dann die Mantelfläche einzeichnet. Bevor man überhaupt anfängt, irgendwas zu zeichnen, sollte man die nötigen Größen $r$, $s$ und $\alpha$ bestimmen. Wenn diese Größen bekannt sind, kann man beginnen, mit einem Zirkel den Grundkreis und damit die Grundfläche einzuzeichnen. Anschließend trägt man vom Kreis die Strecke $s$ ab. Ist die Strecke $s$ abgetragen, kann man mit dem Geodreieck den Winkel $\alpha$ abmessen und eintragen. Nun trägt man mit dem Zirkel den Kreisbogen mit dem Radius $s$ ab, da der Kreisbogen genauso lang ist wie der Umfang des Kreises. Abschließend entfernt man noch alle Überstände.

  Die allgemeine Konstruktionsbeschreibung, ein Kegelnetz zu zeichnen, lautet demnach:

  1. $r$, $s$ und $\alpha$ bestimmen //
  2. Grundkreis mit Radius $r$ zeichnen //
  3. Strecke $s$ an Kreis abtragen //
  4. Winkel $\alpha$ einzeichnen //
  5. Kreisbogen mit Radius $s$ zeichnen //
  6. Überstände entfernen

• Stelle die Konstruktion eines Kegelnetzes graphisch dar.

  Tipps

  Um ein Kegelnetz zu zeichnen, geht man wie folgt vor:

  1. Man bestimmt $r$, $s$ und $\alpha$:
  2. Man zeichnet die Grundfläche, den Kreis, ein.
  3. Vom Kreis trägt man $s$ ab.
  4. Nun wird $\alpha$ eingezeichnet.
  5. Man zieht den Kreisbogen.
  6. Letztlich werden alle Überstände entfernt.

  Lösung

  Hier siehst du die Reihenfolge der Bilder von links nach rechts.

  Zunächst musst du $r$, $s$ und $\alpha$ bestimmen. Anschließend zeichnest du mit $r$ die Grundfläche als Kreis ein. Vom Kreis ausgehend, trägst du die Mantellinie $s$ ab. Von der Mantellinie misst du mithilfe des Geodreiecks den Mittelpunktswinkel $\alpha$ ab. Nun kannst du mit dem Zirkel den Kreisbogen ziehen. Zuletzt beseitigst du Überstände.

• Entscheide, welche Kegelnetze richtig gezeichnet sind.

  Tipps

  Die Grundfläche und die Mantelfläche berühren sich in einem Punkt. Dieser Punkt kann beliebig auf dem Kreisbogen der Mantelfläche und auf dem Umfang der Grundfläche liegen.

  Wann berührt die Grundfläche die Mantelfläche nicht am Kreisbogen?

  Lösung

  Ein Kegel besteht aus einer Grundfläche, welche die Form eines Kreises hat und aus einer Mantelfläche, die die Form eines Kreissektors hat. Beide Flächen sind an einen Berührungspunkt miteinander verbunden. Dieser Punkt liegt auf dem Kreisbogen bzw. am Umfang des Kreises. Der Kreisbogen und der Umfang des Kreises sind gleich lang.

  Diese Eigenschaften treffen auf das grüne, orange und gelbe Kegelnetz zu. Sie sind richtige Netze eines Kegels.

  Das blaue Kegelnetz hat seinen Berührungspunkt nicht am Kreisbogen, sondern an der Mantellinie. Würde man dieses Netz zusammenbauen, würde daraus kein Kegel entstehen.

• Bestimme den Mittelpunktswinkel $\alpha$.

  Tipps

  Der Satz des Pythagoras sagt aus, dass $c^2 = a^2 + b^2$ gilt. Kannst du das verwenden?

  Um den Kreisbogen zu berechnen, dient die Formel $s=\sqrt{r^2+h^2}$.

  Um anhand von Radius und Kreisbogen den Mittelpunktswinkel zu berechnen, benutze die Formel $\alpha = \frac{r}{s} \cdot 360^\circ$.

  Lösung

  Der Mittelpunktswinkel $\alpha$ berechnet sich aus der Formel $ \alpha = \frac{r}{s} \cdot 360^\circ$. Wir wissen schon, dass $r = 12~cm$ und $h=9~cm$ groß ist. Wir wissen noch nicht, wie lang die Mantellinie $s$ ist. Die Höhe, der Radius und die Mantelfläche ergeben zusammen ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem die Mantellinie $s$ die Hypotenuse darstellt. Mithilfe des Satzes von Pythagoras können wir die Mantellinie $s$ berechnen. Laut dem Satz des Pythagoras lautet die passende Formel dazu: $s^2 = r^2 + h^2$ Diese Formel formen wir nun nach $s$ um und erhalten:

  $\begin{align} s^2 &= r^2 + h^2 &|& \sqrt[]{~} \\ s &= \sqrt[2]{r^2 + h^2} \end{align}$

  Wir setzen nun die uns bekannten Werte für die Höhe und den Radius ein und erhalten:

  $\begin{align} s &= \sqrt[2]{12^2~cm+ 9^2~cm} \\ s &= \sqrt[2]{144~cm + 81~cm} \\ s &= \sqrt[2]{225~cm} \\ s &= 15~cm \end{align}$

  Nun wissen wir, wie groß $s$ ist. Wir können nun die Werte für $r$ und $s$ in die Formel $ \alpha = \frac{r}{s} \cdot 360^\circ$ einsetzen und erhalten:

  $ \alpha = \frac{12~cm}{15~cm} \cdot 360^\circ = 288^\circ $

  Der Mittelpunktswinkel $\alpha$ ist also $288^\circ$ groß.

• Nenne die Größen, welche notwendig sind, um ein Netz zeichnen zu können.

  Tipps

  Um ein Kegelnetz zu zeichnen, muss man den Grundkreis und den Kreissektor einzeichnen.

  Die Fläche eines Kreises berechnet sich mit der Formel $A = \pi \cdot r^2$

  Die Fläche eines Kreissektors berechnet man mit der Formel $A = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot r^2$.

  Lösung

  Ein Kegel besteht aus einer Grundfläche, welche die Form eines Kreises hat und aus einer Mantelfläche, welche die Form eines Kreissektors hat.

  Die Fläche eines Kreises berechnet man durch die Formel $A = \pi \cdot r^2$. Die Fläche eines Kreissektors berechnet man durch die Formel $A = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot r^2$. Aus diesen beiden Formeln kann man erkennen, dass man den Radius $r$ und den Mittelpunktswinkel $\alpha$ braucht, um die beiden Flächen zu zeichnen. Da bei einem Kegelnetz die Mantelfläche direkt an der Grundfläche liegt, verbindet man Mantelfläche und Grundfläche mit der Mantellinie $s$.

  Um ein Kegelnetz zu zeichnen, braucht man also den Radius $r$, die Mantellinie $s$ und den Mittelpunktswinkel $\alpha$.

• Ermittle die Länge der Mantellinie $s$.

  Tipps

  Nutze die Formel zur Berechnung des Mittelpunktswinkels, um die Mantellinie auszurechnen. Diese lautet $\alpha = \frac{r}{s} \cdot 360^\circ$.

  Stelle diese Formel deinen Bedürfnissen entsprechend um.

  Lösung

  Mit der Formel $\alpha = \frac{r}{s} \cdot 360^\circ$ kann man den Mittelpunktswinkel $\alpha$ berechnen. In dieser Formel taucht auch die Variable der Mantellinie $s$ auf. Demnach können wir die Formel nach $s$ umstellen, um eine Formel zu erlangen, mit der wir $s$ berechnen können. Es folgt:

  $ \begin{align} & ~ & \alpha & = \frac{r}{s} \cdot 360^\circ &|& \cdot s\\ & \Leftrightarrow & \alpha \cdot s & = r \cdot 360^\circ &|& : \alpha\\ & \Leftrightarrow & s & = \frac{r \cdot 360^\circ}{\alpha} \end{align}$

  In diese Formel können wir nun unsere bekannten Werte einsetzen. Es folgt:

  $ s = \Large{\frac{10~cm \cdot 360^\circ}{160^\circ}} \small{= 22,5~cm}$

  Die Mantellinie $s$ ist $22,5~cm$ lang.