Was ist eine Äquivalenzumformung?
Äquivalenzumformung hilft dir, Gleichungen zu lösen, ohne die Lösungen zu verändern. Entdecke die verschiedenen Techniken und wichtige Ausnahmen. Neugierig? Erfahre mehr im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Was ist eine Äquivalenzumformung?
Was ist eine Äquivalenzumformung?
Als Äquivalenzumformungen werden Umformungen von Gleichungen bezeichnet, die die Lösungsmenge der Gleichung nicht verändern. Daher kannst du Gleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen.
Im Folgenden schauen wir uns an, welche Äquivalenzumformungen es gibt und was du dabei beachten musst.
Äquivalenzumformungen einfach erklärt
Die Definition von Äquivalenzumformungen besagt, dass sie die Lösungsmenge einer Gleichung nicht verändern dürfen. Die Gleichung kannst du dir wie zwei Waagschalen vorstellen, die im Gleichgewicht bleiben müssen.
Dabei entspricht jede Waagschale einer Seite der Gleichung. In dem Beispiel aus der Abbildung wäre die Gleichung demnach:
Entfernen wir aus beiden Waagschalen jeweils zwei Gewichte, dann bleibt das Gleichgewicht erhalten. In der Gleichung müssen wir dazu auf beiden Seiten subtrahieren:
Wir rechnen beide Seiten dieser neuen Gleichung aus und erhalten als Lösung.
Äquivalenzumformungen sind also solche Umformungen, die das Gleichgewicht der Waage erhalten. Wir können auf beiden Seiten dieselbe Zahl:
- addieren,
- subtrahieren,
- mit ihr multiplizieren, wenn die Zahl nicht ist und
- durch sie dividieren, wenn die Zahl nicht ist.
Dabei ist entscheidend, dass auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Umformung stattfindet.
Es gibt außerdem zwei Ausnahmen, die du beachten musst:
- Wir dürfen nicht mit multiplizieren oder durch dividieren.
- Wir dürfen nicht mit der Unbekannten multiplizieren oder durch die Unbekannte dividieren.
Würden wir zum Beispiel unsere Gleichung von oben auf beiden Seiten mit multiplizieren, dann erhielten wir . Zusammengefasst ergibt
Äquivalenzumformungen – Beispiel
Betrachten wir nun ein Beispiel für die Berechnung mit Äquivalenzumformungen:
Hier kannst du sehen, wie die Unbekannte nach und nach auf der linken Seite der Gleichung isoliert wird. Dazu verwenden wir nacheinander die Äquivalenzumformungen , dann und schließlich jeweils auf beiden Seiten der Gleichung.
Dieses Video
In diesem Video lernst du, welche Äquivalenzumformungen es gibt und wie wir sie anwenden können, um eine Gleichung zu lösen. Im Anschluss gibt es eine Übung mit Aufgaben zu Äquivalenzumformungen.
Transkript Was ist eine Äquivalenzumformung?
Tims Lehrer hat angekündigt seinem Vater eine Email zu schicken. Was da wohl drin steht? Tim kann auf keinen Fall riskieren, dass sein Vater sie zuerst liest. Aber um das zu verhindern, muss er irgendwie in das Postfach seines Vaters. Typisch! Tims Vater hat seine Mailadresse mit einer mathematischen Gleichung abgesichert. Um da reinzukommen, muss Tim wissen, was Äquivalenzumformungen sind und wie man mit ihnen Gleichungen löst. Aber zunächst einmal: Was war überhaupt nochmal eine Gleichung? Eine Gleichung kann zum Beispiel so aussehen: "x plus zwei gleich fünf". Sie verbindet zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen. Außerdem enthält eine Gleichung meist eine oder mehrere Variablen beziehungsweise UNBEKANNTE. In unserem Fall ein x. Um herauszufinden, wann unsere Gleichung erfüllt ist, müssen wir ihre LÖSUNG bestimmen. Also den x-Wert, für den beide Terme GLEICHWERTIG sind. Dabei helfen uns ÄQUIVALENZUMFORMUNGEN. Die Bedeutung von Äquivalenzumformungen können wir gut an einer Waage veranschaulichen. Auf der linken Seite liegen das x und zwei Gewichte und auf der rechten liegen fünf Gewichte. Wie schwer muss unser x sein, damit die Waage ausgeglichen ist? Du erkennst wahrscheinlich schon, dass die Lösung in unserem Fall drei ist. Aber wie kommst du darauf? Eine Möglichkeit besteht darin, auf beiden Seiten zwei Gewichte herunterzunehmen. So sehen wir, dass unser x genau so schwer sein muss wie drei Gewichte, damit die Waage im Gleichgewicht ist. Bei unserer Gleichung sieht das so aus: Da wir auf beiden Seiten zwei Gewichte wegnehmen, ziehen wir auch auf beiden Seiten der Gleichung zwei ab. Auf der linken Seite heben sich zwei und minus zwei gegenseitig auf, es bleibt nur noch das x stehen. Auf der rechten Seite bleibt eine drei übrig, nachdem wir zwei abgezogen haben. Und das war schon eine Äquivalenzumformung. Wir verdeutlichen unser Vorgehen, indem wir unseren Rechenschritt rechts an unsere Gleichung hinter einen Strich schreiben. Jetzt können wir die Lösung einfach an der umgeformten Gleichung ablesen: x gleich drei Unser Ziel ist es also, dass das x alleine auf einer Seite steht. Das können wir mit Äquivalenzumformungen erreichen, da durch diese die Lösungsmenge von Gleichungen nicht geändert wird. Wir müssen aber darauf achten, sie immer auf beiden Seiten durchzuführen! Folgende Äquivalenzumformungen sind grundsätzlich möglich: Wir können auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren, die gleiche Zahl subtrahieren, mit der gleichen Zahl multiplizieren, oder durch die gleiche Zahl dividieren. Zwei Ausnahmen müssen wir uns allerdings merken: Wir dürfen dabei nicht mit null multiplizieren oder durch null dividieren und auch mit unserer Unbekannten, beziehungsweise mit Termen, die unsere Unbekannte enthalten, dürfen wir diese beiden Rechenoperationen nicht ausführen. Denn das würde unsere Lösungsmenge ändern. Alles klar, dann jetzt mal ein Beispiel für Fortgeschrittene: "fünf x minus neun gleich drei x plus drei" Hier müssen wir erstmal ein bisschen Ordnung reinbringen. Wir wollen erreichen, dass unsere Unbekannte x nur noch auf EINER Seite steht. Um den Term "drei x" auf der rechten Gleichungsseite zu "eleminieren", nutzen wir die UMKEHROPERATION, also MINUS drei x. So fallen die drei x auf der rechten Gleichungsseite weg. Natürlich müssen wir die gleiche Rechenoperation auch auf der linken Seite durchführen: fünf x minus drei x können wir zu zwei x zusammenfassen. Als nächstes bietet es sich an, die minus neun los zu werden, damit wir nur noch unsere zwei x auf der linken Gleichungsseite haben. Wir wenden erneut die UMKEHROPERATION als Äquivalenzumformung an: Wir rechnen auf beiden Seiten PLUS neun. So - die Gleichung die wir jetzt haben, sieht doch schon viel schöner aus. Damit wir unsere Lösung einfach ablesen können, fehlt nur noch ein Schritt: Wir müssen durch die Zahl vor dem x teilen, also durch zwei. Und das wieder auf BEIDEN Seiten. So erhalten wir unsere Lösung: x gleich sechs. Perfekt, Tim hat das Prinzip verstanden und ist drauf und dran die Gleichung seines Vaters zu knacken. Wir fassen derweil nochmal alles Wichtige zusammen: Äquivalenzumformungen helfen uns dabei Gleichungen zu lösen. Wir können dabei alle Grundrechenarten mit der gleichen Zahl anwenden, also Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Dabei müssen wir immer darauf achten, die Umformungen auf beiden Seiten durchzuführen. Außerdem dürfen wir weder mit Null oder unseren Unbekannten multiplizieren noch durch diese dividieren. Denn nur wenn wir diese Hinweise beachten, können wir sicherstellen, dass sich die Lösungsmenge unserer Gleichung nicht ändert. Im Endeffekt wollen wir durch die Umformungen erreichen, dass wir unsere Unbekannte alleine auf einer Seite der Gleichung stehen haben. Wir nennen das auch: Die Unbekannte ISOLIEREN. Dann können wir die Lösung einfach ablesen. Endlich ist Tim im Postfach! Glauben die beiden wirklich sie könnten sich hinter seinem Rücken über ihn austauschen? Da haben sie die Rechnung aber ohne ihn gemacht! Was? Er soll DRINGEND Äquivalenzumformungen üben? Na klasse, da ist er den beiden ja schön auf den Leim gegangen, immerhin ist DAS jetzt kein Thema mehr.
Was ist eine Äquivalenzumformung? Übung
-
Beschreibe, was eine Äquivalenzumformung ist.
-
Gib die Rechenschritte zur Lösung der Gleichung mit Äquivalenzumformungen an.
-
Vergleiche die Gleichungen vor und nach Durchführung der Äquivalenzumformungen.
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Entscheide, ob es sich bei den folgenden Umformungen um Äquivalenzumformungen handelt.
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Vervollständige die Rechnung zum Lösen der Gleichung mittels Äquivalenzumformungen.
-
Berechne die Lösung der Gleichung durch Verwendung von Äquivalenzumformungen.
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tbh emily ich fühl dich
das Video hat mir sehr geholfen danke
war gut check es trotzdem nicht liegt nicht am Video:)
DANKE WAR SUPER ERKLÄRT!!!!!!!!!
Danke, Hat mir sehr geholfen.
Vor allem die schriftliche Erklärung unter dem Video.