Oberfläche zusammengesetzter Körper

Oberfläche zusammengesetzter Körper Übung

• Bestimme die allgemeinen Formeln zur Oberflächenberechnung.

  Tipps

  Für die Mantelfläche des Zylinders stellst du dir vor, dass du ihn aufrollst. Du erhältst dann ein Rechteck mit der Höhe $h$ des Zylinders und dem Umfang des Kreises als Breite.

  $M_\text{Zylinder}=h \cdot U_\text{Kreis}=h \cdot 2 \cdot r \cdot \pi$

  Bei einem Quader müssen wir sechs Flächen betrachten, bei einem dreiseitigen Prisma sind es insgesamt fünf.

  Beachte, dass bei zusammengesetzten Körpern die Flächen, an denen die Körper befestigt werden, nicht zur Oberfläche zählen.

  Lösung

  Die folgenden Formeln sind korrekt:

  • $O_\text{Zylinder}= 2\cdot A_\text{Kreis} + M_\text{Zylinder}= 2\cdot \pi \cdot r^2 + h \cdot 2 \cdot r \cdot \pi$

  Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich aus zwei Kreisen als Grund- und Deckfläche sowie der Mantelfläche zusammen.

  $G_\text{Prisma}= \frac 1 2 \cdot g_\Delta \cdot h_\Delta$

  Für die Grundseite eines dreiseitigen Prismas wird der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet.

  • $O_\text{Quader} = 2lb + 2lh + 2bh$

  Ein Quader hat $6$ Flächen. Die jeweils gegenüberliegenden sind kongruent. Das heißt, dass er nur drei Flächen berechnen muss (Länge $\cdot$ Breite, Länge $\cdot$ Höhe und Breite $\cdot$ Höhe), für die Oberfläche muss jedoch der Flächeninhalt von jeder dieser Flächen dann verdoppelt werden.

  Die folgenden Formeln sind falsch:

  • $O_\text{Prisma}= G_\text{Prisma}+2 M_\text{Prisma}$

  Bei einem dreiseitigen Prisma sind die Grund- und Deckfläche kongruente Dreiecke. Für die Oberfläche benötigt man also zweimal den Flächeninhalt dieses Dreiecks plus einmal die Mantelfläche.

  $O_\text{Prisma}= 2G_\text{Prisma}+M_\text{Prisma}$

  • $O_\text{Thron}= O_\text{Quader} + O_\text{Prisma} + 4\cdot O_\text{Zylinder}$

  Für den Thron addieren wir alle Oberflächen der einzelnen Körper zusammen. Dabei müssen wir jedoch beachten, welche Flächen nicht frei liegen. Da die Beine an der unteren Seite der Sitzfläche befestigt sind, sehen wir jeweils eine Grundfläche vom Zylinder nicht. Zusätzlich bedeckt jedes Stuhlbein eine kreisförmige Fläche des Quaders. Insgesamt müssen also beide Grundflächen des Zylinders nicht berücksichtigt werden. Daher wird nur die Mantelfläche des Zylinders mit einbezogen. Diese aber viermal, da wir vier Beine haben.

  $O_\text{Thron}= O_\text{Quader} + O_\text{Prisma} + 4\cdot M_\text{Zylinder}$

• Gib die Fläche unterschiedlicher Körper, unter der Annahme $\pi \approx 3,\!14$, an.

  Tipps

  Für den Thron benötigst du vier zylinderförmige Beine. Da die Beine mit der Deckfläche an den Sitz geklebt werden, brauchst du hierfür keine Farbe zu berechnen.

  Für ein dreiseitiges Prisma berechnest du zunächst den Flächeninhalt der Deck- und Grundfläche. Dies ist ein gleichschenkliges Dreieck. Die Fläche eines Dreiecks bestimmt man wie folgt:

  $A = \frac1 2 \cdot \text{Grundseite}\cdot \text{H}\ddot{\text{o}}\text{he}$.

  Die Breite der Mantelfläche eines Zylinders entspricht dem Umfang des Kreises. Diesen berechnest du mit:

  $U=2\cdot \text{Radius} \cdot \pi$

  Lösung

  Oberfläche Quader

  Der Quader hat Seitenlängen von $25~\text{dm}$, $22~\text{dm}$ und $4~\text{dm}$. Die Grund- und Deckfläche sind Rechtecke mit dem Flächeninhalt: $25~\text{dm} \cdot 22~\text{dm}= 550~\text{dm}^2$. Da wir diese Fläche zweimal haben, ergeben sich hier also: $2 \cdot 550~\text{dm}^2= 1\,100~\text{dm}^2$

  Die Seitenflächen vorne und hinten sind ebenfalls kongruent. Sie haben jeweils einen Flächeninhalt von $22~\text{dm} \cdot 4~\text{dm}=88~\text{dm}^2$, also ergeben sie insgesamt eine Fläche von $2 \cdot 88~\text{dm}^2= 176~\text{dm}^2$.

  Um die linke und rechte Seitenfläche des Quaders zu berechnen, gehen wir genauso vor: $2 \cdot 25~\text{dm} \cdot 4~\text{dm}=2 \cdot 100~\text{dm}^2=200~\text{dm}^2$

  Zum Schluss müssen wir alle diese Werte noch addieren und erhalten eine Oberfläche für den Quader von $O_\text{Quader}=1\,476~\text{dm}^2$.

  Oberfläche dreiseitiges Prisma:

  Die Vorder- und Rückseite dieses Prismas sind gleichschenklige Dreiecke, dessen Schenkel $s=39~\text{dm}$ und Grundseite $g=30~\text{dm}$ lang sind. Die Höhe $h$ auf der Grundseite beträgt $36~\text{dm}$.

  Mit der Formel: $A_\Delta=\frac 12 \cdot g\cdot h$ berechnen wir wie folgt den Flächeninhalt des Dreiecks:

  $A_\Delta= \frac 12 \cdot 30~\text{dm}\cdot 36~\text{dm}=540~\text{dm}^2$

  Da wir bei dem Prisma zwei kongruente Dreiecke haben, benötigen wir das Doppelte dieser Fläche, also folgt:

  $2 \cdot A_\Delta=2 \cdot 540~\text{dm}^2 = 1\,080~\text{dm}^2$

  Die Mantelfläche des Prismas ist aus drei Rechtecken zusammengesetzt. Wenn wir die Mantelfläche aufklappen, erhalten wir ein großes Rechteck mit einer Höhe von $3~\text{dm}$, während die Länge dem Umfang des Dreiecks entspricht.

  $U_\Delta= 2\cdot s+g= 2\cdot 39~\text{dm} + 30~\text{dm}= 108~\text{dm}$

  Somit erhalten wir für das Rechteck eine Fläche von $3\text{ dm} \cdot 108~\text{dm}=324~\text{dm}^2$

  Um die Oberfläche zu erhalten, addieren wir dies nun mit dem Flächeninhalt der beiden Dreiecke und erhalten $O_\text{Prisma}=1\,404~\text{dm}^2$.

  Oberfläche Zylinder:

  Die Grund- und Deckfläche sind jeweils ein Kreis mit dem Radius $2~\text{dm}$. Den Flächeninhalt berechnen wir mit:

  $A_\text{Kreis}= \pi \cdot r^2= \pi \cdot (2~\text{dm})^2=4\pi~\text{dm}^2$

  Da wir zwei Kreise haben, erhalten wir: $2\cdot 4\pi~\text{dm}^2= 8\pi~\text{dm}^2$

  Die Höhe des Zylinders beträgt $15~\text{dm}$. Die kreisförmige Grundfläche hat einen Radius von $2~\text{dm}$. Klappt man die Mantelfläche auf, erhält man ein Rechteck mit der Höhe des Zylinders und einer Länge, die dem Kreisumfang entspricht. Diesen berechnen wir mit:

  $U_\text{Kreis}=2\cdot r \cdot \pi = 2\cdot 2~\text{dm} \cdot \pi = 4\pi~\text{dm}$

  Die Mantelfläche des Zylinders beträgt also:

  $M_\text{Zylinder}=4\pi~\text{dm} \cdot 15~\text{dm} = 60 \pi~\text{dm}^2$

  Addieren wir die Mantelfläche zu dem Flächeninhalt der beiden Kreise, erhalten wir eine Oberfläche von $68 \pi~\text{dm}^2$ für einen der vier Zylinder.

  Zusammengesetzter Thron

  Für den Thron addieren wir alle Oberflächen der einzelnen Körper zusammen. Dabei müssen wir jedoch beachten, welche Flächen nicht frei liegen. Da die Beine an der unteren Seite der Sitzfläche befestigt sind, sehen wir jeweils eine Grundfläche vom Zylinder nicht. Zusätzlich bedeckt jedes Stuhlbein eine kreisförmige Fläche des Quaders. Insgesamt müssen also Grund- und Deckflächen der Zylinder nicht berücksichtigt werden. Daher wird nur die Mantelfläche des Zylinders mit einbezogen. Diese aber viermal, da wir vier Beine haben. Nehmen wir $\pi\approx 3,\!14$ an, erhalten wir folgende Oberfläche für den Thron:

  $O_\text{Thron}= O_\text{Quader} + O_\text{Prisma} + 4\cdot M_\text{Zylinder} \approx 3\,633,\!6~\text{dm}^2$

• Ermittle die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

  Tipps

  Bei einem rechtwinkligen Dreieck $\Delta_{ABC}$ mit den Katheten $a$ und $b$ brauchst du für den Flächeninhalt die Höhe nicht extra berechnen. Die Katheten $a$ und $b$ stehen nämlich senkrecht aufeinander. Es gilt also $h_b=a$ sowie $h_a=b$. Für den Flächeninhalt folgt dann:

  $A= \frac12 a \cdot h_a = \frac12 a b$

  Lösung

  Oberfläche des Quaders: Tischplatte

  Die Tischplatte ist ein Quader, du kannst daher die folgende allgemeine Formel nutzen:

  • $O_\text{Quader}=2lh + 2bh +2 bl=2(lh+bh+bl)$

  Mit der Länge $l=120 \text{ cm}$, der Breite $b=80 \text{ cm}$ und der Höhe $h=4 \text{ cm}$ erhalten wir folgende Quaderoberfläche:

  $\begin{array}{lll} O_\text{Quader} &=& 2lh+ 2bh + 2 bl \\ &=& 2\cdot 120~\text{cm}\cdot 4~\text{cm} + 2\cdot 80~\text{cm}\cdot 4~\text{cm} +2 \cdot 80~\text{cm} \cdot 120~\text{cm} \\ &=& 20\,800~\text{cm}^2\\ \end{array}$

  Oberfläche des Prismas: ein Tischbein

  Die Tischbeine sind jeweils dreiseitige Prismen mit einem rechtwinkligen Dreieck als Grundfläche. Für die Oberfläche eines dreiseitigen Prismas gilt allgemein:

  • $O_\text{Prisma}= 2 G_\Delta + M_\text{Prisma}$

  Für den Flächeninhalt des Dreiecks brauchen wir keine Höhe berechnen. Da wir ein rechtwinkliges Dreieck haben, stehen die Katheten senkrecht aufeinander und bilden daher gegenseitig ihre jeweiligen Höhen. Die Katheten sind hier mit $3~\text{cm}$ und $4~\text{cm}$ gegeben:

  $G_\Delta=\frac 12 \cdot 3~\text{cm} \cdot 4~\text{cm}=6~\text{cm}^2$

  Für die Mantelfläche des Prismas benötigen wir den Umfang des rechtwinkligen Dreiecks:

  $U_\Delta= 3~\text{cm} + 4~\text{cm}+ 5~\text{cm}= 12~\text{cm}$

  Diesen multiplizieren wir mit der Höhe des Prismas, um die rechteckige Mantelfläche zu erhalten:

  $M_\text{Prisma}=U_\Delta \cdot h_\text{Prisma} = 12~\text{cm} \cdot 75~\text{cm} = 900~\text{cm}^2$

  Es ergibt sich folgende Oberfläche für ein Prisma:

  $O_\text{Prisma}= 2 G_\Delta + M_\text{Prisma}=2\cdot 6~\text{cm}^2 +900~\text{cm}^2 = 912~\text{cm}^2$

  Oberfläche des Tischs

  Für den Tisch addieren wir die Oberfläche der Tischplatte zu den Mantelflächen der vier Tischbeine. Da die Beine an der Tischplatte befestigt sind, sind sowohl die Deckflächen der Tischbeine als auch die Befestigungsstellen an der Grundfläche des Quaders nicht zu sehen. Daher berücksichtigen wir bei der Berechnung Deck- und Grundfläche der Tischbeine nicht:

  $\begin{array}{lll} O_\text{Tisch} &=& O_\text{Quader} + 4 M_\text{Prisma} \\ &=& 20\,800~\text{cm}^2 + 4\cdot 900~\text{cm}^2 \\ &=& 24\,400~\text{cm}^2 \\ \end{array}$

• Entscheide, wie groß die Oberflächen der Körper sind.

  Tipps

  Die Oberfläche eines Prismas bestimmst du mit $O_\text{Prisma}= M_\text{Prisma} + 2 G_\Delta$.

  Es gilt für die Fläche eines Kreises $A_\text{Kreis}=\pi \cdot r^2$ und für den Umfang eines Kreises $U_\text{Kreis}=2 \pi \cdot r$.

  Lösung

  Zylinder:

  • Mantelfläche

  Die Mantelfläche eines Zylinders kann man aufklappen. Man erhält ein Rechteck, bei dem eine Seite die Höhe des Zylinders ist und die andere der Umfang des Kreises, der als Grundfläche dient.

  $\begin{array}{rcl} M_\text{Zylinder} &=& U_\text{Kreis} \cdot h_\text{Zylinder} \\ &=& 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h_\text{Zylinder} \\ &=& 2 \cdot 3~\text{cm} \cdot \pi \cdot 6~\text{cm} \\ &=& 36 \pi~\text{cm}^2 \\ &\approx& 113,\!1~\text{cm}^2 \\ \end{array}$

  • Oberfläche

  Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich aus der Mantelfläche und der Flächeninhalte der beiden kongruenten Kreise als Deck- und Grundfläche zusammen.

  $\begin{array}{rcl} O_\text{Zylinder}&=& M_\text{Zylinder} + 2 G_\text{Kreis}\\ &=& M_\text{Zylinder} + 2\cdot r^2 \cdot \pi \\ &=& M_\text{Zylinder} + 2\cdot (3~\text{cm})^2 \cdot \pi \\ &=& 36 \pi~\text{cm}^2 + 18 \pi~\text{cm}^2 \\ &=& 54 \pi~\text{cm}^2 \\ &\approx& 169,\!65~\text{cm}^2 \\ \end{array}$

  Prisma:

  • Mantelfläche

  Die Mantelfläche eines Prismas besteht aus drei Rechtecken. Klappt man sie auf, erhält man ein großes Rechteck, bei dem eine Seite der Höhe des Prismas entspricht und die andere dem Umfang des Dreiecks, das als Grundfläche dient.

  $\begin{array}{rcl} M_\text{Prisma} &=& U_\Delta \cdot h_\text{Prisma} \\ &=& (4,\!8~\text{cm} + 3,\!9~\text{cm} + 3,\!9~\text{cm}) \cdot 6~\text{cm} \\ &=& 12,\!6~\text{cm} \cdot 6~\text{cm} \\ &=&75,\!6~\text{cm}^2 \\ \end{array}$

  • Oberfläche

  Die Oberfläche eines Prismas setzt sich aus der Mantelfläche und der Flächeninhalte der beiden kongruenten Dreiecke als Deck- und Grundfläche zusammen.

  $\begin{array}{rcl} O_\text{Prisma}&=& M_\text{Prisma} + 2 G_\Delta \\ &=& M_\text{Prisma} + 2 \cdot \frac 1 2 g\cdot h_g \\ &=& M_\text{Prisma} + 4,\!8~\text{cm}\cdot 3~\text{cm} \\ &=& 75,\!6~\text{cm}^2 + 14,\!4~\text{cm}^2 \\ &=& 90~\text{cm}^2 \\ \end{array}$

  Zusammengesetzter Körper: Der Körper besteht aus dem Prisma und dem Zylinder, wobei sie an der Grundfläche das Prismas verbunden sind, daher muss für das Prisma nur die Mantelfläche genutzt werden.

  $\begin{array}{rcl} O_\text{Gesamt}&=&O_\text{Zylinder}+ M_\text{Prisma} \\ &\approx& 169,\!65~\text{cm}^2 +75,\!6~\text{cm}^2 \\ &\approx& 245,\!25~\text{cm}^2 \\ \end{array}$

• Ergänze die Tabelle zur Berechnung der Oberfläche des Quaders.

  Tipps

  Bei einem Quader sind immer die beiden gegenüberliegenden Seitenflächen kongruent, also deckungsgleich. Für die Gesamtoberfläche brauchst du also nur drei unterschiedliche Flächen des Quaders berechnen und diese dann jeweils verdoppeln.

  Bei diesem Quader haben die Grund- und Deckfläche jeweils einen Flächeninhalt von:

  $A= 3~\text{cm} \cdot 5~\text{cm}= 15~\text{cm}^2$.

  Lösung

  Der Quader hat eine Länge von $25~\text{dm}$, eine Breite von $22~\text{dm}$ und eine Höhe von $4~\text{dm}$. Die Grund- und Deckfläche sind Rechtecke mit dem Flächeninhalt:

  $A= 25~\text{dm} \cdot 22~\text{dm}= 550~\text{dm}^2$

  Da wir diese Fläche oben und unten, also insgesamt zweimal haben, ergeben sich hier also:

  $2 \cdot 550~\text{dm}^2= 1\,100~\text{dm}^2$

  Die Flächen vorne und hinten berechnen wir wie folgt:

  $A= 22~\text{dm} \cdot 4~\text{dm}= 88~\text{dm}^2$

  Auch diese Fläche haben wir zweimal, insgesamt erhalten wir also $176~\text{dm}^2$.

  Um die linke und rechte Fläche des Quaders zu berechnen, multiplizieren wir die Breite mit der Höhe, also folgt:

  $A= 25~\text{dm} \cdot 4~\text{dm}= 100~\text{dm}^2$

  Mit der anderen deckungsgleichen Fläche sind das also $200~\text{dm}^2$.

  Zum Schluss müssen wir alle diese Werte noch addieren und erhalten so eine Oberfläche von $1\,476~\text{dm}^2$.

• Bestimme die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

  Tipps

  Für die Mantelfläche des Kegels gilt: $M_\text{Kegel}= \pi \cdot \text{Radius} \cdot \text{Seitenh}\ddot{\text{o}}\text{he}$

  Lösung

  Der Grundbaustein des Turms ist ein ausgehöhlter Zylinder mit der Höhe $6 \text{cm}$ und dem Radius $4 \text{cm}$. Bedenke, dass wir hier mit $\pi=3,\!14$ rechnen. Für die Außenseite berechnen wir die Mantelfläche des großen Zylinders:

  $\begin{array}{rcl} M_\text{Zylinder (außen)}&=& 2\cdot r_\text{außen} \cdot \pi \cdot h_\text{Zylinder}\\ &=& 2\cdot 4~\text{cm} \cdot \pi \cdot 6~\text{cm} \\ &=&150,\!72~\text{cm}^2 \\ \end{array}$

  Genauer mit nicht vereinfachtem $\pi$: $150,\!80~\text{cm}^2$.

  Für die Innenseite berechnen wir die Mantelfläche des kleinen Zylinders, der ausgehöhlt wurde.

  $\begin{array}{rcl} M_\text{Zylinder (innen)}&=& 2\cdot r_\text{innen} \cdot \pi \cdot h_\text{Zylinder}\\ &=& 2\cdot 3~\text{cm} \cdot \pi \cdot 6~\text{cm} \\ &=& 113,\!04~\text{cm}^2\\ \end{array}$

  Genauer mit nicht vereinfachtem $\pi$: $113,\!10~\text{cm}^2$.

  Da der Kegel auf die Deckfläche gesetzt wird und so diese Fläche sowohl auf dem Kegel als auch auf dem Zylinder nicht zu sehen ist, brauchen wir die Grund- und Deckfläche nicht berechnen.

  Der Kegel ist nicht ausgehöhlt und die Fläche, an der die Körper zusammengesetzt wurden, wurde schon beim Zylinder abgezogen. Daher benötigen wir die gesamte Oberfläche vom Kegel.

  Für die Grundfläche gilt:

  $\begin{array}{rcl} G_\circ&=& (r_\text{außen})^2 \cdot \pi \\ &=& (4~\text{cm})^2 \cdot \pi \\ &=& 50,\!24~\text{cm}^2 \\ \end{array}$

  Genauer mit nicht vereinfachtem $\pi$: $50,\!27~\text{cm}^2$.

  Für die Mantelfläche des Kegels braucht man die Seitenhöhe und den Radius:

  $\begin{array}{rcl} M_\text{Kegel} &=& \pi \cdot \text{Radius} \cdot \text{Seitenh}\ddot{\text{o}}\text{he} \\ &=& \pi \cdot r_\text{außen} \cdot s \\ &=& \pi \cdot 4~\text{cm} \cdot 7~\text{cm} \\ &=& 87,\!92~\text{cm}^2 \\ \end{array}$

  Genauer mit nicht vereinfachtem $\pi$: $87,\!96~\text{cm}^2$.

  Jenny braucht also Farbe für eine Fläche von $150,\!72~\text{cm}^2 +113,\!04~\text{cm}^2+50,\!24~\text{cm}^2+87,\!92~\text{cm}^2=401,\!92~\text{cm}^2$.

  Genauer mit nicht vereinfachtem $\pi$: $402,\!12~\text{cm}^2$.