Terme und Gleichungen verstehen

Terme und Gleichungen verstehen Übung

• Bestimme die Anzahl der Tage, die Phineas Fogg mit dem Dampfschiff reisen kann.

  Tipps

  Du subtrahierst die Zahl der Tage, die Phineas mit dem Zug zurücklegt, von der Gesamtzahl der Tage für die Reise.

  Wenn du eine Summe subtrahierst, kannst du zunächst diese Summe berechnen:

  $23-(4+12)=23-16=7$

  Lösung

  Um zu berechnen, wie viele Tage Phineas Fogg neben den Zugfahrten noch übrig hat, um mit dem Dampfschiff zu reisen, musst du die Anzahl der Tage für Zugreisen von den $79$ Tagen für die gesamte Reisezeit subtrahieren.

  Das bedeutet, dass du als Erstes die Anzahl der Reisetage mit dem Zug berechnen musst. Dies kannst du tun, indem du die Dauer der einzelnen Etappen addierst:

  $2\cdot 13+2\cdot7+22=62$

  Nun kannst du diese Zahl von $79$ subtrahieren: $79-62=17$.

  Um in den geplanten $79$ Tagen um die Welt zu reisen, hat Phineas also $17$ Tage zur Verfügung, an denen er mit dem Dampfschiff reisen kann.

• Berechne die Gesamtkosten für die Reise, die Phineas Fogg plant.

  Tipps

  Du kannst das Doppelte, das Dreifache oder zwei Drittel von einer Zahl schreiben als

  • $2\cdot x$
  • $3\cdot x$
  • $\frac23\cdot x$

  Zu den Kosten für die Schiffstickets kommen die Kosten für die Zugtickets.

  Setze zuletzt den Preis für ein Schiffsticket in den Term ein.

  Beachte: Punktrechnung geht vor Strichrechnung.

  Lösung

  Die gesamten Kosten setzen sich zusammen aus den Fahrten mit dem Zug $Z$ und denen für die Schifffahrten $S$.

  $Gesamtkosten = 5~\cdot Z +~3~\cdot~S$

  Da ein Zugticket zwei Drittel eines Schifftickets kostet, gilt

  $Z=\frac23 S$.

  Du kannst in der Gleichung nun $Z$ durch $\frac23 S$ ersetzen:

  $K=3\cdot S+5\cdot \frac23 S$.

  Zuletzt setzen wir noch den Preis für ein Schiffsticket $S=45$ Pfund ein:

  $\begin{array}{rcl} Gesamtkosten &=&3\cdot 45+5\cdot \frac23 \cdot 45\\ &=&135+150\\ &=&285 \end{array}$

  Das bedeutet, dass Phineas insgesamt $285$ Pfund für diese Reise benötigt.

  Viel Erfolg Phineas. Wir drücken dir die Daumen, dass du die Wette gewinnst und in $79$ Tagen um die Welt reisen kannst!

• Gib an, wie viel die Verpflegung aus dem Zugrestaurant kostet.

  Tipps

  An dem „je“ oder „jeweils“ erkennst du, dass multipliziert werden muss.

  Betrachte dieses Beispiel:

  Wenn ein Wasser 1,20 € kostet, dann kosten 5 Wasser $5\cdot1,20=6$ €. Kaufst du noch zusätzlich 6 Brötchen zu je 0,50 €, sind das insgesamt:

  $5\cdot 1,20+6\cdot 0,50=6+3=9$ €

  Achte darauf, dass du Punktrechnung vor Strichrechnung rechnest.

  Lösung

  Bei jeder der Aufgaben geht es darum, einen Text in einen mathematischen Term umzuformen und den Wert dieses Terms zu bestimmen.

  Kaffee und Muffins

  • Ein Kaffee kostet 2,50 €, dann kosten 4 Kaffee $4\cdot 2,50$ €.
  • Ein Muffin kostet 2 €, dann kosten 3 Muffins $3\cdot2$ €.
  • Um den Gesamtpreis zu erhalten, addierst du die Kosten:

  $4\cdot 2,50+3\cdot2=10+6=16$.

  Zusammen kosten die Kaffees und Muffins 16 €.

  Tomatensuppe und Eis

  • Eine Tomatensuppe kostet 4 €, und 3 Suppen dann $3\cdot 4$ €.
  • Ein Eis kostet 1,50 €. Daher kosten 4 Eis $4\cdot1,50$ €.
  • Diese Terme addierst du, um zum Gesamtpreis zu gelangen:

  $3\cdot 4+4\cdot1,50=12+6=18$.

  Die Tomatensuppen und das Eis kosten 18 €.

  Sandwiches und Cola

  • Ein Sandwich kostet 4,50 €, also 2 Sandwiches $2\cdot 4,50$ €.
  • Wenn eine Cola 2,50 € kostet, dann kosten 4 Cola $4\cdot2,50$ €.
  • Nun müssen diese Terme noch addiert werden:

  $2\cdot 4,50+4\cdot2,50=9+10=19$.

  Sandwiches und Cola kosten zusammen 19 €.

  Schokoriegel und Tee

  • Ein Schokoriegel kostet 1,20 € und damit 5 Schokoriegel $5\cdot 1,20$ €.
  • Ein Tee kostet 3 €, dann kosten 4 Tee $4\cdot3$ €.
  • Jetzt kannst du diese Terme addieren:

  $5\cdot 1,20+4\cdot3=6+12=18$.

  Schokoriegel und Tee kosten zusammen 19 €.

• Berechne, wie viel Geld Phineas in seinem Urlaub für weiteres Essen ausgeben kann.

  Tipps

  Achte darauf, dass Phineas an jedem Tag zwei Eistee trinkt.

  Multipliziere jeweils die Anzahl der Tage mit dem Preis für Essen und Getränke.

  Phineas gibt etwas mehr als 50 Pfund aus. Das bedeutet, dass er etwas weniger als 50 Pfund übrig hat.

  Lösung

  Zunächst kannst du die Kosten für Reis mit Mango und Eistee einzeln berechnen. Hierfür multiplizierst du die Anzahl der Tage mit dem Preis für den Mangoreis und zweimal mit dem Preis für den Eistee:

  • Reis mit Mango: $30\cdot0,75=22,50$
  • Eistee: $30\cdot 2\cdot0,50=30$

  Durch Addition erhältst du:

  $22,50+30=52,50$

  Phineas gibt also in den 30 Tagen 52,50 Pfund für Reis mit Mango und Eistee aus.

  Nun möchte er allerdings wissen, wie viel Geld er am Ende für weiteres Essen übrig hat. Hierfür subtrahiert man diesen Betrag von 100 Pfund:

  $100-52,50=47,50$.

  Er stellt somit fest, dass er noch 47,50 Pfund für das übrige Essen zur Verfügung hat.

• Gib an, welche Aussagen zu Termen und Gleichungen korrekt sind.

  Tipps

  Ein Term ist eine sinnvolle Anordnung von Zahlen, Variablen und Operationszeichen. In einem Term können auch Klammern vorkommen.

  Jede Zahl ist ein Term: $3$, $24,5$, ...

  Wenn du Terme addierst oder subtrahierst oder multiplizierst oder dividierst, erhältst du wieder einen Term.

  In einer Gleichung stehen links und rechts von einem Gleichheitszeichen Terme. Hier siehst du ein Beispiel für eine Gleichung

  $7\cdot 3-4=2\cdot 9-1$.

  Überlege dir mal, ob diese Gleichung auch eine wahre Aussage ist.

  Lösung

  Ganz allgemein ist ein Term eine sinnvolle Anordnung von Zahlen, Variablen und Operationszeichen sowie Klammern.

  Eine Gleichung enthält ein Gleichheitszeichen. Links und rechts von dem Gleichheitszeichen stehen Terme.

  Jede einzelne Zahl ist ein Term. Hier sind einige Beispiele für Terme

  • $2\cdot 13+2\cdot 7+22$
  • $79-62$
  • $3 \cdot Z$

  Die Beispielterme sind keine Gleichung, denn es fehlt das Gleichheitszeichen.

  Eine Gleichung liegt zum Beispiel bei dem folgenden Beispiel vor:

  $3\cdot 45+5\cdot \frac23\cdot 45=285$

• Bestimme mithilfe einer Gleichung, wie viele Bälle der Elefant ins Publikum wirft.

  Tipps

  Du kannst so lange $5$ von $25$ subtrahieren, bis kein Ball mehr übrig ist.

  Wie oft kannst du die $5$ subtrahieren? Die Anzahl ist die gesuchte Antwort.

  Lösung

  Wie kann man sich überlegen, wie viele Bälle der Elefant ins Publikum wirft? Wir spielen das Jonglierspiel einmal durch:

  Der erste Affe wirft von den $25$ Bällen immer $5$ Bälle zum zweiten Affen. Dann kommt der Elefant und klaut einen Ball, den er ins Publikum wirft. Das passiert so lange, bis keine Bälle mehr da sind. Das heißt, bei jedem Durchgang wirft der erste Affe $5 $ Bälle, und einer davon landet am Ende im Publikum.

  Wie oft kann der erste Affe $5$ Bälle zu dem Affen $2$ werfen, wenn er $25$ Bälle hat?

  Richtig! Er kann $25 : 5 = 5$ Mal werfen. Das bedeutet, dass insgesamt $5$ Bälle vom Elefanten ins Publikum geworfen wurden.