Körper in Prismen zerlegen – Volumen berechnen

Körper in Prismen zerlegen – Volumen berechnen Übung

• Gib wieder, woran man die Grund- bzw. Deckfläche eines Prismas erkennen kann.

  Tipps

  Hier siehst du ein Prisma, das ein regelmäßiges Sechseck als Grundfläche bzw. Deckfläche besitzt. Die beiden Flächen sind blau markiert.

  Lösung

  Wenn wir das Volumen eines Prismas berechnen möchten, verwenden wir die Formel $V = A_G \cdot h$, wobei $A_G$ den Flächeninhalt der Grund- bzw. Deckfläche und $h$ die Höhe des Prismas angibt.

  Bevor man den Flächeninhalt der Grund- bzw. Deckfläche berechnen kann, muss man sie zunächst erkennen. Man erkennt sie daran, dass diese beiden Flächen kongruent (deckungsgleich) sind. Das bedeutet, dass du sie genau aufeinander legen kannst ohne dass sie sich überlappen. Außerdem sind sie parallel zueinander. Das bedeutet, dass sie in jedem Punkt den gleichen Abstand zueinander haben. Diesen Abstand bezeichnet man als die Höhe $h$. Die Höhe steht senkrecht auf der Grund- und Deckfläche.

• Berechne, wie viel $m^3$ Beton für die Skateboard-Rampe verarbeitet werden müssen.

  Tipps

  Das Volumen eines Prismas berechnet man mit der Formel $V = A_G \cdot h$, wobei $A_G$ der Flächeninhalt der Grundfläche und $h$ die Höhe des Prismas angibt.

  Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man, indem man die Länge mit der Breite multipliziert.

  Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet man mit der Formel $A = \frac{ a \cdot c}{2}$, wobei $a$ und $c$ die Längen der beiden Katheten sind.

  Lösung

  Die Rampe besteht aus zwei Prismen. Das eine hat ein Rechteck und das andere hat ein Dreieck als Grundfläche. Um zu wissen, wie viel Beton verarbeitet werden muss, müssen wir das Volumen der Rampe bestimmen. Dabei gehen wir so vor, dass wir das Volumen der beiden Prismen einzeln berechnen und anschließend addieren.

  Für das Prisma mit dem Rechteck als Grundfläche $P1$ folgt, dass wir zunächst den Flächeninhalt der Grundfläche bestimmen und anschließend mit der Tiefe der Rampe multiplizieren, die die Höhe des Prismas darstellt. Es gilt:

  $\begin{align} A_{P1} & = a \cdot b \\ & = 1,5~m \cdot 4~m \\ & = 6~m^2\\ \end{align}$

  Für das Volumen folgt daraus:

  $\begin{align} V_{P1} & = A_{P1} \cdot h\\ & = 6~m^2 \cdot 2,2~m\\ & = 13,2~m^3\\ \end{align}$

  Für das Prisma mit dem rechtwinkligen Dreieck als Grundfläche $P2$ folgt, dass wir zunächst den Flächeninhalt der Grundfläche bestimmen und anschließend mit der Tiefe der Rampe multiplizieren, die die Höhe des Prismas darstellt. Es gilt:

  $\begin{align} A_{P2} & = \frac{a \cdot c}{2}\\ & = \frac{1,5~m \cdot 2~m}{2}\\ & = 1,5~m^2\\ \end{align}$

  Für das Volumen folgt daraus:

  $\begin{align} V_{P2} & = A_{P2} \cdot h\\ & = 1,5~m^2 \cdot 2,2~m\\ & = 3,3~m^3\\ \end{align}$

  Da wir nun die Volumina der einzelnen Prismen berechnet haben, müssen wir sie noch addieren um das Volumen der gesamten Rampe zu erhalten. Wir erhalten:

  $\begin{align} V & = V_{P1} + V_{P2}\\ & = 13,2~m^3 + 3,3~m^3\\ & = 16,5~m^3\\ \end{align}$

  Antwort: Es müssen also $16,5~m^3$ Beton für die Rampe verarbeitet werden.

• Entscheide, ob Herr Mann das Vogelhaus kaufen soll.

  Tipps

  Das Volumen eines Prismas berechnet man mit der Formel $V = A_G \cdot h$, wobei $A_G$ den Flächeninhalt der Grundfläche und $h$ die Höhe des Prismas angibt.

  Das Vogelhaus besteht aus zwei Prismen. Das eine Prisma hat ein Rechteck als Grundfläche und das andere ein rechtwinkliges Dreieck.

  Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man, indem man die Länge mit der Breite multipliziert.

  Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet man mit der Formel $A_G = \frac{a \cdot b}{2}$, wobei $a$ und $b$ die Längen der Katheten sind.

  Lösung

  Hier siehst du noch einmal das Vogelhaus in einer Skizze. Man kann es in zwei Prismen unterteilen. Das erste Prisma hat als Grundfläche die Form eines Rechtecks. Das zweite Prisma hat als Grundfläche die Form eines rechtwinkligen Dreiecks. Um zu erfahren, ob sich der Vogel Pipsi in dem Haus wohlfühlt, müssen wir das Volumen des Hauses bestimmen. Dabei gehen wir so vor, dass wir die Volumina der Prismen einzeln bestimmen und anschließend addieren, um das Volumen des gesamten Hauses zu ermitteln.

  Das Volumen $V_{P1}$ berechnen wir, indem wir die Länge und Breite des Rechtecks multiplizieren und anschließend mit der Höhe des Prismas, also der Breite des Hauses, multiplizieren. In einer Formel sieht das so aus:

  $\begin{align} V_{P1} & = 12~cm \cdot 15~cm \cdot 12~cm\\ & = 2160~cm^3.\\ \end{align}$

  Das Volumen des zweiten Prismas $V_{P2}$ berechnen wir mit der Formel $V_{P2} = \frac{a \cdot b}{2} \cdot 12~cm$, wobei $a$ und $b$ die Längen der Katheten des rechtwinkligen Dreiecks sind. Die eine Seite $b$ ist noch nicht gegeben. Wir rechnen dafür $b=23~cm-15~cm=8~cm$. Das kannst du in der Skizze erkennen.

  $\begin{align} V_{P2} & = \frac{12~cm \cdot 8~cm}{2} \cdot 12~cm\\ & = 576~cm^3\\ \end{align}$

  Da wir die Volumina der einzelnen Prismen berechnet haben, können wir diese nun addieren. Wir erhalten

  $\begin{align} V & = V_{P1} + V_{P2}\\ & = 2160~cm^3 + 576~cm^3\\ & = 2736~cm^3.\\ \end{align}$

  Mit einem Volumen von $2736~cm^3$ hat Pipsi genügend Platz, um sich wohlzufühlen. Herr Mann kann das Vogelhaus also unbesorgt kaufen.

• Bestimme das Volumen des Schwimmbeckens.

  Tipps

  Das Volumen eines Prismas berechnet man mit der Formel $V = A_G \cdot h$. Es gibt mehrere Wege auf die Lösung zu kommen.

  Du kannst das Schwimmbecken in drei oder vier Prismen zerlegen. Du kannst aber auch den Flächeninhalt der zusammengesetzten Grundfläche berechnen und diesen dann mit der Höhe multiplizieren. Da die Höhe für diesen Lösungsweg gleich sein muss, wird hier nicht die Tiefe des Schwimmbeckens genutzt, sondern die Höhe ist die Breite mit $12,5$~m.

  Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man, indem man die Länge mit der Breite multipliziert.

  Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel $A_G = \frac{a \cdot b}{2}$, wobei $a$ und $b$ die Längen der Katheten sind.

  Denke an die Einheiten $1~m^3 \hat{=} 1~000$ Liter.

  Querschnitt des Schwimmbeckens:

  Lösung

  Hier siehst du einen Querschnitt des Schwimmbeckens. Dieser entspricht der Grundfläche des zusammengesetzten Prismas. Man kann das Schwimmbecken zum Beispiel in drei Prismen zerlegen. Die Grundflächen der Prismen kannst du in dem Bild erkennen. Dann können wir das Volumen der einzelnen Prismen berechnen und anschließend addieren. Die Größen der mittleren Strecken erhalten wir durch entsprechende Subtraktionen der anderen Größen, so zum Beispiel die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks unten in der Mitte $25-10,5-3,5=11$ und $10-3=7$. Die Breite des Beckens und damit Höhe des Prismas und damit aller Prismen beträgt $h=12,5~m$.

  Fangen wir mit dem Prisma mit der Grundfläche des Rechteckes oben links in der Skizze, nennen wir sein Volumen $V_{P1}$. Sein Volumen berechnen wir, indem wir die Länge und Breite des Rechtecks multiplizieren und anschließend mit der Höhe des Prismas, also der Breite des Schwimmbeckens, multiplizieren. In einer Formel sieht dies so aus:

  $\begin{align} V_{P1} & = (3,5~m + 11~m) \cdot 3~m \cdot 12,5~m\\ & = 14,5~m \cdot 3~m \cdot 12,5~m\\ & = 543,75~m^3.\\ \end{align}$

  Für das zweite größere Prima gilt Ähnliches. Allerdings bezeichnen wir das Volumen dieses Prismas mit $V_{P2}$. Wir erhalten:

  $\begin{align} V_{P2} & = 10,5~m \cdot 10~m \cdot 12,5~m\\ & = 1~312,5~m^3.\\ \end{align}$

  Das Volumen des dritten Prismas $V_{P3}$ berechnen wir mit der Formel $V_{P3} = \frac{a \cdot b}{2} \cdot 12,5~m$, wobei $a$ und $b$ die Längen der Katheten sind. Wir erhalten:

  $\begin{align} V_{P3} & = \frac{11~m \cdot 7~m}{2} \cdot 12,5~m\\ & = 481,25~m^3.\\ \end{align}$

  Da wir die Volumina der einzelnen Prismen berechnet haben, können wir diese nun addieren. Wir erhalten:

  $\begin{align} V & = V_{P1} + V_{P2} + V_{P3}\\ & = 543,75~m^3 + 1~312,5~m^3 + 481,25~m^3\\ & = 2~337,5~m^3.\\ \end{align}$

  Da wir unser Ergebnis in Liter angeben sollen, müssen wir noch umrechnen. $1~m^3$ entspricht $1~000$ Litern, also $2~337,5~m^3 = 2~337~500$ Liter.

  In das Schwimmbecken passen insgesamt $2~337~500$ Liter Wasser hinein. Damit lag Andre also knapp daneben.

  Alternativ kann man so vorgehen, dass man den Flächeninhalt der Grundfläche des zusammengesetzten Prismas berechnet und dann mit der Höhe multipliziert. Das sieht dann so aus:

  $\begin{align} A_G&=(3,5~m + 11~m) \cdot 3~m +10,5~m \cdot 10~m+\frac{11~m \cdot 7~m}{2} \\ &=187~m^2 \\ V&=187~m^2 \cdot 12,5~m \\ &=2337,5~m^3. \end{align}$

  Es gibt für die Lösung dieser Aufgabe also viele verschiedene Wege, aber nur ein richtiges Ergebnis.

• Beschreibe, wie du bei der Volumenberechnung eines zusammengesetzten Körper vorgehst.

  Tipps

  Manche Grundflächen eines Körpers sehen aus wie diese. Wie würdest du das Volumen des Körpers berechnen?

  Lösung

  Um das Volumen eines zusammengesetzten Körpers aus Prismen zu bestimmen, schreiben wir zunächst die allgemeine Volumenformel eines Prismas auf. Sie lautet: $V = A_G \cdot h$, wobei $A_G$ den Flächeninhalt der Grundfläche und $h$ die Höhe des jeweiligen Prismas angibt.

  Anschließend zerlegen wir den Körper in uns bekannte Prismen und berechnen von jedem Prisma das Volumen. Die Volumenformel unterscheidet sich bei jedem Prisma, da jedes Prisma eine andere Grundfläche besitzt.

  Um letztlich das Volumen des ganzen Körpers zu berechnen, müssen wir die einzelnen Volumina der Prismen addieren.

• Bestimme die Höhe der Grundfläche bis zur Dachspitze.

  Tipps

  Das Volumen eines Prismas berechnet man mit der Formel $V = A_G \cdot h$.

  Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man, indem man die Länge mit der Breite multipliziert.

  Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet man mit der Formel $A_G = \frac{a \cdot b}{2}$, wobei $a$ und $b$ die Längen der Katheten sind.

  Lösung

  Das Haus besteht aus zwei Prismen. Das eine Prisma hat ein Rechteck als Grundfläche. Das Dach des Hauses hat die Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks.

  Da $14,9~\%$ des Volumens im Dachbereich liegen soll, müssen wir zunächst ausrechnen, wie viel $cm^3$ Volumen im Dachbereich sein sollen.

  Wir rechnen $\frac{14,9 \cdot 11186~cm^3}{100} = 1666,714~cm^3 \approx 1667~cm^3$.

  Da der Dachbereich ein Volumen von $1667~cm^3$ hat und das Haus insgesamt ein Volumen von $11186~cm^3$ hat, hat der der restliche Teil des Hauses ein Volumen von $11186~cm^3 - 1667~cm^3 = 9519~cm^3$.

  Das Prisma mit dem rechtwinkligen Dreieck als Grundfläche hat also ein Volumen von $1667~cm^3$ und das Prisma mit dem Rechteck als Grundfläche hat ein Volumen von $9519~cm^3$.

  Wir wissen, dass wir das Volumen eines Prismas mit einem Rechteck als Grundfläche bestimmen, wenn wir die Länge mit der Breite der Grundfläche und der Höhe des Prismas multiplizieren. In einer Formel sieht dies so aus $ V_R = a \cdot b \cdot h$. Die Grundfläche ist $a = 28~cm$ lang und das Prisma $h = 17~cm$ hoch. Wir müssen die Breite $b$ unserer Grundfläche bestimmen. Denn die Breite der Grundfläche entspricht der Teilhöhe des Hauses. Wir müssen also unsere Gleichung nach $b$ umstellen und erhalten:

  $\begin{align} b & = \frac{V_R}{a \cdot h}\\ & = \frac{9519~cm^3}{28~cm \cdot 17~cm}\\ & \approx 20~cm\\ \end{align}$

  Um nun zu wissen, wie hoch der Dachbereich sein soll, müssen wir zunächst die entsprechende Volumenformel aufschreiben. Hat ein Prisma ein rechtwinkliges Dreieck als Grundfläche, berechnet man sein Volumen mit der Formel $V_D = \frac{a \cdot h_a}{2} \cdot h$ Wir kennen bereits $a$ und $h$ und müssen $h_a$ bestimmen. Dies tun wir, indem wir die Formel nach $h_a$ umstellen und erhalten:

  $\begin{align} h_a & = \frac{2 \cdot V_D}{a \cdot h}\\ & = \frac{2 \cdot 1667~cm^3}{28~cm \cdot 17~cm}\\ & \approx 7~cm\\ \end{align}$

  Das Dach ist also ungefähr $7~cm$ hoch.

  Da das Dach $7~cm$ und der Rest des Hauses $20~cm$ hoch ist, ist das Haus insgesamt ungefähr $20~cm + 7~cm = 27~cm$ hoch.