Gleichungen in einem Schritt lösen

Gleichungen in einem Schritt lösen Übung

• Stelle die gesuchte lineare Gleichung auf.

  Tipps

  Du kannst dir eine Gleichung wie eine Waage vorstellen. In diesem Beispiel enthält die linke Waagschale alle vermissten sowie zurückgebliebenen Löwenjungen. Die rechte Waagschale muss demnach alle Löwenjungen enthalten, damit die Waage im Gleichgewicht ist.

  Die Gleichung lautet in Worten wie folgt:

  Anzahl vermisster Löwenjungen $+$ Anzahl zurückgebliebener Löwenjungen $=$ Anzahl aller Löwenjungen

  Lösung

  Lass uns das kleine Löwen-Problem gemeinsam lösen. Folgendes ist uns bekannt:

  • Im Normalfall befinden sich im Gehege $7$ Löwenjungen.
  • Heute sitzen nur noch $2$ Löwenjungen im Gehege.

  Die Tierwärter suchen die genaue Anzahl der vermissten Löwenjungen und möchten diese mittels einer linearen Gleichung ermitteln. Erst dann können sie sich auf die tatsächliche Suche machen!

  Gebraucht wird also eine lineare Gleichung für die Berechnung der Anzahl vermisster Löwenjungen. Nimm dabei an, dass die Variable $x$ für die Anzahl vermisster Löwenjungen steht.

  Wir können uns eine Gleichung wie eine Waage vorstellen, welche wir stets im Gleichgewicht halten möchten. Wenn wir also alle $7$ Löwenjungen auf die rechte Waagschale setzen, so müssen wir auf der linken Waagschale $x$ vermisste und $2$ zurückgebliebene Löwenjungen platzieren.

  In Form einer linearen Gleichung sieht diese Vorstellung wie folgt aus:

  $x+2=7$

• Berechne die Unbekannte $x$ in einem Schritt.

  Tipps

  Beim Umstellen einer Gleichung notiert man hinter einem Umformungsstrich die Umkehroperation, welche im nächsten Schritt auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden soll.

  Das Ziel beim Umstellen einer Gleichung ist, die Unbekannte allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens stehen zu haben. Dafür verwenden wir folgende Umkehroperationen:

  Addition $\rightleftarrows$ Subtraktion

  Multiplikation $\rightleftarrows$ Division

  Schaue dir folgendes Beispiel an:

  $ \begin{array}{llll} 2 \cdot x+4 &=& 8 & \vert -4 \\ 2 \cdot x &=& 4 & \vert :2 \\ x &=& 2 & \end{array} $

  Lösung

  Es sind zwei lineare Gleichungen in je einem Schritt zu lösen:

  • $x+2=7$
  • $3 \cdot x=30$

  Dabei müssen die Gleichungen so umgestellt werden, dass die Unbekannte allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht. Hierfür verwenden wir folgende Umkehroperationen:

  • Addition $\rightleftarrows$ Subtraktion
  • Multiplikation $\rightleftarrows$ Division

  Diese wählen wir so, dass die Gleichung in nur einem Schritt gelöst ist. Betrachten wir nun unsere Gleichungen:

  1. Gleichung

  $~ x+2=7$

  Auf der linken Seite der Gleichung wird zu der Variablen $x$ die $2$ addiert. Da die Variable $x$ allein auf einer Seite der Gleichung stehen soll, subtrahieren wir auf beiden Seiten der Gleichung die $2$, denn die Subtraktion ist die Umkehroperation zur Addition:

  $ \begin{array}{llll} x+2 &=& 7 & \vert -2 \\ x &=& 5 & \end{array} $

  2. Gleichung

  $~ 3 \cdot x=30$

  Auf der linken Seite der Gleichung wird die Variable $x$ mit der $3$ multipliziert. Da die Variable $x$ allein auf einer Seite der Gleichung stehen soll, dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch die $3$, denn die Division ist die Umkehroperation zur Multiplikation:

  $ \begin{array}{llll} 3 \cdot x &=& 30 & \vert :3 \\ x &=& 10 & \end{array} $

• Bestimme die Umkehroperation, mit der die gegebene lineare Gleichung in einem Schritt lösbar ist.

  Tipps

  Jede dieser Gleichungen kann in nur einem Schritt gelöst werden. Das heißt, dass du mit nur einer Umkehroperation erreichen kannst, dass die Variable $x$ allein auf einer Seite der Gleichung steht.

  Beachte Folgendes bei der Wahl der Umkehroperation:

  • Addition $\rightleftarrows$ Subtraktion
  • Multiplikation $\rightleftarrows$ Division

  Lösung

  Es sind vier lineare Gleichungen gegeben. Jede dieser Gleichungen kann bereits in einem Schritt gelöst werden. Das heißt, dass wir mit nur einer Umkehroperation erreichen können, dass die Variable $x$ allein auf einer Seite der Gleichung steht.

  Lass uns die gegebenen vier Gleichungen gemeinsam betrachten:

  1. Gleichung

  $~ x+20=40$

  Auf der linken Seite der Gleichung wird zu der Variablen $x$ die $20$ addiert. Damit die Variable $x$ allein auf der linken Seite der Gleichung steht, subtrahieren wir auf beiden Seiten der Gleichung die $20$:

  $ \begin{array}{llll} x+20 &=& 40 & \vert -20 \\ x &=& 20 & \end{array} $

  2. Gleichung

  $~ 20 \cdot x=40$

  Auf der linken Seite der Gleichung wird die Variable $x$ mit der $20$ multipliziert. Damit die Variable $x$ allein auf der linken Seite der Gleichung steht, dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch $20$:

  $ \begin{array}{llll} 20 \cdot x&=& 40 & \vert :20\\ x &=& 2 & \end{array} $

  3. Gleichung

  $~ x-20=40$

  Auf der linken Seite der Gleichung wird von der Variablen $x$ die $20$ subtrahiert. Damit die Variable $x$ allein auf der linken Seite der Gleichung steht, addieren wir auf beiden Seiten der Gleichung die $20$:

  $ \begin{array}{llll} x-20 &=& 40 & \vert +20 \\ x &=& 60 & \end{array} $

  4. Gleichung

  $~ \frac x{20}=40$

  Auf der linken Seite der Gleichung wird die Variable $x$ durch die $20$ dividiert. Damit die Variable $x$ allein auf der linken Seite der Gleichung steht, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit der $20$:

  $ \begin{array}{llll} \frac x{20}&=& 40 & \vert \cdot 20 \\ x &=& 800 & \end{array} $

• Ermittle die gesuchte lineare Gleichung und löse sie.

  Tipps

  Folgende Beziehung gilt für die Kaffeemenge:

  gesamte Kaffeemenge $=$ Anzahl der Beutel $\cdot$ Kaffeemenge pro Beutel

  Eine Gleichung kannst du durch Äquivalenzumformung verändern, ohne deren Lösungsmenge zu ändern. Dafür musst du eine Rechenoperation immer auf beiden Seiten der Gleichung durchführen.

  Es gilt also auch:

  gesamte Kaffeemenge $:$ Kaffeemenge pro Beutel $=$ Anzahl der Beutel

  Lösung

  Diese Angabe ist uns bekannt:

  Die eingetroffene Kaffeemenge passt genau in $30$ verschiedene $1,5$-Kilogramm-Beutel.

  Stelle dir vor:

  Wir teilen den eingetroffenen Kaffee in Häufchen. Jedes davon besteht genau aus $1,5$ Kilogramm Kaffee. Am Ende erhalten wir genau $30$ Häufchen Kaffee. Mathematisch haben wir dabei Folgendes gemacht:

  gesamte Kaffeemenge $:$ Kaffeemenge pro Häufchen $=$ Anzahl der resultierenden Häufchen

  Nun füllen wir diese Häufchen in unsere $1,5$-Kilogramm-Beutel. Dann folgt:

  gesamte Kaffeemenge $:$ Kaffeemenge pro Beutel $=$ Anzahl der resultierenden Beutel

  Zudem haben wir angenommen, dass die Variable $x$ für die gesamte Kaffeemenge in Kilogramm steht. Es ergibt sich somit die lineare Gleichung:

  $x:1,5=30$

  Durch Äquivalenzumformung erhalten wir die Lösung der linearen Gleichung:

  $ \begin{array}{llll} x:1,5 &=& 30 & \vert \cdot 1,5 \\ x &=& 45 & \end{array} $

• Beschreibe, wie du eine lineare Gleichung löst.

  Tipps

  Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht: Nimmst du von der linken Waagschale ein Objekt herunter, so musst du dieses auch von der rechten Waagschale herunternehmen, damit die Waage im Gleichgewicht bleibt.

  Schaue dir folgendes Beispiel an:

  $ \begin{array}{llll} 3 \cdot x-5 &=& 10 & \vert +5 \\ 3 \cdot x-5+5 &=& 10+5 & \\ 3 \cdot x &=& 15 & \vert :3 \\ 3 \cdot x:3 &=& 15:3 & \\ x &=& 5 & \end{array} $

  Lösung

  Lass uns das Vorgehen beim Lösen einer linearen Gleichung an einem konkreten Beispiel untersuchen. Wir betrachten die folgenden Rechenschritte:

  $ \begin{array}{llll} 3 \cdot x-5 &=& 10 & \vert +5 \\ 3 \cdot x-5+5 &=& 10+5 & \\ 3 \cdot x &=& 15 & \vert :3 \\ 3 \cdot x:3 &=& 15:3 & \\ x &=& 5 & \end{array} $

  Dabei fällt zunächst auf, dass zum Umstellen der linearen Gleichung Umkehroperationen verwendet werden. Wir sehen, dass in der ersten Zeile für die Addition die Umkehroperation Subtraktion angewandt wird. In der dritten Zeile wird durch die $3$ dividiert, um die Variable $x$ zu isolieren. Die Division ist demnach die Umkehroperation für die Multiplikation. Es gilt also Folgendes für die Umkehroperationen:

  • Addition $\rightleftarrows$ Subtraktion
  • Multiplikation $\rightleftarrows$ Division

  Des Weiteren können wir der Berechnung entnehmen, dass die jeweilige Umkehroperation hinter einem Umformungsstrich notiert und im nächsten Schritt auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt wird.

• Prüfe die einzelnen Rechenschritte auf ihre Richtigkeit.

  Tipps

  Verwende zum Ausklammern das Distributivgesetz:

  $a \cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c$

  Um eine Gleichung nach der Unbekannten umzustellen, werden Umkehroperationen verwendet, welche auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden müssen.

  Schau dir folgendes Beispiel an:

  $ \begin{array}{llll} 4 \cdot x+4 &=& 12 & \vert -4 \\ 4 \cdot x &=& 8 & \vert :4 \\ x &=& 2 & \end{array} $

  Lösung

  Wenn wir eine Gleichung umformen, müssen wir darauf achten, dass wir jede Rechenoperation auf beiden Seiten der Gleichung durchführen. Es handelt sich hierbei um eine Äquivalenzumformung. Das bedeutet, dass trotz Veränderung der Gleichung deren Lösungsmenge unverändert bleibt.

  Betrachten wir nun die gegebene fehlerbehaftete Berechnung:

  $ \begin{array}{llll} 3 \cdot (x+4)-2 &=& 5 \cdot x & \\ 3 \cdot x+12-2 &=& 5 \cdot x & \\ 3 \cdot x+10 &=& 5 \cdot x & \vert -3 \cdot x \\ 10 &=& 5 \cdot x & \vert :5 \\ 2 &=& x \end{array} $

  In den ersten beiden Zeilen wird die Ausgangsgleichung zunächst vereinfacht. Dabei wird im ersten Rechenschritt das Distributivgesetz angewendet. Im nächsten Schritt werden gleichartige Terme zusammengefasst.

  In der dritten Zeile erfolgt die erste Umformung mittels Umkehroperation. Es soll von beiden Seiten der Gleichung $3 \cdot x$ subtrahiert werden. Professor Brown subtrahiert auf der linken Seite der Gleichung den Term $3 \cdot x$, während er die rechte Seite der Gleichung unverändert lässt. Das ist keine Äquivalenzumformung und die Lösungsmenge bleibt somit nicht mehr unverändert! Daher ist die vierte Zeile falsch.

  Also machen wir es nun richtig:

  $ \begin{array}{llll} 3 \cdot (x+4)-2 &=& 5 \cdot x & \\ 3 \cdot x+12-2 &=& 5 \cdot x & \\ 3 \cdot x+10 &=& 5 \cdot x & \vert -3 \cdot x \\ 10 &=& 2 \cdot x & \vert :2 \\ 5 &=& x \end{array} $