Gleichungen mit Brüchen vereinfachen

Gleichungen mit Brüchen vereinfachen Übung

• Vereinfache den Term durch die Anwendung des Kommutativgesetzes.

  Tipps

  Gleichartige Terme sind Terme, die die gleiche Variable in derselben Potenz enthalten. Beispielsweise sind die Terme $2x$ und $-8x$ gleichartig.

  Das Kommutativgesetz der Addition erlaubt das beliebige Umordnen von Summanden in einer Summe.

  Lösung

  Wir wollen den Term

  $2x-7y+13x+9y$

  vereinfachen.
  Der gleichartige Term zu $2x$ ist $13x$, da beide Terme ein $x$ enthalten. Der gleichartige Term zu $-7y$ ist $9y$, da beide Terme ein $y$ enthalten.
  Als Nächstes können wir das Kommutativgesetz der Addition anwenden, um die Terme neu zu ordnen. Dieses Gesetz sagt aus, dass wir die Terme bzw. Summanden in einer Summe beliebig vertauschen können, ohne dass sich der Wert der Summe ändert (also zum Beispiel: $5+3$ ist das Gleiche wie $3+5$). Daher vertauschen wir die Terme so, dass gleichartige Terme nebeneinander stehen. Es ergibt sich:
  $2x+13x-7y+9y$.
  Nun fassen wir die gleichartigen Terme zusammen. Wir finden:

  $2x+13x=15x$,
  $-7y+9y=9y-7y=2y$.

  Also lautet unser fertig vereinfachter Term:
  $15x+2y$.

• Vereinfache einen Term, in dem Brüche enthalten sind.

  Tipps

  Gleichartige Terme sind Terme, die die gleiche Variable in derselben Potenz enthalten. Beispielsweise sind die Terme $2x$ und $-8x$ gleichartig.

  Um zwei Brüche gleichnamig zu machen, bestimmst du das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.

  Lösung

  Diesmal ist der Term $\frac{2}{3}h+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}h+\frac{1}{4}$ gegeben.
  Hier empfiehlt es sich ebenfalls, zunächst gleichartige Terme zu suchen. In diesem Fall sind $\frac{2}{3}h$ und $-\frac{1}{9}h$ sowie $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{4}$ gleichartig.
  Mithilfe des Kommutativgesetzes können wir die Terme so umsortieren, dass die gleichartigen Terme nebeneinander stehen. Es ergibt sich:

  $\frac{2}{3}h-\frac{1}{9}h+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$.

  Bevor wir die ersten beiden Terme addieren können, müssen wir die Brüche gleichnamig machen. Dafür müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner $9$ und $3$ bestimmen. Das ist in diesem Fall $9$; also bringen wir den ersten Bruch auf den Nenner $9$, indem wir mit $3$ erweitern. Dann folgt:

  $\frac{6}{9}h-\frac{1}{9}h+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$.

  Nun können wir gleichnamige Terme zusammenfassen. Es gilt

  $\frac{6}{9}h-\frac{1}{9}h=\frac{5}{9}h$ und
  $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}= \frac{2}{4}$, sodass insgesamt folgt:
  $\frac{5}{9}h+\frac{2}{4}$.

  Im Anschluss können wir den zweiten Term noch vereinfachen, indem wir mit $2$ kürzen:
  $\frac{5}{9}h+\frac{1}{2}$.

• Zeige, wie man verschiedene Terme vereinfacht.

  Tipps

  Du musst den gemischten Bruch $1\frac{1}{3}$ zunächst in einen unechten Bruch umwandeln, bevor du die Klammer auflöst.

  Gleichartige Terme sind Terme, die die gleiche Variable in derselben Potenz enthalten. Zum Beispiel sind die Terme $2x$ und $-8x$ gleichartig.

  Versuche zunächst die einzelnen Terme zu finden, die zusammen gehören. Anschließend kannst du diese in die richtige Reihenfolge bringen und zuordnen.

  Lösung

  • 1. Term: $2x-7y+14x+10y$

  Der gleichartige Term zu $2x$ ist $14x$, da beide Terme ein $x$ enthalten. Der gleichartige Term zu $-7y$ ist $10y$, da beide Terme ein $y$ enthalten.
  Als Nächstes wenden wir das Kommutativgesetz der Addition an, um die Terme neu zu ordnen. Das Gesetz sagt aus, dass wir die Terme bzw. Summanden einer Summe beliebig vertauschen können, ohne dass sich der Wert der Summe ändert. Daher vertauschen wir die Terme so, dass gleichartige Terme nebeneinander stehen. Es ergibt sich:

  $2x+14x-7y+10y$.

  Nun fassen wir die gleichartigen Terme zusammen und erhalten:

  $\begin{array}{lll} 2x+14x&=&16x\\ -7y+10y&=&3y\\ \end{array}$

  Der fertig vereinfachte Term lautet also:

  $16x+3y$.

  • 2. Term: $\frac{2}{3}h+\frac{1}{4}-\frac{1}{18}h+\frac{1}{2}$

  Hier empfiehlt es sich ebenfalls, zunächst gleichartige Terme zu suchen. In diesem Fall sind $\frac{2}{3}h$ und $-\frac{1}{18}h$ bzw. $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{2}$ gleichartig. Mithilfe des Kommutativgesetzes können wir die Terme so umsortieren, dass die gleichartigen Terme nebeneinander stehen. Es ergibt sich:

  $\frac{2}{3}h-\frac{1}{18}h+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$.

  Die ersten beiden Terme müssen wir erst gleichnamig machen, um sie zu addieren. Dafür bestimmen wir das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner $18$ und $3$, in diesem Fall also $18$. Somit bringen wir den ersten Bruch auf einen Nenner von $18$, indem wir mit $6$ erweitern. Dann folgt:

  $\frac{6}{9}h-\frac{1}{9}h+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$.

  Ebenso gehen wir mit den beiden Brüchen $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{2}$ vor und erweitern den Bruch $\frac{1}{2}$ mit $2$ zu dem Bruch $\frac{3}{4}$.

  Nun können wir gleichnamige Terme zusammenfassen. Wir erhalten:

  $\begin{array}{lll} \frac{12}{18}h-\frac{1}{18}h&=&\frac{11}{18}h\\ \frac{1}{4}+\frac{2}{4}&=&\frac{3}{4}\\ \end{array}$

  Also folgt:

  $\frac{11}{18}h+\frac{3}{4}$.

  • 3. Term: $\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \cdot \left( \frac{1}{4}x-1\frac{1}{3} \right)$

  Hier wandeln wir zunächst den gemischten Bruch $1\frac{1}{3}$ in den unechten Bruch $\frac{4}{3}$ um und wenden das Distributivgesetz auf die Klammer an. Wir erhalten:

  $\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}x- \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3}$.

  Dies können wir zusammenfassen zu:

  $\frac{1}{2}+\frac{1}{16} x- \frac{4}{12}$.

  Hier sind der erste und letzte Term gleichartig, da in beiden keine Variable (bzw. die Variable in nullter Potenz, also $x^0=1$) steht. Nach Anwendung des Kommutativgesetzes erhalten wir:

  $\frac{1}{16} x +\frac{1}{2}- \frac{4}{12}$.

  Um die beiden letzten Terme zusammenzufassen, kürzen wir den letzten Term zunächst vollständig auf $\frac{1}{3}$. Nun müssen $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{3}$ auf den Hauptnenner gebracht werden. Dieser ist gegeben durch das kleinste gemeinsame Vielfache von $2$ und $3$, also $6$. Es folgt:

  $\begin{array}{l} \frac{1}{12} x +\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}&\\ =\frac{1}{12} x +\frac{3}{6}- \frac{2}{6}\\ =\frac{1}{12} x +\frac{1}{6}\\ \end{array}$

• Erläutere das Umformen eines Terms mit Klammern und einem gemischten Bruch.

  Tipps

  Ein gemischter Bruch ist ein Ausdruck, der aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht. Ein unechter Bruch ist ein Bruch, der größer als $1$ ist und daher auch eine Darstellung als gemischter Bruch besitzt.

  Um Klammern aufzulösen, die einen Faktor eines Produktes bilden und in denen Summen oder Differenzen stehen, wird das Distributivgesetz genutzt.
  Ein Beispiel für dessen Anwendung ist das folgende:
  $2 \cdot (3x+4)= 2 \cdot 3x + 2 \cdot 4$.

  Lösung

  Ausgehend von dem Term

  $\frac{1}{2}+\frac{1}{5} \cdot \left( \frac{1}{4}x-3\frac{2}{3} \right)$

  können wir zunächst den gemischten Bruch $3\frac{2}{3}$ in einen unechten Bruch umwandeln. Hier gilt $3\frac{2}{3}=\frac{9}{3}+\frac{2}{3}=\frac{11}{3}$.
  Im Anschluss können wir das Distributivgesetz auf die Klammer anwenden. Es folgt:

  $\frac{1}{2}+\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4}x- \frac{1}{5} \cdot \frac{11}{3}$.

  Dies lässt sich zusammenfassen zu:

  $\frac{1}{2}+\frac{1}{20} x- \frac{11}{15}$.

  Hier ist der erste und letzte Term gleichnamig, da es beides Konstanten sind. Nach Anwendung des Kommutativgesetzes und Umsortierung erhalten wir:

  $\frac{1}{20} x +\frac{1}{2}- \frac{11}{15}$.

  Um die beiden letzten Terme zusammenzufassen, müssen diese auf den Hauptnenner gebracht werden. Dieser ist gegeben durch das kleinste gemeinsame Vielfache von $2$ und $15$, nämlich $30$. Es folgt:

  $\frac{1}{20} x +\frac{1 \cdot 15}{2 \cdot 15}- \frac{11 \cdot 2}{15 \cdot 2}=\frac{1}{20} x +\frac{15}{30}- \frac{22}{30}=\frac{1}{20} x -\frac{7}{30}$.

• Gib die richtige Reihenfolge für das Vereinfachen von Termen mit Brüchen wieder.

  Tipps

  Gleichartige Terme sind Terme, die die gleiche Variable in derselben Potenz enthalten. Zum Beispiel sind die Terme $2x$ und $-8x$ gleichartig.

  Bevor Terme, in denen Brüche enthalten sind, zusammengefasst werden können, müssen die jeweiligen Brüche den gleichen Nenner haben.

  Lösung

  Wir verdeutlichen die richtige Reihenfolge der Vorgehensweise am Term $\frac{2}{3}h+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}h+\frac{1}{4}$.

  • Schritt 1: Suche gleichartige Terme.

  In diesem Fall sind $\frac{2}{3}h$ und $-\frac{1}{9}h$ sowie $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{4}$ gleichartig.

  • Schritt 2: Wende das Kommutativgesetz an, um gleichartige Terme umzusortieren.

  Mithilfe des Kommutativgesetzes können wir die Terme so umsortieren, dass gleichartige Terme nebeneinander stehen. Es ergibt sich:

  $\frac{2}{3}h-\frac{1}{9}h+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$.

  • Schritt 3: Bringe die gleichartigen Brüche auf den jeweiligen Hauptnenner.

  Die ersten beiden Terme lassen sich nicht addieren, ohne dass die jeweiligen Brüche gleichnamig gemacht werden. Dafür müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner $9$ und $3$ bestimmen. Das ist hier $9$; also bringen wir den ersten Bruch auf einen Nenner von $9$, indem wir ihn mit $3$ erweitern. Es folgt:

  $\frac{6}{9}h-\frac{1}{9}h+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$.

  • Schritt 4: Fasse gleichartige Terme nun zusammen.

  Es gilt $\frac{6}{9}h-\frac{1}{9}h=\frac{5}{9}h$ und $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}= \frac{2}{4}$, sodass insgesamt folgt :

  $\frac{5}{9}h+\frac{2}{4}$.

  • Schritt 5: Vereinfache die jeweiligen Terme, falls möglich.

  Du kannst den zweiten Term noch einmal mit $2$ kürzen und erhältst:

  $\frac{5}{9}h+\frac{1}{2}$.

• Ermittle die Darstellung des Terms in Standardform.

  Tipps

  Ein gemischter Bruch ist ein Ausdruck, der aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht.

  Ein unechter Bruch ist ein Bruch, der größer als $1$ ist und daher auch eine Darstellung als gemischter Bruch besitzt.

  Um Klammern aufzulösen, die einen Faktor eines Produktes bilden und in denen Summen oder Differenzen stehen, wird das Distributivgesetz genutzt.

  Lösung

  1.) Du hast den Term $x^2+\frac{1}{5}y-\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}x^2-2\frac{1}{2}y+5z^3 \right)$ gegeben.
  2.) Du wandelst den gemischten Bruch $2\frac{1}{2}y$ in den unechten Bruch $\frac{5}{2}$ um.
  Dies gilt, da $2\frac{1}{2}y=\frac{4}{2}y+\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}y$ ist.
  3.) Du wendest das Distributivgesetz an: $x^2+\frac{1}{5}y-\frac{2}{6}x^2+\frac{5}{4}y-\frac{5}{2}z^3$.
  Es gilt:
  $x^2+\frac{1}{5}y-\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}x^2-\frac{5}{2}y+5z^3 \right)$
  $= x^2+\frac{1}{5}y-\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2}y - \frac{1}{2} \cdot 5z^3$
  $= x^2+\frac{1}{5}y-\frac{2}{6}x^2+\frac{5}{4}y-\frac{5}{2}z^3$
  4.) Du kürzt den Bruch $\frac{2}{6}$ mit $2$.
  Es gilt $\frac{2}{6}=\frac{2}{2 \cdot 3}=\frac{1}{3}$.
  5.) Du wendest das Kommutativgesetz an: $x^2-\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{5}y+\frac{5}{4}y-\frac{5}{2}z^3$.
  Mit dem Kommutativgesetz kannst du Terme vertauschen, um gleichartige Terme nebeneinander zu stellen. Die gleichartigen Terme hier sind gegeben durch $x^2$ und $-\frac{1}{3}x^2$ sowie $\frac{1}{5}y$ und $\frac{5}{4}y$.
  6.) Du machst gleichartige Terme gleichnamig: $\frac{3}{3}x^2-\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{20}y+\frac{25}{20}y-\frac{5}{2}z^3$.
  Die Terme, die ein $x^2$ enthalten, haben den Hauptnenner $3$ und es gilt $1=\frac{1}{1}=\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 3}=\frac{3}{3}$.
  Die Terme, die ein $y$ enthalten, haben den Hauptnenner $20$ und es gilt $\frac{1}{5}=\frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4}=\frac{4}{20}$ sowie $\frac{5}{4}=\frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 5}=\frac{25}{20}$.
  7.) Du fasst die gleichnamigen Terme zusammen: $\frac{2}{3}x^2+\frac{29}{20}y-\frac{5}{2}z^3$.
  Denn es gilt $\frac{3}{3}x^2-\frac{1}{3}x^2=\frac{2}{3}x^2$ und $\frac{4}{20}y+\frac{25}{20}y=\frac{29}{20}y$.