Gleichungen lösen – Übung

Gleichungen lösen – Übung Übung

• Bestimme, durch welche Zahl die Gleichung 6 $\cdot$ x + 111 = 141 erfüllt wird.

  Tipps

  Finde die Lösung, indem du rückwärtsrechnest.

  Beginne beim Ergebnis der Gleichung und führe die Rechenschritte in umgekehrter Reihenfolge und mit umgekehrten Rechenzeichen aus.

  Lösung

  Wir kennen zwei Methoden zum Lösen von Gleichungen. Eine ist das „geschickte Probieren“ und bei der anderen rechnest du rückwärts.

  Hier bieten sich beide Möglichkeiten an, aber rechnen wir rückwärts, da das Probieren manchmal viel Zeit in Anspruch nehmen kann.

  Wenn wir die Gleichung 6 $\cdot$ x + 111 = 141 vor uns haben, überlegen wir, welches normalerweise unsere Vorgehensweise wäre, wenn wir x schon kennen würden:

  1. Zuerst würden wir sicherlich 6 $\cdot$ x berechnen,
  2. dann würden wir 111 addieren,
  3. und letztlich hätten wir das Ergebnis 141.

  Beim Rückwärtsrechnen fangen wir, wie du dir denken kannst, hinten an und kehren alle Rechenzeichen um:

  1. Wir gehen vom Ergebnis 141 aus und subtrahieren 111.
  2. Das Ergebnis, nämlich 30, dividieren wir nun durch 6.
  3. Jetzt liegt uns der Wert für x vor, den wir gesucht haben. Er lautet x = 5.

  Mit Rückwärtsrechnen haben wir zur Lösung x = 5 gefunden.

• Bestimme das jeweilige Alter von Max, seinem Vater und Opa.

  Tipps

  Um wie viel Jahre ist Max' Opa älter als er selbst?

  Lösung

  Max, sein Vater und sein Opa sind zusammen 115 Jahre alt. Außerdem ist uns bekannt, dass Max' Vater 31 Jahre älter ist als er selbst und sein Opa 29 Jahre mehr auf dem Buckel hat als sein Vater.

  Wenn wir das Alter von Max mit x beschreiben, wissen wir, dass das Alter seines Vaters mit x + 31 beschrieben werden kann.

  Das Alter des Opas wird nicht etwa mit x + 29, sondern mit x + 31 + 29 = x + 60 beschrieben.

  Damit können wir eine Gleichung aufstellen, die das jeweilige Alter addiert und 115 ergibt:

  x + (x + 31) + (x + 60) = x + x + 31 + x + 60 = 115.

  Das können wir zusammenfassen zu:

  3 $\cdot$ x + 91 = 115.

  Mit der bekannten Methode des Rückwärtsrechnens nähern wir uns der Lösung.

  1. Zuerst rechnen wir 115 - 91 = 24.
  2. Dann berechnen wir 24 $:$ 3 = 8.
  3. Nun kennen wir die Lösung. Das Alter von Max beträgt x = 8 Jahre.

  Jetzt ist es leicht, auf das Alter der anderen zu schließen.

  Der Vater ist somit 39 Jahre alt, da uns ja x + 31 bekannt war, und sein Opa 8 + 60 = 68 Jahre.

• Bestimme die Lösungen der Gleichungen.

  Tipps

  Probiere geschickt oder rechne rückwärts.

  Entscheide von Gleichung zu Gleichung neu, welchen Weg du gehen möchtest.

  Fange mit den Gleichungen an, welche dir leichter fallen.

  Lösung

  Es gibt immer mehrere Wege, die ans Ziel führen. Manchmal ist es günstiger, die Lösung durch geschicktes Probieren zu ermitteln, manchmal erkennst du früh, dass Probieren zu lange dauern würde, und fängst gleich an, rückwärts zurechnen.

  Die Gleichung 7 $\cdot$ x + 3 = 31 bietet eine gute Möglichkeit, durch geschicktes Probieren zur Lösung zu finden. Hier merkst du schnell, dass x = 1 und x = 2 zu klein geschätzt sind. Aber dann kommt man doch eigentlich ziemlich schnell zur Lösung x = 4.

  Spätestens bei der Gleichung (4 $\cdot$ (x + 3)) $:$ 2 = 8 ist es besser, die Lösung durch Rückwärtsrechnen zu ermitteln. Nachdem du untersucht hast, in welcher Reihenfolge du vorgehst, wenn du gewöhnlicherweise einen Term ausrechnest, drehst du Reihenfolge und Rechenzeichen einfach um. Das sieht folgendermaßen aus:

  1. 8 $\cdot$ 2 = 16,
  2. 16 $:$ 4 = 4,
  3. 4 - 3 = 1.

  Die Lösung, die diese Gleichung erfüllt, lautet x = 1.

  Bei den anderen Gleichungen kannst du dir aussuchen, welche Methode du wählst.

  Häufig ist es sinnvoll, am Anfang schnell einen Test zu machen und eine Zahl probehalber einzusetzen. Wenn du merkst, dass du auf diese Weise nicht weiterkommst, entscheidest du dich anders und wählst mit dem Rückwärtsrechnen die sichere Variante.

• Untersuche, welche Gleichung und welche Lösung zu unserem Problem gehören.

  Tipps

  Entscheide, welche Informationen wertvoll sind und welche du nicht brauchst, um die richtige Gleichung zu bestimmen.

  Lösung

  Der Wert einer Aktie von MoBit ist um 10 € gestiegen, sodass sie nun 92 € wert ist.

  Die Information, dass eine MoBit-Aktie jetzt doppelt so viel wert ist wie die Aktie des anderen Unternehmens, ist für die Gleichung nicht wichtig, da wir wissen wollen, welche Gleichung die Wertentwicklung von MoBit beschreibt und wie viel die Aktie zuvor Wert war.

  So kannst du sicherlich die richtige Gleichung aufstellen. Sie lautet:

  x + 10 = 92.

  Um x zu ermitteln, können wir nun einfach 92 - 10 = 82 rechnen. Die Aktie war zuvor 82 € wert.

• Gib die Werte an, die du beim Einsetzen verschiedener Zahlen für x in den Term 5 - 4 $\cdot$ (x + 1) erhältst.

  Tipps

  Beachte Punkt- vor Strichrechnung.

  Lösung

  Der Vorteil von geschicktem Probieren ist, dass es in der Regel sehr leicht fällt, Zahlen für eine Variable in der Gleichung einzusetzen.

  Der Nachteil ist, dass es manchmal ziemlich lange dauern kann, bis du die richtige Lösung gefunden hast.

  Zur Übung wollen wir ein paar Zahlen x in den Term 5 - 4 $\cdot$ (x + 1) einsetzen.

  Fangen wir mit x = 1 an:

  5 - 4 $\cdot$ (1 + 1) = 5 - 4 $\cdot$ 2 = 5 - 8 = -3.

  Genauso funktioniert das auch für jede andere Zahl x, welche du in den Term einsetzen möchtest.

• Berechne, wie viel kg Düngemittel sich in einem üblichen Sack befinden.

  Tipps

  Erstelle eine Gleichung, deren x die Menge Düngemittel in einem üblichen Sack beschreibt.

  Verwende gegebenenfalls das Distributivgesetz, bevor du rückwärtsrechnest.

  Lösung

  Mit x bezeichnen wir das Gewicht in kg, welches einer der üblichen Säcke Dünger wiegt. Bauer Eckhart kauft allerdings neben 2 Säcken mit der normalen Menge auch 4 Säcke, die um 10 kg schwerer sind, also insgesamt 340 kg Dünger.

  Mit diesen Informationen lässt sich eine Gleichung aufstellen, mit der wir x bestimmen können. Sie lautet:

  4 $\cdot$ (x + 10) + 2 $\cdot$ x = 340.

  Eine Schwierigkeit, hier rückwärts zu rechnen, liegt darin, dass du möglicherweise gar nicht so richtig weißt, wo du anfangen sollst. Vielleicht ist dir aufgefallen, dass x einmal in 4 $\cdot$ (x + 10) und einmal in 2 $\cdot$ x vorkommt.

  Dieses Problem lässt sich nur lösen, indem wir erkennen, dass sich bei 4 $\cdot$ (x + 10) das Distributivgesetz anwenden lässt. Wir lösen die Klammer also einfach auf:

  4 $\cdot$ (x + 10) = 4 $\cdot$ x + 4 $\cdot$ 10 = 4 $\cdot$ x + 40.

  Das können wir nun schon leichter mit 2 $\cdot$ x zusammenfassen:

  4 $\cdot$ x + 40 + 2 $\cdot$ x = 6 $\cdot$ x + 40.

  Nun gut. Und es galt ja: 6 $\cdot$ x + 40 = 340.

  Jetzt können wir ganz leicht durch Rückwärtsrechnen die Lösung ermitteln.

  1. 340 - 40 = 300,
  2. 300 $:$ 6 = 50,
  3. 50 ist unser gesuchter Wert x.

  In einem üblichen Sack Düngemittel sind 50 kg Dünger enthalten.