Volumen eines Prismas berechnen – Übung

Volumen eines Prismas berechnen – Übung Übung

• Beschreibe die Volumenberechnung des Goldbarrens.

  Tipps

  Welchen Körper kannst du erkennen?

  Was hat die Grundfläche für eine Form? Wie berechnet man den Flächeninhalt der Grundfläche?

  Das Volumen eines Prismas berechnet man mit der Formel $V = A_G \cdot h$.

  Lösung

  Der Goldbarren hat die Form eines Prismas. Das erkennt man daran, dass er zwei Grundflächen hat, die senkrecht zur Höhe stehen und zueinander parallel sind. Die anderen Seiten bzw. Flächen haben die Form von Rechtecken. Die Grundflächen haben die Form eines Trapezes.

  Die beiden parallelen Seiten des Trapezes sind $14~cm$ und $10~cm$ lang. Das Trapez ist außerdem $7~cm$ hoch.

  Den Flächeninhalt eines Trapezes berechnet man mit der Formel $A_G = \frac{1}{2} \cdot h_T \cdot ( a+c)$. Für unseren Goldbarren folgt daraus:

  $\begin{align} A_G & = \frac{1}{2} \cdot h_T \cdot ( a+c)\\ & = \frac{1}{2} \cdot 7~cm \cdot ( 14~cm + 10~cm)\\ & = \frac{1}{2} \cdot 7~cm \cdot 24~cm\\ & = \frac{1}{2} \cdot168~cm^2\\ & = 84~cm^2. \end{align}$

  Die Grundfläche des Prismas beträgt demnach $84~cm^2$.

  Die Höhe des Goldbarren dürfen wir nicht mit der Höhe des Prismas verwechseln. Zunächst müssen wir das Prisma auf seine Grundfläche stellen, um zu bestimmen, welche Seite seiner Höhe entspricht. Die Höhe entspricht der Länge des Prismas. Das Prisma ist also $20~cm$ hoch. Für das Volumen folgt daraus:

  $\begin{align} V & = A_G \cdot h\\ & = 84~cm^2 \cdot 20~cm\\ & = 1680cm^3. \end{align}$

  Das Volumen des Goldbarrens beträgt demnach $1680~cm^3$.

• Berechne, wie viel Honig in eine Bienenwabe hineinpasst.

  Tipps

  Hier kannst du das Schrägbild der Wabe erkennen. Der Körper ist ein Prisma mit einem regelmäßigen Sechseck als Grundfläche.

  Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks ist durch die folgende Formeln gegeben $A=\frac32 \cdot \sqrt{3} \cdot a^2$, wobei $a$ die Kantenlänge des Sechseck ist.

  Das Volumen eines Prismas lautet $V=A_G \cdot h$. Wie hoch ist das Prisma?

  Lösung

  Eine Bienenwabe hat die Form eines Prismas, dessen Grundfläche die Form eines regelmäßigen Sechsecks hat (siehe Bild). Den Flächeninhalt eines Sechsecks berechnet man mit der Formel: $A_G = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot a^2$. $a$ bezeichnet die Länge der Kantenlänge. Es glt also $ a = 3~mm$. Die Tiefe der Bienenwabe bezeichnen wir mit $t$. Für $t$ gilt dementsprechend $t = 5~mm$. Wollen wir die Grundfläche berechnen, rechnen wir:

  $\begin{align} A_G & = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot 3~mm^2\\ & \approx 23,38~mm^2 \end{align}$

  Wollen wir nun das Volumen der Bienenwabe bestimmen, müssen wir noch die Höhe der Bienenwabe bestimmen. Diese entspricht der Tiefe der Bienenwabe. Wenn du die Bienenwabe auf ihre Grundfläche stellst, kannst du die Höhe leichter erkennen. Es gilt also $h = t = 5~mm$. Für das Volumen folgt daraus:

  $\begin{align} V & = A_G \cdot h\\ & = 23,38~mm^2 \cdot 5~mm\\ & \approx 116,91~mm^3 \end{align}$

  In eine Bienenwabe passen ungefähr $117~mm^3$ Honig hinein.

• Ordne den Prismen die Volumina zu.

  Tipps

  Den Flächeninhalt eines Trapezes berechnet man mit der Formel $A = \frac{1}{2} \cdot h_T \cdot ( a+ c) $.

  Den Flächeninhalt von einem Dreieck berechnet man mit der Formel $A = \frac{a \cdot b}{2}$.

  Den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks, berechnet man mit der Formel $A = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot a^2$.

  Das Volumen eines Prismas berechnet man mit der Formel $V = A_G \cdot h $.

  Lösung

  Wenn wir das Volumen eines Prismas bestimmen wollen, müssen wir zunächst immer seine Grundfläche bestimmen. Anschließend müssen wir den Flächeninhalt der Grundfläche bestimmen. Anschließend können wir durch Multiplikation mit der Höhe das Volumen errechnen.

  Es gibt vier verschiedene Prismen mit drei verschiedenen Grundflächen, nämlich einem Trapez, einem regelmäßigen Sechseck und zwei Dreiecken.

  1. Für das Prisma mit dem Trapez als Grundfläche gilt:

  $\begin{align} A_G & = \frac{1}{2} \cdot h_T \cdot ( a+ c)\\ & = \frac{1}{2} \cdot 2~cm \cdot ( 7~cm + 5~cm)\\ & = 12~cm^2\\ \end{align}$

  $\begin{align} V & = A_G \cdot h\\ & = 12~cm^2 \cdot 10~cm\\ & = 120~cm^3\\ \end{align}$

  2. Für das Prisma mit dem Dreieck als Grundfläche gilt:

  $\begin{align} A_G & = \frac{a \cdot b}{2}\\ & = \frac{4~cm \cdot 4~cm}{2}\\ & = 8~cm^2\\ \end{align}$

  $\begin{align} V & = A_G \cdot h\\ & = 8~cm^2 \cdot 10~cm\\ & = 80~cm^3\\ \end{align}$

  3. Für das Prisma mit dem rechtwinkligen Dreieck als Grundfläche gilt:

  $\begin{align} A_G & = \frac{a \cdot b}{2}\\ & = \frac{6~cm \cdot 3~cm}{2}\\ & = 9~cm^2\\ \end{align}$

  $\begin{align} V & = A_G \cdot h\\ & = 9~cm^2 \cdot 10~cm\\ & = 90~cm^3\\ \end{align}$

  4. Für das Prisma mit dem regelmäßigen Sechseck als Grundfläche gilt:

  $\begin{align} A_G & = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot a^2\\ & = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot 2^2~cm\\ & \approx 10,39~cm^2\\ \end{align}$

  $\begin{align} V & = A_G \cdot h\\ & \approx 10,39~cm^2 \cdot 10~cm\\ & \approx 103,9~cm^3\\ \end{align}$

• Berechne das Volumen des Prismas.

  Tipps

  Die Höhe der Grundfläche kann man mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Dieser sagt aus, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Seite gegenüber dem rechten Winkel zum Quadrat die Summe der beiden Katheten zum Quadrat ergibt.

  In einer Formel ausgedrückt heißt dies $a^2 + b^2 = c^2$.

  Das Volumen eines Prismas berechnet man mit der Formel $V = A_G \cdot h$.

  Lösung

  Die Verpackung hat die Form eines Prismas, deren Grundfläche ein Dreieck ist. Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel $A = \frac{g \cdot h_{g}}{2}$. Wir wissen, dass $g = 10~cm$ groß ist. Allerdings kennen wir $h_{g}$ nicht. Wir können $h_{g}$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Da alles Seiten gleich lang sind, teilen alle Höhen die Seiten genau in der Hälfte (s. Bild).

  Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

  $\begin{align} (10~cm)^2 & = h^2 + (5~cm)^2 &&|-(5~cm)^2\\ h^2 & = (10~cm)^2 - (5~cm)^2 &&|\sqrt{~}\\ h & = \sqrt{(10~cm)^2 - (5~cm)^2}\\ & = \sqrt{100~cm^2 - 25~cm^2}\\ & = \sqrt{75~cm^2}\\ & \approx 8,6~cm\\ \end{align}$

  Da wir nun die Höhe des Dreiecks kennen, können wir den Flächeninhalt der Grundfläche bestimmen. Es gilt:

  $\begin{align} A_G & \approx \frac{10~cm \cdot 8,6~cm}{2}\\ & \approx 43,3~cm^2\\ \end{align}$

  Die Tiefe der Verpackung entspricht der Höhe des Prismas. Es gilt also $h = 3~cm$. Für das Volumen folgt daraus:

  $\begin{align} V & = A_G \cdot h\\ & = 43,3~cm^2 \cdot 3~cm\\ & \approx 129,9~cm^3\\ \end{align}$

  In die Schokoladenpackung passen ungefähr $130~cm^3$. Damit hatte Jonas recht.

• Bestimme die passende Skizze zu Linas Rechnung.

  Tipps

  Mit der Formel $A_G$ möchte man immer den Flächeninhalt von einer Form ausrechnen. Weißt du, um welche Form es sich bei Linas Rechnung handelt?

  Die Grundflächen der vier Körper sind zwei Dreiecke, ein Trapez und ein Sechseck. Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt der drei Flächen?

  Lösung

  Mit der Formel, die Lina verwendet hat, berechnet man den Flächeninhalt der Grundfläche eines Prismas. Da die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes gilt, hat der Körper den wir suchen eine Grundfläche mit der Form eines Trapezes. Es gilt also:

  $\begin{align} A_G & = \frac{1}{2} \cdot h_T \cdot ( a+c)\\ & = \frac{1}{2} \cdot 5~cm \cdot ( 17~cm + 10~cm)\\ & = \frac{1}{2} \cdot 5~cm \cdot 27~cm\\ & = \frac{1}{2} \cdot135~cm^2\\ &= 67,5~cm^2 \end{align}$

• Bestimme das Volumen des Körpers.

  Tipps

  Kannst du in der Grundfläche versteckte geometrische Formen erkennen?

  Den Flächeninhalt von einem Dreieck berechnet man mit der Formel $A = \frac{a \cdot b}{2}$.

  Das Volumen eines Prismas berechnet man mit der Formel $V = A_G \cdot h $.

  Lösung

  Der geometrische Körper besteht aus drei Prismen. Man kann den Körper aber auch als ein Prisma auffassen mit einer speziell zusammengesetzten Grundfläche Hier siehst du die drei verschiedenen Flächen in der Grundfläche. Es gilt also $A_G = A_{G1} + A_{G2} + A_{G3}$.

  Das große Dreieck bezeichnen wir mit $A_{G1}$. Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt $A = \frac{g \cdot h_g}{2}$. Bei einem rechtwinkligen Dreieck, wie bei diesen beiden, sind $g$ und $h_g$ jeweils die beiden Seiten des Dreiecks. Das vereinfacht das Ausrechnen. Für das große Dreieck folgt daraus:

  $\begin{align} A_{G1} & = \frac{1,5~m \cdot 1~m}{2}\\ & = 0,75~m^2\\ \end{align}$

  Für das kleinere Dreieck verwenden wir die gleiche Formel. Die eine Seite ist $0,2~m+0,5~m=0,7~m$ lang. Es gilt:

  $\begin{align} A_{G2} & = \frac{0,7~m \cdot 0,5~m}{2}\\ & = 0,175~m^2\\ \end{align}$

  Die dritte Fläche ist ein Quadrat. Das heißt, dass alle Seiten gleich lang sind. Für das Quadrat ergibt sich daraus ein Flächeninhalt von:

  $\begin{align} A_{G3} & = (0,5~m)^2\\ & = 0,25~m^2\\ \end{align}$

  Nun können wir alle drei Grundflächen addieren und erhalten:

  $\begin{align} A_G & = A_{G1} + A_{G2} + A_{G3}\\ & = 0,75~m^2 + 0,175~m^2 + 0,25~m^2\\ & = 1,175~m^2\\ \end{align}$

  Da wir nun den Flächeninhalt der Grundfläche kennen, müssen wir noch die Höhe $h$ des Prismas bestimmen und können anschließend das Volumen berechnen. Die Höhe entspricht der Tiefe des Körpers. Demnach gilt $h = 0,5~m$. Für das Volumen folgt daraus:

  $\begin{align} V & = A_G \cdot h\\ & = 1,175~m^2 \cdot 0,5~m\\ & =0,5875~m^3\\ \end{align}$

  Das Volumen des Körpers beträgt also $0,5875~m^3$.