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Gleichungen mit Brüchen vereinfachen

Terme bestehen aus Zahlen, Variablen, Klammern und Rechenzeichen. Bei Termumformungen ist es wichtig, gleichartige Terme zu identifizieren und mit dem Kommutativgesetz umzusortieren. Besonders herausfordernd wird es, wenn Brüche auftauchen. Das Vereinfachen von Termen mit Brüchen erfordert das Beachten der Bruchrechenregeln. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

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Wie vereinfacht man Terme mit Brüchen?

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Gleichungen mit Brüchen vereinfachen
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Grundlagen zum Thema Gleichungen mit Brüchen vereinfachen

Wie vereinfacht man Terme mit Brüchen?

Terme sind mathematische Ausdrücke, die aus Zahlen, Variablen, Klammern und Rechenzeichen bestehen. Häufig geht es in der Mathematik darum, Terme umzuformen und zu vereinfachen. In den Videos Termumformungen ohne Variablen und Termumformungen mit Variablen wurden dir die Grundregeln bei Termumformungen vorgestellt. Zur Wiederholung schauen wir uns einmal folgenden Term an:

2x7y+13x+9y2x-7y+13x+9y

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, suchen wir erst gleichartige Terme. Das sind Terme, in denen die gleichen Variablen auftauchen. Danach können wir mit dem Kommutativgesetz die einzelnen Terme umsortieren und zusammenfassen:

2x7y+13x+9y=2x+13x7y+9y=15x+2y2x-7y+13x+9y = 2x+13x-7y+9y= 15x+2y

Ein bisschen schwieriger wird das Umformen, wenn Brüche in den Termen auftauchen, weil wir dann zusätzlich die Regeln der Bruchrechnung beachten müssen. Die Grundregeln der Termumformungen gelten dabei weiterhin.

Terme mit Brüchen vereinfachen – einfach erklärt

Für die Erklärung, wie man Terme mit Brüchen vereinfacht, schauen wir uns nun ein Beispiel an, in dem Brüche vorkommen:

23h+1419h+14\dfrac{2}{3}h+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}h+\dfrac{1}{4}

Das grundsätzliche Vorgehen bei der Vereinfachung dieses Terms ist das gleiche wie bei dem Beispiel oben. Wir identifizieren zunächst gleichartige Terme und sortieren mit dem Kommutativgesetz um:

23h+1419h+14=23h19h+14+14\dfrac{2}{3}h+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}h+\dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{3}h-\dfrac{1}{9}h +\dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{4}

Beim Zusammenfassen der Terme müssen wir nun beachten, dass Brüche in den Termen enthalten sind. Um die Koeffizienten von hh zusammenzufassen, müssen wir 2319\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{9} rechnen. Wir erinnern uns daran, wie man Brüche subtrahiert und suchen als Erstes den Hauptnenner dieser beiden Brüche – das ist hier 99. Wir müssen also den ersten Koeffizienten von hh erweitern und können dann die Brüche zusammenfassen. Die beiden hinteren Terme ohne Variable können wir ebenfalls zusammenfassen. Da diese schon den gleichen Nenner haben, müssen wir hierbei nicht erst den Hauptnenner suchen:

23h19h+14+14\dfrac{2}{3}h-\dfrac{1}{9}h +\dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{4}

=2333h19h+14+14= \dfrac{2\cdot 3}{3\cdot 3}h-\dfrac{1}{9}h +\dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{4}

=619h+1+14 = \dfrac{6-1}{9}h+\dfrac{1+1}{4}

=59h+24= \dfrac{5}{9}h+\dfrac{2}{4}

=59h+12=\dfrac{5}{9}h+\dfrac{1}{2}

Im letzten Schritt haben wir noch gekürzt. Übrigens nennt man einen Term ohne Variable Konstante.

Wir merken uns:
Beim Vereinfachen von Termen mit Brüchen beachten wir die Grundregeln zur Termumformung und nutzen unser Wissen, wie man mit Brüchen rechnet.

Terme mit Brüchen vereinfachen – Übungen

Um das Gelernte zu festigen, bearbeiten wir noch eine weitere Aufgabe, in der wir Terme mit Brüchen vereinfachen müssen.

Nächste Umformung
12+13(14x113)\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{1}{4}x-1\dfrac{1}{3}\right) Umformen des gemischten Bruchs in einen unechten Bruch
=12+13(14x43)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{1}{4}x-\dfrac{4}{3}\right) Auflösen der Klammern mit dem Distributivgesetz
=12+1314x1343=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{4}x-\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{4}{3} Zusammenfassen
=12+112x49=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{12}x- \dfrac{4}{9} Umsortieren mit dem Kommutativgesetz, sodass gleichartige Terme zusammenstehen
=112x+1249=\dfrac{1}{12}x + \dfrac{1}{2} - \dfrac{4}{9} Bilden des Hauptnenners bei gleichartigen Termen und Erweitern der Brüche
=112x+19294292=\dfrac{1}{12}x + \dfrac{1\cdot9}{2\cdot9} - \dfrac{4\cdot2}{9\cdot2} Zusammenfassen und ggf. kürzen
=112x+9818=112x+118=\dfrac{1}{12}x +\dfrac{9-8}{18}=\dfrac{1}{12}x +\dfrac{1}{18}

Zusammenfassung – Terme mit Brüchen vereinfachen, wie geht das?

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Beim Vereinfachen von Termen mit Brüchen gehen wir wie folgt vor:

  • Zuerst werden Klammern ausgerechnet – bei verschachtelten Klammern muss man von innen nach außen vorgehen.
  • Die Regel Punkt- vor Strichrechnung muss beachtet werden.
  • Anschließend werden gleichartige Terme zusammengefasst, dabei werden Brüche entsprechend der Regeln der Bruchrechnung zusammengerechnet.

Auf dieser Seite findest du auch interaktive Übungen zum Thema Vereinfachen von Termen und Gleichungen mit Brüchen. Du kannst dein neu gewonnenes Wissen also direkt anwenden!

Transkript Gleichungen mit Brüchen vereinfachen

Im südostasiatischen Land Kambodscha besuchen wir unsere Freundin Laura. Laura arbeitet als Archäologin und sie gräbt gerade an einem Ort, der seit Jahrhunderten von Menschen unberührt geblieben war. Bei ihrer Ausgrabung hat Laura schon viele interessante Artefakte entdeckt. Die sind aber leider alle zerbrochen. Sie muss die Teile also wieder zusammensetzen. So wie man die Teile zerbrochener Artefakte zusammensetzt, kann man in einem Ausdruck auch gleichartige Terme zusammensetzen, oder besser gesagt zusammenfassen, und sie so vereinfachen. Hier ist der erste Ausdruck, den wir vereinfachen wollen. Zuerst suchen wir gleichartige Terme. Dann nutzen wir das Kommutativgesetz, um den Ausdruck neu zu ordnen. Wir schreiben die x-Variablen nebeneinander; und die y-Variablen auch. Dann fassen wir gleichartige Terme zusammen. So erhalten wir 15x + 2y. Probieren wir noch eine Aufgabe mit rationalen Zahlen. Weil es sich bei den Koeffizienten in dieser Aufgabe um Brüche handelt, müssen wir ein paar zusätzliche Schritte durchführen. Das grundsätzliche Vorgehen bei der Vereinfachung bleibt aber gleich. Mit dem Kommutativgesetz ordnest du die Terme neu an. Und jetzt wollen wir die gleichartigen Terme zusammenfassen. Wir können die Koeffizienten von h aber nicht so einfach addieren. Vorher müssen wir den gemeinsamen Nenner finden und den Ausdruck anpassen. Die 9 würde passen. Um auch im ersten Term 9 als Nenner zu bekommen, erweitern wir den Bruch mit 3. Also rechnen wir im Zähler '2 mal 3' und im Nenner '3 mal 3' und wir erhalten 6/9. Jetzt haben die beiden Koeffizienten von h den gleichen Nenner also können wir die gleichartigen Terme zusammenfassen und die Brüche vereinfachen. Schau, der Ausdruck enthält Terme ohne Variable. Diese Terme nennt man Konstanten. Konstanten sind Zahlen, die mit einer Variablen multipliziert werden, deren Exponent 0 ist. Eine Potenz mit dem Exponenten 0 ergibt stets 1. Darum schreibt man eine Variable mit dem Exponenten 0 zwar nicht auf, sie ist aber immer da. Anders gesagt: Eine Konstante ist einfach eine Zahl ohne Variable. Wir haben noch genug Zeit, um eine weitere Aufgabe anzugehen. Um diese Aufgabe leichter lösen zu können, formst du zuerst den gemischten Bruch in einen unechten Bruch um. Mit dem Distributivgesetz entfernst du die Klammern. Nun können wir zusammenfassen. Und mit dem Kommutativgesetz bringst du den Ausdruck in die Standardform. Wenn wir gleichartige Terme zusammenfassen wollen, müssen wir zuerst einen gemeinsamen Nenner für die Konstanten finden. Der Hauptnenner ist in diesem Fall das Produkt der beiden Nenner, also 18. Das heißt, wir müssen diesen Bruch mit 9 erweitern und diesen mit 2. Also bleibt 9/18 minus 8/18 stehen, und das ist 1/18. Nun können wir die gleichartigen Terme zusammenfassen. Zuletzt gehst du wie immer sicher, dass alle Brüche so weit wie möglich gekürzt sind, und dass der Ausdruck in der Standardform steht. Wie's aussieht, sind wir fertig! Und wie weit ist Laura mit ihrer Puzzlearbeit? Ach wie schön! Sie hat genug Teile zusammengesetzt, um mit ihrem neuen Freund ein Kaffeekränzchen veranstalten zu können.

14 Kommentare
  1. Ich heiße auch Laura .😘😗🥰🤩👍🏟🏟🏟🏟🏟🏟🏟🏟🏟🇩🇪🇩🇪🇩🇪🇩🇪🇩🇪🇩🇪🎤🇩🇪🥉🥉🥑🏛🎤❤🐒🍓

    Von Laura, vor 9 Monaten
  2. gutes video
    der Affe war so lustig am Ende...

    Von Dominik, vor etwa einem Jahr
  3. war sehr hilfreich, danke :)

    Von Zeynep Nida, vor etwa 2 Jahren
  4. War super, vielen dank :)

    Von Bella Swan, vor etwa 2 Jahren
  5. Meinst du mit kaput die archäologen?

    Von Julian, vor mehr als 3 Jahren
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