Quadrate und Rechtecke konstruieren

Quadrate und Rechtecke konstruieren Übung

• Konstruiere ein Quadrat mit der Seitenlänge $5~\text{cm}$.

  Tipps

  Du beginnst die Konstruktion immer mit einer Seite des Quadrats.

  Anschließend musst du die Lage der weiteren Eckpunkte nacheinander konstruieren.

  Lösung

  Ein Quadrat hat vier Eckpunkte, vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel.

  Um ein Quadrat mit der Seitenlänge $5~\text{cm}$ zu konstruieren, können wir folgendermaßen vorgehen:

  1. Wir zeichnen eine Seite der Länge $5~\text{cm}$ mit den Eckpunkten $A$ und $B$.
  2. Wir errichten eine Senkrechte im Punkt $A$.
  3. Wir markieren den Eckpunkt $D$ im Abstand von $5~\text{cm}$ zu $A$ auf der Senkrechten.
  4. Wir ermitteln die Lage des letzten Eckpunkts $C$ als Schnittpunkt zweier Kreise um $B$ und $D$ mit der Seitenlänge als Radius.
  5. Wir verbinden die Eckpunkte zu einem Quadrat.

• Beschreibe das Vorgehen zur Konstruktion der Senkrechten in einem Punkt.

  Tipps

  Du benötigst für die Konstruktion zwei Hilfspunkte.

  Probiere aus, was passiert, wenn du die Zirkelspanne für den zweiten Konstruktionsschritt nicht veränderst, vergrößerst oder verkleinerst.

  Lösung

  Um die Senkrechte in einem Punkt zu konstruieren, brauchen wir zunächst zwei Hilfspunkte. Diese erhalten wir, wenn wir einen Kreisbogen mit beliebigem Radius um den Punkt ziehen, als Schnittpunkte mit der Grundseite.

  Nun ziehen wir um jeden dieser Hilfspunkte erneut einen Kreisbogen. Dabei müssen wir die Zirkelspanne vergrößern, damit sich die beiden Kreise in zwei Punkten schneiden. Lassen wir die Zirkelspanne unverändert, berühren sich beide Kreisbogen in unserem ursprünglichen Punkt. Wenn wir die Zirkelspanne verringern, dann schneiden sich die Kreisbogen nicht.

  Zuletzt ziehen wir eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der Kreisbogen. Diese Gerade ist unsere gesuchte Senkrechte. Sie geht durch unseren Punkt und steht senkrecht zur Grundseite.

• Beschreibe das Vorgehen zur Konstruktion des Rechtecks.

  Tipps

  Alle Punkte auf einem Kreis haben denselben Abstand vom Mittelpunkt. Dieser Abstand ist der Radius des Kreises.

  Überlege dir, welchen Abstand die verschiedenen Eckpunkte des Rechtecks voneinander haben.

  Lösung

  Um ein Rechteck mit den Seitenlängen $7~\text{cm}$ und $18~\text{cm}$ zu konstruieren, gehen wir folgendermaßen vor:

  • Wir zeichnen die Grundseite $AB$ mit der Länge $18~\text{cm}$.
  • Wir errichten die Senkrechte im Punkt $A$.
  • Wir ziehen einen Kreisbogen um $A$ mit Radius $7~\text{cm}$. Der Eckpunkt $D$ liegt auf diesem Kreisbogen, da er von $A$ den Abstand $7~\text{cm}$ hat. So können wir den Punkt $D$ auf der Senkrechten markieren.
  • Der Eckpunkt $C$ ist $7~\text{cm}$ von $B$ und $18~\text{cm}$ von $D$ entfernt. Wir können ihn daher als Schnittpunkt von einem Kreisbogen um $D$ mit Radius $18~\text{cm}$ und einem Kreisbogen um $B$ mit Radius $7~\text{cm}$ konstruieren.
  • Zuletzt verbinden wir alle vier Eckpunkte zu einem Rechteck.

• Entscheide, aus welchen Angaben du das Quadrat oder Rechteck eindeutig konstruieren kannst.

  Tipps

  Mache dir eine Skizze und überlege, wie du die Punkte nach und nach konstruieren kannst.

  Nutze die gegebenen Längen als Abstände zwischen den Eckpunkten.

  Lösung

  Wir wissen, wie wir Quadrate und Rechtecke konstruieren:

  1. Wir zeichnen die Grundseite mit der gegebenen Länge.
  2. Wir errichten die Senkrechten in beiden Eckpunkten auf der Grundseite.
  3. Wir markieren die fehlenden Eckpunkte, indem wir die Längen der Seiten mit dem Zirkel abtragen.
  4. Wir verbinden die Eckpunkte.

  • Mit dieser Vorgehensweise können wir ein Quadrat mit der Seitenlänge $a = 3~\text{cm}$ konstruieren.

  • Ein Quadrat mit zwei verschieden langen Seiten $a = 3~\text{cm}$ und $b = 1~\text{cm}$ existiert nicht. Daher können wir es auch nicht konstruieren.

  • Eine Diagonale verbindet in einem Viereck zwei gegenüberliegende Ecken. In Rechtecken und Quadraten haben die beiden Diagonalen $\text{AC}$ und $\text{BD}$ dieselbe Länge $d$. Deshalb können wir ein Rechteck mit der Seitenlänge $a = 6~\text{cm}$ und einer Diagonalen mit Länge $d = 10~\text{cm}$ konstruieren.

  Dazu beginnen wir wie gewohnt mit der Grundseite $a = 6~\text{cm}$ und errichten die Senkrechte in $\text{A}$ und $\text{B}$. Die Eckpunkte $\text{C}$ und $\text{D}$ erhalten wir dann folgendermaßen:
  $\text{C}$ liegt auf der Senkrechten in $\text{B}$ und hat von $\text{A}$ den Abstand $d = 10~\text{cm}$. Das heißt, wir können $\text{C}$ dort markieren, wo ein Kreisbogen um $\text{A}$ mit Radius $10~\text{cm}$ die Senkrechte in $\text{B}$ schneidet.
  Ebenso markieren wir $\text{D}$ dort, wo ein Kreisbogen um $\text{B}$ mit Radius $10~\text{cm}$ die Senkrechte in $\text{A}$ schneidet.

  • Ein Quadrat mit der Diagonalen $d = 5~\text{cm}$ können wir ebenfalls konstruieren.

  Hier beginnen wir, indem wir die Diagonale $\text{AC}$ mit der Länge $d = 5~\text{cm}$ zeichnen. Nun errichten wir die Senkrechte in der Mitte der Diagonalen. In einem Quadrat sind die Diagonalen gleich lang und schneiden sich in einem rechten Winkel. Daher liegen die anderen beiden Eckpunkte $\text{B}$ und $\text{D}$ an den Schnittpunkten dieser Senkechten mit einem Kreisbogen um den Mittelpunkt der Diagonalen mit Radius $\dfrac{d}{2} =\dfrac{{5}~\text{cm}}{2} = 2,5~\text{cm}$.

  • Mit der Angabe der Diagonalen $d = 8~\text{cm}$ allein können wie ein Rechteck nicht eindeutig konstruieren.

  Hier gibt es mehrere Möglichkeiten, wie lang $a$ und $b$ sein können. Du kannst verschiedene Rechtecke mit $d = 8~\text{cm}$ zum Beispiel konstruieren, indem du zunächst einen Kreisbogen mit Radius $8~\text{cm}$ zeichnest. Wenn du in diesem Kreisbogen zwei beliebige Diagonalen durch den Mittelpunkt einzeichnest, so ergeben die Schnittpunkte dieser Diagonalen mit dem Kreisbogen immer die Eckpunkte $A$, $B$, $C$ und $D$ eines Rechtecks mit $d = 8~\text{cm}$.

• Gib wichtige Eigenschaften von Quadraten und Rechtecken an.

  Tipps

  Überlege, welche Eigenschaften für die jeweilige Figur erfüllt sein müssen.

  Lösung

  Sowohl Quadrate als auch Rechtecke haben vier Eckpunkte und vier rechte Winkel. Bei einem Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang, ein Rechteck kann hingegen zwei unterschiedliche Seitenlängen haben.

  Demnach sind die folgenden Aussagen richtig:

  • Jedes Quadrat hat vier gleich lange Seiten.
  • Ein Rechteck hat vier Ecken und vier rechte Winkel.
  • Bei einem Rechteck haben zwei Seiten, die einander gegenüberliegen, jeweils die gleiche Länge.

  Ein Rechteck kann zwei unterschiedlich lange Seiten haben. Dabei sind Seiten, die einander gegenüberliegen, stets gleich lang.

  • Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck.

  Bei einem Quadrat müssen alle Seiten dieselbe Länge haben. Bei einem Rechteck sind zwar zwei unterschiedliche Seitenlängen möglich, die Seiten können aber auch alle gleich lang sein.

  Die folgenden Aussagen sind falsch:

  • Jedes Rechteck hat drei gleich lange Seiten.

  Es gibt Rechtecke, bei denen alle Seiten gleich lang sind. Allgemein kann ein Rechteck aber zwei unterschiedliche Seitenlängen haben. Dabei haben stets zwei Seiten, die einander gegenüberliegen, dieselbe Länge.

  • Ein Quadrat hat vier Ecken und beliebig große Winkel.

  Ein Quadrat muss vier rechte Winkel haben.

  • Jedes Rechteck ist auch ein Quadrat.

  Ein Rechteck mit zwei unterschiedlichen Seitenlängen ist kein Quadrat, da bei einem Quadrat alle vier Seiten gleich lang sein müssen.

• Bestimme, welche Konstruktionsschritte zu welchem Rechteck passen.

  Tipps

  Die Kreisradien bei der Konstruktion entsprechen den Seitenlängen des Rechtecks.

  Überlege, welche Abstände die verschiedenen Eckpunkte voneinander haben.

  Lösung

  Wir nutzen bei der Konstruktion von Rechtecken Kreise, damit die Eckpunkte die richtigen Abstände zueinander haben.

  Aus den Konstruktionsschritten können wir die folgenden Rückschlüsse auf das Rechteck ziehen:

  • $C$ auf Kreis mit Radius $3$ cm um $B$

  Die Seiten $BC$ und $DA$ haben die Länge $3~\text{cm}$.

  • $D$ auf Kreis mit Radius $9$ cm um $C$

  Die Seiten $CD$ und $AB$ haben die Längen $9~\text{cm}$.

  • $C$ auf Kreis mit Radius $9$ cm um $B$

  Die Seiten $BC$ und $DA$ haben die Länge $9~\text{cm}$.

  • $A$ auf Kreis mit Radius $9$ cm um $D$

  Die Seiten $BC$ und $DA$ haben die Länge $9~\text{cm}$.

  • $C$ auf Kreis mit Radius $2$ cm um $D$

  Die Seiten $CD$ und $AB$ haben die Längen $2~\text{cm}$.

  • $D$ auf Kreis mit Radius $2$ cm um $A$

  Die Seiten $BC$ und $DA$ haben die Länge $2~\text{cm}$.

  • $C$ auf Kreis mit Radius $2$ cm um $B$

  Die Seiten $BC$ und $DA$ haben die Länge $2~\text{cm}$.