Was sind Variablen?

Was sind Variablen? Übung

• Ergänze die Erklärung zu Variablen.

  Tipps

  Das Wort „Variable“ kommt von dem lateinischen „variabilis“ für „veränderlich“. Eine Variable wird auch oft als Veränderliche bezeichnet.

  Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck, in welchem Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern vorkommen.

  Lösung

  Hier siehst du bereits, was eine Variable ist.

  Lass uns dies einmal an dem Beispiel mit Eric und Sarah anschauen. Die beiden spielen Karten. Gewonnen hat, wer eine Straße hat, das heißt fünf aufeinanderfolgende Karten.

  Sarah hat die Karten mit dem Wert $2$, $3$, $4$ und $5$ und ... einen Joker. Diesen kann sie für jede beliebige Karte einsetzen. In diesem Beispiel wird sie den Joker für die $1$ oder $6$ einsetzen und hat somit eine Straße.

  Das Prinzip eines Jokers gibt es auch in der Mathematik: Variablen.

  Die Variable ist eine Veränderliche. Du kannst jeden beliebigen Wert einsetzen.

  Eine Variable ist ein Buchstabe, oft werden $x$ oder $y$ oder $a$ verwendet, oder ein anderes Symbol.

  Variablen kommen zum Beispiel

  • in Termen wie $7-x$ oder
  • in Gleichungen wie $7-x=5$ vor.

  Bei Gleichungen ist das Ziel, einen Wert für die Variable zu finden, für den die Gleichung eine wahre Aussage darstellt.

  In dem Beispiel $7-x=5$ wäre dies $x=2$, denn es gilt:

  $7-2=5$ ✓

• Stelle den Term für die Kosten von Sarahs Handyvertrag auf.

  Tipps

  Beginne mit den festen Kosten: Überlege dir, welche der Kosten von dem Verbrauch abhängen.

  Sarah bezahlt $25~€$. Hinzu kommen

  • $15~€$ für ein Gigabyte Datenvolumen,
  • $30~€$ für zwei,
  • $45~€$ für drei ...

  Du siehst, die Kosten für das Datenvolumen hängen von dem Verbrauch ab.

  Wenn du eine Beschreibung wie zum Beispiel „Jeder Apfel kostet $50~ct$“ hast, musst du die $50~ct$ mit der Anzahl der Äpfel multiplizieren.

  Lösung

  Die Grundgebühr ist fest. Sie hängt nicht von dem Verbrauch ab. Deswegen muss sie auch nicht mit einer Variablen multipliziert werden.

  Die Kosten für das Datenvolumen hängen allerdings sehr wohl von dem Verbrauch ab, sie sind also variabel. Da pro Gigabyte Datenvolumen $15~€$ bezahlt werden müssen, ordnet man zunächst der unbekannten Zahl an verbrauchten Gigabytes die Variable $x$ zu.

  Das Schlüsselwort „je“ zeigt an, dass multipliziert werden muss.

  Die Kosten für das Datenvolumen betragen also: $15~€\cdot x$.

  Zusammen, das bedeutet, dass die Kosten addiert werden müssen, können die Kosten für Sarahs Handyvertrag mit diesem Term beschrieben werden:

  $25~€+15~€\cdot x$.

• Entscheide, welcher der beiden Handyanbieter günstiger für Eric ist.

  Tipps

  Beachte, dass nur die von der Variablen abhängigen Kosten, das sind die Kosten für das Datenvolumen, mit der Variablen multipliziert werden.

  Wenn du den Term kennst, kannst du jeweils für $x$ den Wert $3$ einsetzen.

  Schaue dir dieses Beispiel an:

  Die Kosten bei einem weiteren Anbieter C teilen sich auf in $10~€$ Grundgebühren und $25~€$ pro verbrauchtes Gigabyte Datenvolumen. Die Gleichung, die die Gesamtkosten darstellt, lautet:

  $10~€+25~€\cdot x$.

  Also müsste Eric für $3$ Gigabyte

  $10~€+25~€\cdot 3=10~€+75~€=85~€$

  bezahlen. Dieser Anbieter ist teurer als Anbieter A und B.

  Lösung

  Du stellst zunächst für jeden der beiden Anbieter den Term auf, der die Kosten beschreibt.

  Anbieter A:

  • Zu den Grundgebühren $20~€$
  • werden die Gebühren für das verbrauchte Datenvolumen, also $18~€\cdot x$, addiert.
  • Dies führt zu: $20~€+18~€\cdot x$.

  Ebenso kannst du den Term bei Anbieter B aufstellen: $15~€+19~€\cdot x$.

  Eric möchte nun wissen, welcher der beiden Anbieter bei $3$ Gigabytes Datenvolumen günstiger ist. Eric setzt jeweils für $x$ die Zahl $3$ in die beiden Terme ein:

  • Anbieter A: $20~€+18~€\cdot 3=20~€+54~€=74~€$
  • Anbieter B: $15~€+19~€\cdot 3=15~€+57~€=72~€$

  Eric sieht, dass Anbieter B günstiger ist.

• Ermittle die Anzahl der Hunde in dem Rudel.

  Tipps

  Wenn du eine solche Gleichung $2y=14$ lösen sollst, musst du durch $2$ dividieren:

  $y=14:2=7$.

  Umgekehrt ist $2\cdot 7=14$ ✓

  Du kannst auch bei der Addition die Umkehraufgabe durchführen:

  • $x+3=8$
  • Subtrahiere $3$. Dann erhältst du $x=8-3=5$.
  • Führe eine Probe durch $5+3=8$ ✓

  Lösung

  Das Doppelte der Anzahl der Hündinnen ist die Unbekannte $10$. Damit kannst du die Anzahl der Hündinnen ausrechnen: $2y=10$.

  Kannst du die Lösung schon sehen? Du kannst durch $2$ dividieren: $y=10:2=5$.

  Damit weißt du schon, dass es $5$ Hündinnen gibt.

  Wie viele Rüden gibt es? Die Anzahl der Rüden plus $3$ ist ebenfalls $10$, es gilt: $x+3=10$.

  Subtrahiere $3$ von $10$. So kommst du zu $x=10-3=7$.

  Nun wissen wir, dass es sieben ($7$) Rüden und fünf ($5$) Hündinnen gibt. Das sind dann zusammen $5+7=12$ Hundekinder in dem Rudel.

  Gut gerechnet: Jetzt ist Zeit zum Toben.

• Gib an, für welchen Wert für $x$ die Gleichung erfüllt ist.

  Tipps

  Setze jeden der Werte für $x$ ein und prüfe, ob du eine wahre Aussage erhältst.

  Achte beim Einsetzen der Werte für $x$ auf die Vorzeichen und darauf, dass keine zwei Rechenoperationen direkt hintereinander stehen dürfen. Nutze dann Klammern. Beispielsweise gilt:

  $3-(-2)=3+2=5$.

  Üblicherweise probierst du nicht verschiedene Werte. Das wäre zu aufwendig. Du löst die Gleichung.

  Subtrahiere auf beiden Seiten $7$.

  Du erhältst die Gleichung $-x=-2$.

  Beachte, dass du nicht wissen möchtest, was du für $-x$ einsetzen sollst, sondern, was du für $x$ einsetzen sollst.

  Multipliziere die Gleichung $-x=-7$ mit $(-1)$.

  Lösung

  $7-x=5$ ist eine Gleichung. Gesucht ist ein Wert für $x$, sodass die Gleichung eine wahre Aussage ist. Anders gefragt: Was musst du für $x$ einsetzen, damit die Gleichung erfüllt ist. Der korrekte Wert für $x$ ist $2$, es gilt also: $x=2$

  Wir machen die Probe: $7-2=5$ ✓

  Üblicherweise erhältst du eine solche Lösung nicht, indem du genau hinschaust oder rätst. Du formst die Gleichung um. Dafür kannst du wie folgt vorgehen:

  • Du beginnst mit der Gleichung $7-x=5$.
  • Nun subtrahierst du auf beiden Seiten $7$ und erhältst $-x=-2$.
  • Zuletzt multiplizierst du mit $-1$ und kommst so zu $x=2$, der gesuchten Lösung.

• Bestimme das Datenvolumen, für welches beide Handyanbieter gleich teuer sind.

  Tipps

  Hier siehst du den Term, der die Kosten bei Anbieter B beschreibt:

  • $20\,€+16\,€ \cdot x$

  Anbieter B verlangt geringere Grundgebühren als A, allerdings kostet verbrauchtes Datenvolumen mehr.

  Beachte: „Günstiger“ bedeutet, dass Eric bei dem Anbieter weniger als bei dem anderen bezahlt.

  Wenn er bei beiden gleich viel bezahlt, ist es egal, für welchen Anbieter er sich entscheidet.

  Dort, wo die beiden Geraden sich schneiden, kannst du das verbrauchte Datenvolumen auf der x-Achse ablesen, bei welchem die Tarife gleich teuer sind.

  Lösung

  Anbieter B hat niedrigere Grundgebühren, allerdings höhere Kosten pro verbrauchtem Gigabyte Datenvolumen.

  Das bedeutet, dass es eine Anzahl an verbrauchten Gigabytes gibt, für welche gilt, dass beide Anbieter gleich teuer sind. Bis dahin ist Anbieter B günstiger, ab da Anbieter A.

  Dies sind die Terme, die die Kosten bei den beiden Anbietern beschreiben:

  • Anbieter A: $50\,€+10\,€\cdot x$ und
  • Anbieter B: $20\,€+16\,€\cdot x$.

  Du kannst die Gesamtkosten in Abhängigkeit vom verbrauchten Datenvolumen, so wie in der Abbildung zu sehen, darstellen.

  • Du siehst, dass die rote Gerade (Anbieter B) bis zu einem gewissen Datenvolumen unterhalb der blauen (Anbieter A) liegt. Das liegt daran, dass die Grundgebühren bei Anbieter B niedriger sind als die von A.
  • Es gibt ein Datenvolumen ($5$ Gigabytes), bei welchem beide Anbieter gleich teuer sind.
  • Ab da ist Anbieter A günstiger, da dieser günstiger in Bezug auf das verbrauchte Datenvolumen ist.

  Wir setzen nun verschiedene Werte für das Datenvolumen ein und erhalten so die Gesamtkosten:

  $0$ Gigabyte:

  • Anbieter A $50\,€+10\,€\cdot 0=50\,€$
  • Anbieter B $20\,€+16\,€\cdot 0=20\,€$. Hier ist Anbieter B günstiger.

  $2$ Gigabyte:

  • Anbieter A $50\,€+10\,€\cdot 2=70\,€$
  • Anbieter B $20\,€+16\,€\cdot 2=52\,€$. Hier ist Anbieter B günstiger.

  $3$ Gigabyte:

  • Anbieter A $50\,€+10\,€\cdot 3=80\,€$
  • Anbieter B $20\,€+16\,€\cdot 3=68\,€$. Hier ist Anbieter B günstiger.

  $5$ Gigabyte:

  • Anbieter A $50\,€+10\,€\cdot 5=100\,€$
  • Anbieter B $20\,€+16\,€\cdot 5=100\,€$. Bei diesem Datenvolumen sind beide Anbieter gleich teuer, bis hierhin ist also Anbieter B günstiger.

  $6$ Gigabyte:

  • Anbieter A $50\,€+10\,€\cdot 6=110\,€$
  • Anbieter B $20\,€+16\,€\cdot 6=116\,€$. Hier ist Anbieter A günstiger.