Aus gegebenen Daten Terme aufstellen und berechnen

Aus gegebenen Daten Terme aufstellen und berechnen Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zum Berechnen von Termen.

  Tipps

  Terme vereinfachen ist eine wichtige Fähigkeit, die du häufig anwenden musst.

  Ein großer Vorteil von Termen ist die Möglichkeit, Zusammenhänge allgemein zu beschreiben (durch einen allgemeinen Term) und sie anschließend für Einzelfälle anzuwenden (Zahlen einzusetzen).

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „In Termen musst du unbekannte Größen mit $x$ bezeichnen. Du darfst keinen anderen Buchstaben verwenden.“

  • In der Mathematik wird $x$ oft als Variable verwendet. Du kannst allerdings jeden beliebigen Buchstaben als Variable benutzen.

  „Jeder Term steht immer in der einfachsten Form da. Du musst sie also generell nicht mehr vereinfachen.“

  • Meistens sind Terme nicht komplett vereinfacht, wenn du auf sie triffst. Terme vereinfachen ist eine wichtige Fähigkeit, die du häufig anwenden musst.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Wird in einem Term eine Variable mit einer Zahl multipliziert, heißt diese Koeffizient.“

  „In einem Term heißen Zahlen, die nicht mit Variablen multipliziert werden, Konstanten.“

  • So bezeichnet man Bestandteile eines linearen Terms.

  „ Möchtest du das Ergebnis eines Terms für einen bestimmten Wert einer Variablen bestimmen, kannst du diesen Wert für die Variable einsetzen und ausrechnen.“

  • Ein großer Vorteil von Termen ist die Möglichkeit, Zusammenhänge allgemein zu beschreiben (der allgemeine Term) und sie anschließend für Einzelfälle anzuwenden (Zahlen einzusetzen).

• Gib eine Rechnung mit Termen wieder.

  Tipps

  Beim Aufstellen eines Terms musst du dir zuerst überlegen, was du mit diesem Term ausdrücken möchtest (hier ist es Rap-Punzels Haarlänge). Dann überlegst du dir, was durch eine Variable beschrieben werden soll. Benenne diese Größe mit deiner Variablen (hier wird die Anzahl an Monaten mit $x$ bezeichnet).

  Um eine Haarlänge zu erhalten, setzt du die vergangene Anzahl an Monaten in deinen Term ein.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Der Anfangsbestand der Haare ist eine Konstante des Terms. Die vergangenen Monate können wir durch eine Variable ausdrücken. Zu dieser Variablen gehört ein Koeffizient, also die Länge, um die die Haare jeden Monat wachsen. So können wir folgenden Term aufstellen:

  $15 x+120$“

  • Beim Aufstellen eines Terms musst du dir zuerst überlegen, was du mit diesem Term ausdrücken möchtest (hier ist es Rap-Punzels Haarlänge). Dann überlegst du dir, was durch eine Variable beschrieben werden soll. Benenne diese Größe mit deiner Variablen (hier wird die Anzahl an Monaten mit $x$ bezeichnet). Anschließend überlegst du dir, wie sich eine Veränderung der Variablen auswirkt und formulierst das mathematisch (verändert sich die Variable um eins, verlängert sich das Haar um $15~\text{cm}$, also multiplizierst du die Variable mit diesem Wert). Zu deinem Term addierst du die Anfangslänge der Haare (hier $120~\text{cm}$).

  „Nach einem Monat sind die Haare also $135~\text{cm}$ lang. Nach sechs Monaten sind es schon $210~\text{cm}$.“

  • Um diese Werte zu erhalten, setzt du die vergangene Anzahl an Monaten in deinen Term ein. So erhältst du: $15 \cdot 1 +120= 135$ und $15 \cdot 6 +120= 210$

  „Mit regelmäßigen Friseurbesuchen kann Rap-Punzel die Länge ihrer Haare wie folgt beschreiben:

  $15 x - 8x +25$

  Das wiederum können wir wie folgt vereinfachen:

  $7 x +25$

  Diesmal sind die Haare nach sechs Monaten $67~\text{cm}$ lang.“

  • Oft kannst du deinen Term vor der Berechnung noch vereinfachen. Dabei zählst du alle gleichartigen Bestandteile zusammen (hier sind gleichartige Bestandteile alle Summanden, die ein $x$ enthalten und alle Summanden die nur aus Zahlen bestehen). Anschließend setzt du wieder ein.

• Erschließe die Werte der Tabelle.

  Tipps

  Die Tabelle kannst du durch Einsetzen vervollständigen. Dabei setzt du in die Variable $x$ die Zeit in Sekunden ein.

  Für die erste Lücke rechnest du:

  $4 \cdot 1+5 = ...$

  Lösung

  Die Tabelle kannst du durch Einsetzen vervollständigen. Dabei setzt du für die Variable $x$ die Zeit in Sekunden ein. So erhältst du für die ersten beiden Lücken:

  $3 \cdot 1+5 = 8$ und

  $2 \cdot 3+7 = 13$

  Damit kannst du die Tabelle vervollständigen zu:

  $\begin{array}{c|c|c} ~ & \text{Fahrrad}~ 1: & \text{Fahrrad}~2: \\ \text{Sekunden} & \text{Weg (m)} & \text{Weg (m)}\\ \hline 1 & 8 & 9\\ 3 & 14&13\\ 5 & 20&17\\ 8 & 29&23\\ 10 & 35&27\\ \end{array}$

• Bestimme zu den jeweiligen Termen die zugehörigen Werte.

  Tipps

  Erstelle Wertetabellen zu den drei Termen. Setze dabei für $x$ Werte zwischen $1$ und $10$ ein und vergleiche anschließend die gegebenen Werte mit deinen Tabellen.

  Die Wertetabelle zum Term $20x+130$ beginnt so:

  $\begin{array}{c|ccc} x & 1 & 2& 3\\ \hline \text{Ergebnis} &150& 170& 190 \\ \end{array}$

  Lösung

  Durch das Aufstellen von Wertetabellen, kannst du die Werte schnell den Termen zuordnen.

  • $70x -65$:

  $75$, $215$, $355$, denn diese Werte kommen nur bei diesem Term vor:

  $\begin{array}{c|cccccccccc} x & 1 & 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ \hline \text{Ergebnis} &5 &75& 145 &215 &285 &355& 425& 495& 565& 635\\ \end{array}$

  • $15x +150$:

  $195$, $255$, $300$, denn diese Werte kommen nur bei diesem Term vor:

  $\begin{array}{c|cccccccccc} x & 1 & 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ \hline \text{Ergebnis} &165 &180 &195& 210 &225& 240 &255& 270& 285 &300\\ \end{array}$

  • $-5x + 175$:

  $155$, $140$, $125$, denn diese Werte kommen nur bei diesem Term vor:

  $\begin{array}{c|cccccccccc} x & 1 & 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ \hline \text{Ergebnis} &170 &165& 160& 155 &150 &145 &140& 135 &130& 125\\ \end{array}$

• Ergänze die Tabelle.

  Tipps

  In einem Term heißen Zahlen, die nicht mit Variablen multipliziert werden, Konstanten.

  Wird in einem Term eine Variable mit einer Zahl multipliziert, heißt diese Koeffizient.

  Die Tabelle vervollständigst du, indem du die Werte in den Term einsetzt und berechnest. So erhältst du für den ersten Wert:

  • $15 \cdot 1 + 120=$

  Lösung

  Mit folgenden Überlegungen kannst du die Lücken füllen: In einem Term heißen Zahlen, die nicht mit Variablen multipliziert werden, Konstanten. Variablen sind unbekannte Größen, die du mit einem Buchstaben (häufig wird $x$ verwendet) bezeichnest. Wird in einem Term eine Variable mit einer Zahl multipliziert, heißt diese Zahl Koeffizient.

  Die Tabelle vervollständigst du, indem du die Werte in den Term einsetzt und berechnest. So erhältst du:

  • $15 \cdot 1 + 120=135$

  • $15 \cdot 3 + 120=165$

  • $15 \cdot 5 + 120=195$

• Ermittle die vereinfachten Terme.

  Tipps

  Die Terme kannst du vereinfachen, indem du gleichartige Bestandteile zunächst nebeneinander schreibst und anschließend verrechnest.

  Hier sind gleichartige Bestandteile alle Summanden, die ein $x$ enthalten, und alle Summanden, die nur aus Zahlen bestehen.

  Lösung

  Die Terme kannst du vereinfachen, indem du gleichartige Bestandteile zunächst nebeneinander schreibst und anschließend verrechnest. Hier sind gleichartige Bestandteile alle Summanden, die ein $x$ enthalten, und alle Summanden, die nur aus Zahlen bestehen. So erhältst du:

  $\begin{array}{ll} &3x+120+2x-80\\ =&3x+2x+120-80 \\ =&5x+40 \end{array}$

  Der zweite Term ergibt:

  $\begin{array}{ll} &44+5x-13\\ =&5x+44-13 \\ =&5x+31 \end{array}$

  Hier erhältst du:

  $\begin{array}{ll} &7x+131-4x-35\\ =&7x-4x+131-35 \\ =&3x+96 \end{array}$

  Der letzte Term ergibt:

  $\begin{array}{ll} &-53+3x+82\\ =&3x+82-53 \\ =&3x+29 \end{array}$