Höhen in Vierecken

Höhen in Vierecken Übung

• Benenne die Eigenschaften von Höhen in unterschiedlichen Vierecken.

  Tipps

  Die Höhe der Brücke ist der Abstand zwischen der Wasseroberfläche und der Unterkante der Brücke.

  Nicht jedes Viereck hat zwei Höhen.

  Die Höhe steht auf den zugehörigen Seiten senkrecht.

  Lösung

  Die Höhe in einem Viereck ist eine Strecke, die senkrecht auf zwei gegenüberliegenden Seiten des Vierecks steht. Da sie beide zu der Höhe senkrecht sind, müssen diese beiden Viereckseiten zueinander parallel sein. Nicht jedes Viereck hat zwei zueinander parallele Seiten, daher hat auch nicht jedes Viereck eine Höhe. Ein Viereck mit nur zwei zueinander parallelen Seiten nennt man Trapez.

  Da sie auf zwei zueinander parallelen Seiten des Vierecks senkrecht steht, entspricht die Höhe dem Abstand dieser beiden Seiten. Die Höhe kann daher auch beliebig entlang der Seiten verschoben werden, solange die Orthogonalität zu den Seiten erhalten bleibt.

  Hat ein Viereck zwei verschiedene Paare zueinander paralleler Seiten, so gibt es auch zwei verschiedene (und nicht parallele) Strecken, die jeweils zu zwei parallelen Seiten senkrecht stehen. Man spricht dann von einem Parallelogramm. Dieses hat zwei verschiedene Höhen. Andere Vierecke haben eine Höhe. Ein Viereck, das kein Trapez ist, hat keine Höhe.

  Spezielle Vierecke sind Rechteck und Quadrat. In einem Quadrat sind alle Seiten und Höhen gleich lang. Bei einem Rechteck, das kein Quadrat ist, gibt es zwei verschieden lange Seiten, die man üblicherweise mit $a$ und $b$ bezeichnet. In einem solchen Rechteck ist die Höhe zu einer Seite die jeweils andere Seite. Die Höhe zur Seite $a$ bezeichnet man z. B. mit $h_a$, die Höhe zu der Seite $b$ mit $h_b$. Es gilt also:

  $h_a =b$ und $h_b=a$.

  Ein Trapez, das kein Parallelogramm ist, hat nur zwei zueinander parallele Seiten und daher nur eine Höhe. Bei dem Trapez im Bild sind die Seiten $b$ und $d$ zueinander parallel. Die Höhe ist der Abstand dieser beiden Seiten oder eine Strecke zwischen den beiden Seiten, die zu beiden orthogonal ist. Um die Höhe als Strecke einzeichnen zu können, darf man eine der Seiten des Vierecks verlängern. Zwischen den Seiten $a$ und $c$ bei dem Trapez im Bild gibt es keine Höhe, denn diese Seiten sind nicht parallel zueinander.

• Zeige die Höhen in den Vierecken auf.

  Tipps

  Jede Höhe in einem Viereck steht auf zwei Seiten senkrecht.

  Um die Höhe in einem Trapez oder Parallelogramm einzuzeichnen, musst du eventuell eine Seite des Vierecks verlängern.

  Eine Diagonale eines Parallelogramms oder eines nicht-verschränkten Trapezes kann keine Höhe sein.

  Lösung

  Eine Höhe in einem Viereck ist der senkrechte Abstand zweier paralleler Seiten des Vierecks. Es handelt sich also um eine Strecke zwischen zwei Seiten des Vierecks, die zu beiden Seiten orthogonal ist.

  In dem Bild siehst du ein Parallelogramm und ein asymmetrisches Trapez. Das Parallelogramm hat zwei Paare zueinander paralleler Seiten und daher auch zwei Höhen. Bei dem Trapez gibt es nur zwei Seiten, die zueinander parallel sind und daher nur eine Höhe.

  Bei dem Parallelogramm siehst du zusätzlich zu den beiden Höhen eine Diagonale. Diese ist keine Höhe, denn sie steht auf keiner Seite des Parallelogramms senkrecht. Außerdem siehst du eine Strecke, die senkrecht auf einer verlängerten Seite steht, aber nicht bis zur anderen Seite reicht. Dies ist ebenfalls keine Höhe des Vierecks.

  Bei dem Trapez siehst du zusätzlich zu der Höhe eine Diagonale. Diese ist keine Höhe, denn sie steht auf keiner Seite des Trapezes senkrecht. Außerdem siehst du eine Strecke, die auf der rechten Seite des Vierecks senkrecht steht, aber die linke Seite in einem spitzen bzw. stumpfen Winkel trifft. Diese ist ebenfalls keine Höhe, denn sie steht nicht auf zwei Seiten des Vierecks senkrecht.

• Analysiere die Bilder.

  Tipps

  Eine Höhe in einem Viereck schneidet nicht zwei nebeneinander liegende Seiten des Vierecks.

  Jede Höhe in einem Viereck steht senkrecht auf zwei Seiten des Vierecks.

  Die Länge der Höhe ist der Abstand der beiden parallelen Seiten des Vierecks, zu denen die Höhe senkrecht steht. Bei der Brücke sind diese parallelen Seiten die Ober- und Unterkante des Brückenpfeilers.

  Lösung

  Die Höhe in einem Viereck ist der senkrechte Abstand zweier paralleler Geraden. Man bezeichnet auch jede Strecke zwischen den beiden parallelen Seiten (bzw. ihren Verlängerungen), die auf beiden senkrecht steht, als Höhe des Vierecks. Wir gehen die Bilder einzeln durch:

  Das Bild oben links zeigt ein Trapez. Die eingezeichnete Strecke ist orthogonal zu der unteren horizontalen Seite des Vierecks, erreicht aber die obere Seite oder deren Verlängerung nicht. Diese Strecke ist daher kürzer als der Abstand der parallelen Seiten und daher keine Höhe.

  Das Viereck oben in der Mitte ist ein verschränktes Trapez. Hier ist die vertikale Seite zugleich eine Höhe, denn sie steht senkrecht auf den beiden parallelen Seiten. Die Länge dieser vertikalen Strecke ist genau der Abstand der beiden parallelen, horizontalen Seiten.

  Oben rechts siehst du ein Rechteck. Bei einem Rechteck ist jede Seite auch eine Höhe. Hat das Rechteck (wie hier im Bild) verschieden lange Seiten, so ist jede Seite die Höhe der anderen Seite, d. h. $h_a = b$ und $h_b=a$.

  Das Viereck in der zweiten Reihe links ist ein Parallelogramm. Jedes Parallelogramm hat zwei Paare zueinander paralleler Seiten und daher zwei verschiedene Höhen. In dem Bild ist die Höhe zu den horizontalen Seiten korrekt eingezeichnet. Die Höhe zu den schrägen Seiten fehlt. Eingezeichnet ist zusätzlich eine Parallele zu den horizontalen Seiten. Diese ist keine Höhe, denn sie steht nicht senkrecht auf den schrägen Seiten.

  In der zweiten Reihe rechts siehst du ein weiteres Trapez. Dieses Trapez hat nur eine Höhe, da die beiden nicht horizontalen Seiten nicht parallel zueinander sind. Man kann die Höhe so einzeichnen, dass sie beide Seiten ohne Verlängerungen trifft. Aber die eingezeichnete Strecke von der oberen Seite senkrecht auf die Verlängerung der unteren Seite ist ebenfalls eine Höhe dieses Trapezes.

  Unten siehst du ein weiteres Parallelogramm. In dem Bild sind die beiden Höhen korrekt eingezeichnet. Zusätzlich ist eine Strecke zwischen der oberen und der rechten Seite des Parallelogramms eingezeichnet. Dies ist keine Höhe, da die Strecke auf keiner der Seiten senkrecht steht.

• Bestimme die Höhe.

  Tipps

  Ein Viereck besitzt nur dann eine Höhe, wenn es mindestens zwei parallele Seiten hat.

  Eine Höhe eines Vierecks steht senkrecht auf einer Seite, aber nicht jede Strecke, die senkrecht auf einer Seite eines Vierecks steht, ist eine Höhe des Vierecks.

  Lösung

  Ein Viereck besitzt genau dann eine Höhe, wenn es zwei parallele Seiten hat. Ein Parallelogramm hat zwei Paare paralleler Seiten und daher zwei verschiedene Höhen. Jede Strecke zwischen den beiden parallelen Seiten, die auf diesen Seiten senkrecht steht, ist eine Höhe. Wir gehen die Vierecke im Einzelnen durch:

  Viereck 1: Das Viereck mit den drei Strecken $a$, $b$ und $c$ ist ein Trapez und kein Parallelogramm. Die Strecke $a$ ist die einzige, die auf den parallelen Seiten senkrecht steht, daher ist $a$ die einzige Höhe dieses Vierecks.

  Viereck 2: Das Viereck mit den Strecken $d$, $e$ und $f$ ist ein Drachenviereck ohne parallele Seiten. Es besitzt daher keine Höhe.

  Viereck 3: Das Trapez mit den Strecken $g$, $h$ und $k$ ist kein Parallelogramm, es besitzt daher nur eine Höhe. Von den eingezeichneten Strecken ist einzig $k$ eine Höhe.

  Viereck 4: Das Viereck mit den Strecken $l$, $m$ und $n$ ist ein Trapez, denn die rechte und linke Seite sind parallel zueinander. Von den eingezeichneten Strecken ist keine eine Höhe. Die Höhe dieses Vierecks steht senkrecht auf der rechten und linken Seite, verläuft also in etwa parallel zu der unteren Seite.

  Viereck 5: Das Viereck mit den Strecken $p$, $q$ und $r$ ist kein Trapez und besitzt daher keine Höhe.

  Viereck 6: Das Viereck mit den Strecken $u$, $v$ und $w$ ist ein Parallelogramm, bei dem zusätzlich alle Seiten gleich lang sind, also eine Raute. Es besitzt zwei Höhen. Von diesen ist nur eine eingezeichnet, nämlich die Strecke $w$.

  Viereck 7: Das Viereck mit den Strecken $x$, $y$ und $z$ ist ebenfalls ein Parallelogramm, aber keine Raute. Von seinen beiden Höhen ist nur eine eingezeichnet, nämlich $y$. Diese Höhe ist zugleich eine Diagonale des Parallelogramms.

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  Die Diagonale eines Vierecks ist die Verbindungsstrecke zweier gegenüberliegender Eckpunkte.

  Die Höhe im Viereck bestimmt Vincenzo, um den Abstand der Wasseroberfläche zur Unterkante der Brücke herauszufinden.

  In einem Rechteck sind die Seiten jeweils auch Höhen.

  Lösung

  Als Höhe in einem Viereck bezeichnet man den senkrechten Abstand zweier zueinander paralleler Seiten des Vierecks oder eine Strecke zwischen zwei Seiten des Vierecks, die auf beiden senkrecht steht. Wo diese Strecke eingezeichnet wird, ist nicht festgelegt. Um die Höhe als Strecke einzeichnen zu können, darf man die Seiten eines Vierecks verlängern. Ein Viereck besitzt genau dann eine Höhe, wenn es ein Trapez ist und genau dann zwei Höhen, wenn es ein Parallelogramm ist.

  Mit diesen Überlegungen findest du folgende korrekten Sätze:

  • Die Höhe in einem Viereck ... ist der Abstand zweier paralleler Seiten.

  • In einem Quadrat ... haben die beiden Höhen dieselbe Länge.

  • In einem Rechteck, das kein Quadrat ist, ... gibt es zwei Höhen verschiedener Länge.

  • In einem Trapez, das kein Parallelogramm ist, ... gibt es nur eine Höhe.

• Analysiere die Sätze über die Höhe im Viereck.

  Tipps

  In einem Viereck stehen genau dann die beiden Höhen aufeinander senkrecht, wenn es ein Rechteck ist.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Die Höhe in einem Viereck steht senkrecht zu mindestens zwei Seiten.“ In einem Viereck ist die Höhe der Abstand zweier paralleler Seiten bzw. eine Strecke zwischen diesen Seiten, die auf beiden senkrecht steht. Die Aussage ist ebenso korrekt, wenn man „mindestens zwei“ durch „genau zwei“ ersetzt.

  • „Es gibt kein Viereck, in dem eine Höhe auf einer Diagonalen senkrecht steht.“ Eine Höhe eines Vierecks steht senkrecht auf zwei parallelen Seiten. Stünde eine Höhe senkrecht auf einer Diagonalen, so wäre diese Diagonale parallel zu einer der Seiten. Das ist nicht möglich.

  • „Eine Raute ist genau dann ein Quadrat, wenn ihre Höhen orthogonal sind.“ Ein Viereck hat höchstens zwei Höhen. In einem Quadrat sind die Seiten auch Höhen. Die beiden Höhen sind daher orthogonal. Eine Raute ist genau dann ein Quadrat, wenn alle Innenwinkel rechte Winkel sind. Wegen der Orthogonalität der Höhen zu den Seiten ist dies genau dann der Fall, wenn die Höhen orthogonal sind.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Die Diagonale eines Vierecks kann keine Höhe des Vierecks sein.“ Bei einem verschränkten Trapez liegen die Diagonalen außerhalb der Fläche des Vierecks. Ist das verschränkte Trapez spiegelsymmetrisch zu der Mittelsenkrechten der parallelen Seiten, so sind die Diagonalen zugleich Höhen des Vierecks. Im Bild siehst du ein solches verschränktes Trapez. Die Diagonalen sind rot eingezeichnet. Bei dem Parallelogramm im Bild ist ebenfalls eine der beiden Diagonalen zugleich eine Höhe.

  • „Die kürzeste Höhe eines Vierecks ist höchstens so lang wie die kürzeste Seite.“ Bei einem Trapez kann die Höhe länger als die kürzeste Seite sein.

  • „Sind alle Höhen eines Vierecks gleich lang, so ist das Viereck ein Quadrat.“ Auch bei einer Raute sind je zwei Höhen gleich lang.

  • „Jede Höhe eines Vierecks ist kürzer als jede Diagonale des Vierecks.“ Bei dem verschränkten Trapez im Bild sind die Diagonalen zugleich die Höhen des Vierecks. Insbesondere sind die Höhen und Diagonalen gleich lang. Bei einem Parallelogramm ist das ebenfalls möglich, wie du in dem Bild siehst.