Gleichungen lösen – Anwendungsbeispiel

Gleichungen lösen – Anwendungsbeispiel Übung

• Vervollständige den Rechenweg der Gleichungen.

  Tipps

  So wird die erste Gleichung aufgestellt:

  Preis Inseln $\cdot$ Anzahl Inseln $+$ Preis RoboCrocs $\cdot$ Anzahl RoboCrocs $=$ Preis Diamanten $\cdot$ $x$

  So liest du Informationen aus der Textaufgabe heraus:

  „Dr. Evil verkauft $1$ Privatinsel für $50$ Goldbarren.“

  • Anzahl Inseln: $1$
  • Preis Inseln: $50$

  Die zweite Gleichung wird so aufgestellt:

  Preis Inseln $\cdot$ Anzahl Inseln $+$ Preis RoboCrocs $\cdot$ $x$ $=$ Preis Diamanten $\cdot$ Anzahl Diamanten

  Du musst Befehle, die hinter dem $\vert$ stehen, immer auf beiden Seiten der Gleichung durchführen.

  Im letzten Schritt wird mit dem Faktor vor $x$ dividiert.

  Lösung

  Dr. Evil verkauft $1$ Privatinsel für $50$ Goldbarren. Dazu bietet er $20$ RoboCrocs für je $5$ Goldbarren zum Verkauf an. Wie viele Diamanten glitzern dann auf dem Ring, wenn $1$ Diamant $10$ Goldbarren kostet?

  $x$ steht hier für die gesuchte Anzahl an Diamanten.

  Die Gleichung muss wie folgt aussehen:

  Preis Inseln $\cdot$ Anzahl Inseln $+$ Preis RoboCrocs $\cdot$ Anzahl RoboCrocs $=$ Preis Diamanten $\cdot$ $x$

  Jetzt setzt Dr. Evil ein:

  $\begin{array}{rcll} 50\cdot1+5\cdot20 &=& 10\cdot x & \\ 50+100 &=& 10x & \\ 150 &=& 10x &\vert :10 \\ 15 &=& x & \end{array}$

  Aber Mami Evil wird stolze $60$ und Dr. Evil entscheidet: Der Ring muss mit $60$ Diamanten besetzt sein! Wie viele schurkenhafte RoboCrocs muss er nun opfern? Er stellt eine Gleichung auf, bei der die Variable $x$ für die Anzahl der RoboCrocs steht:

  Preis Inseln $\cdot$ Anzahl Inseln $+$ Preis RoboCrocs $\cdot$ $x$ $=$ Preis Diamanten $\cdot$ Anzahl Diamanten

  Wieder setzt Dr. Evil ein:

  $\begin{array}{rcll} 50\cdot1+5\cdot x &=& 10\cdot60 & \\ 50+5x &=& 600 &\vert -50 \\ 5x &=& 550 &\vert :5 \\ x &=& 110 & \end{array}$

  Was? So viele RoboCrocs? Soll das ein Witz sein?! Er hat doch nur $55$ ...

• Schildere die richtige Reihenfolge der Rechenschritte.

  Tipps

  Sobald die linke Seite der Ausgangsgleichung zusammengefasst ist, wird die Gleichung mittels Äquivalenzumformungen nach der Variablen $x$ umgestellt.

  Schaue dir das Vorgehen beim Lösen einer linearen Gleichung an folgendem Beispiel an:

  $\begin{array}{rcll} 50\cdot1+5\cdot x &=& 10\cdot60 & \\ 50+5x &=& 600 &\vert-50 \\ 5x &=& 550 &\vert :5 \\ x &=& 110 & \end{array}$

  Lösung

  Es soll der Preis in Goldbarren für einen RoboCroc berechnet werden. Hierzu stellt man zunächst folgende Gleichung auf:

  Preis Inseln $\cdot$ Anzahl Inseln $+$ $x$ $\cdot$ Anzahl RoboCrocs $=$ Preis Diamanten $\cdot$ Anzahl Diamanten

  Die Variable $x$ steht dabei für den gesuchten Preis pro RoboCroc:

  $\begin{array}{rcll} 50\cdot1+x\cdot55 &=& 10\cdot60 & \\ 50+55x &=& 600 &\vert-50 \\ 55x &=& 550 &\vert :55 \\ x &=& 10 & \end{array}$

  Wenn Dr. Evil also $55$ RoboCrocs für je $10$ Goldbarren verkauft, kann er sich $60$ Diamanten für den Ring seiner Mutti leisten.

• Bestimme $x$ für diese lineare Gleichung.

  Tipps

  Du musst die Anzahl der Hunde pro Rasse mit der Anzahl der Leckerlis, die diese Rasse frisst, multiplizieren. Das sieht so aus:

  Anzahl Golden Retriever $\cdot$ Anzahl Leckerlis pro Golden Retriever $=4\cdot 5=20$.

  Hinter dem Gleichheitszeichen steht:

  Anzahl Kinder $\cdot$ $x$

  Lösung

  In der Gleichung wird die Anzahl jeder Hunderasse mit der Anzahl der Leckerlis, die diese Hunderasse frisst, multipliziert:

  Anzahl Golden Retriever $\cdot$ Anzahl Leckerlis pro Golden Retriever $=4\cdot 5$
  Anzahl Beagles $\cdot$ Anzahl Leckerlis pro Beagle $=3\cdot 9$
  Anzahl Dackel $\cdot$ Anzahl Leckerlis pro Dackel $=2\cdot 1$

  Die Addition dieser Werte wird gleichgesetzt mit:

  Anzahl Kinder $\cdot$ gesuchte Anzahl Leckerlis pro Kind

  Die gesuchte Anzahl Leckerlis pro Kind wird $x$ genannt.

  Alles zusammen sieht dann so aus:

  $\begin{array}{rcll} 4\cdot 5+3\cdot 9+2\cdot 1 &=& 7\cdot x & \\ 20+27+2 &=& 7x & \\ 49 &=& 7x &\vert :7 \\ 7 &=& x & \end{array}$

  Jedes Ahorn-Kind darf also $7$ Leckerlis verteilen. Da werden die Hunde sich freuen!

• Leite die gesuchten Gleichungen her.

  Tipps

  In der ersten Aufgabe rechnen wir zum Beispiel:

  Anzahl Cappuccinos $\cdot$ Preis Cappuccino

  In der zweiten Aufgabe rechnen wir:

  Anzahl der Personen einer Gruppe $\cdot$ Anzahl der Goldstücke pro Person dieser Gruppe

  Bei Aufgabe $3$ rechnen wir:

  Anzahl der Personen von Familie Müller $\cdot$ gesuchte Menge geernteter Kartoffeln pro Person

  Lösung

  Die Rechnung von Emma und Sophie setzt sich wie folgt zusammen:

  • Anzahl Cappuccinos $\cdot$ Preis pro Cappuccino $=3\cdot2$
  • Anzahl Gläser Wasser $\cdot$ Preis pro Glas Wasser $=1\cdot2$
  • Anzahl Stücke Erdbeertorte $\cdot$ Preis pro Stück Erdbeertorte $=1\cdot4$

  Diese werden addiert und gleichgesetzt mit:

  • Anzahl Personen $\cdot$ $x$

  $x$ ist hier der gesuchte Rechnungsbetrag pro Person.

  So wird die Gleichung wie folgt aufgestellt:

  $3\cdot2+1\cdot2+1\cdot4=2\cdot x$

  So errechnen wir, wie viele Goldstücke jeder auf Käpt’n Rotbarts Schiff bekommt:

  • Anzahl Personen Gruppe $1$ $\cdot$ Anzahl Goldstücke pro Person $=6\cdot100$
  • Anzahl Personen Gruppe $2$ $\cdot$ Anzahl Goldstücke pro Person $=8\cdot200$
  • Anzahl Personen Gruppe $3$ $\cdot$ Anzahl Goldstücke pro Person $=7\cdot0$

  Diese werden addiert und gleichgesetzt mit:

  • Gesamtzahl aller Personen $\cdot$ $x$

  $x$ ist hier die gesuchte Anzahl Goldstücke pro Person.

  So muss die Gleichung aussehen:

  $6\cdot100+8\cdot200+7\cdot0=22\cdot x$

  Die Gleichung für die Kartoffelernte der Familie Müller wird so aufgestellt:

  • Anzahl Personen Familie Strauß $\cdot\ \text{kg}$ Menge geernteter Kartoffeln pro Person $=4\cdot400$
  • Anzahl Personen Familie Hebel $\cdot\ \text{kg}$ Menge geernteter Kartoffeln pro Person $=12\cdot300$
  • Anzahl Personen Familie Müller $\cdot$ gesuchte Menge geernteter Kartoffeln pro Person $=8\cdot x$

  Diese werden addiert und gleichgesetzt mit:

  • Anzahl Personen im Dorf $\cdot\ \text{kg}$ Menge Kartoffeln pro Dorfbewohner*in

  $x$ ist hier die gesuchte Menge geernteter Kartoffeln pro Person bei Familie Müller.
  Im Dorf leben $200$ Personen und jeder von ihnen bekommt nach gerechter Aufteilung $50\ \text{kg}$ Kartoffeln.

  So muss die Gleichung aussehen:

  $4\cdot400+12\cdot300+8\cdot x=200\cdot50$

• Ergänze die Aufstellung der Gleichung.

  Tipps

  Letztes Jahr hat Tom $4$ Rucksäcke für je $10$ Euro verkauft. Sein Einkommen berechnet sich so:

  Preis pro Rucksack $\cdot$ Anzahl verkaufter Rucksäcke

  Damit folgt:

  $10\cdot 4=40$

  Auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens steht:

  Preis für $1$ Videospiel $\cdot$ gesuchte Anzahl der Videospiele

  Die gesuchte Größe bezeichnen wir mit $x$. Hier suchen wir die Anzahl der Videospiele, die sich Tom leisten kann, wenn er alle Gegenstände verkauft.

  Du musst beide Seiten der Gleichung durch $12$ teilen.

  Lösung

  Zuerst stellen wir die Gleichung auf, für die gesuchte Anzahl der Videospiele schreiben wir $x$:

  Preis Sneakers $\cdot$ Anzahl Sneakers $+$ Preis Romane $\cdot$ Anzahl Romane $=$ Preis Videospiele $\cdot$ $x$

  Jetzt setzen wir die Werte ein:

  $20\cdot1+4\cdot10=12\cdot x$

  Wir benutzen Vereinfachungen und Äquivalenzumformungen, um die Gleichung zu lösen. Das sieht so aus:

  $\begin{array}{rcll} 20+40 &=& 12x & \\ 60 &=& 12x &\vert :12 \\ 5 &=& x & \end{array}$

  Tom kann sich also $5$ Videospiele kaufen, wenn er alle Dinge vom Dachboden loswerden kann. Cool!

• Ermittle die Gleichung und das Ergebnis.

  Tipps

  Beim Aufstellen einer Gleichung drücken wir Fakten aus dem Text mathematisch aus. Wird im Text etwas doppelt gerechnet, so heißt das, wir multiplizieren mit $2$.

  Vergleiche mit folgendem Beispiel:

  Das Zehnfache einer Zahl vermindert um $10$ ist gleich das Sechsfache dieser Zahl vermehrt um $2$. Wie heißt die Zahl?:

  $\begin{array}{rcll} 10x-10 &=& 6x+2 &\vert-6x \\ 4x-10 &=& 2 &\vert+10 \\ 4x &=& 12 &\vert :4 \\ x &=& 3 & \end{array}$

  Lösung

  Berechnung der Länge der Brücke

  $x$ ist hier die gesuchte Länge der Brücke.

  Die Gleichung wird so aufgestellt:

  $\begin{array}{rcll} 28\cdot x+11\cdot x+x &=& 4 000 & \\ 40x &=& 4 000 &\vert :40 \\ x &=& 100 & \end{array}$

  Die Brücke ist demnach $100\ \text{m}$ lang.

  Berechnung des Alters

  $x$ ist hier die Anzahl der Jahre bis zur Verdopplung.

  So wird die Gleichung aufgestellt:

  $\begin{array}{rcll} 38+x &=& 2\cdot(11+x) & \\ 38+x &=& 22+2x &\vert-x \\ 38 &=& 22+x &\vert-22 \\ 16 &=& x & \end{array}$

  In $16$ Jahren wird der Vater doppelt so alt sein wie sein Sohn.