Unabhängige und abhängige Variablen

Unabhängige und abhängige Variablen Übung

• Gib die Definitionen der genannten Begriffe an.

  Tipps

  Die Zahl $3$ ist eine Konstante.

  Wie der Name schon sagt, hängt der Wert einer unabhängigen Variablen von keinem anderen Wert ab.

  Die Anzahl der Karten, die für einen Kinofilm verkauft wird, hängt u. a. vom Preis der Karten ab, der vom Kinobesitzer frei gewählt werden kann. Also ist der Preis eine unabhängige und die Verkaufszahl eine abhängige Variable.

  Lösung

  Im Folgenden werden die vier Begriffe definiert.

  Konstante: Eine Konstante ist ein Term, der immer gleich bleibt, also konstant ist. Beispiele für Konstanten sind die Zahlen $3$ oder $44$.

  Variable: Eine Variable ist ein Wert oder ein Term, der sich verändern kann, also im Gegensatz zur Konstanten nicht gleich bleibt. Man unterscheidet zwischen unabhängigen und abhängigen Variablen. Variablen werden meistens durch Buchstaben ausgedrückt. Häufige Beispiele dafür sind $x$ oder $y$.

  Abhängige und unabhängige Variable: Unabhängige Variablen lassen sich beliebig festlegen. Abhängige Variablen können ihren Wert zwar ändern, dieser ist aber von dem Wert einer anderen Variablen direkt abhängig.

• Ergänze die Werte der abhängigen Variablen.

  Tipps

  Setze die Anzahl an Krötenaugen in die Gleichung ein. Da die Größe des Riesen eine abhängige Variable darstellt, kannst du so die verschiedenen Werte bestimmen.

  Für $k=8$ gilt zum Beispiel:
  $g=3 \cdot 8=24$

  Lösung

  Um die Tabelle auszufüllen, kannst du die Werte der unabhängigen Variablen $k$ (Anzahl der Krötenaugen), die in der ersten Spalte gegeben sind, in die Gleichung $g=3k$ einsetzen. Als Ergebnis erhältst du dann die jeweilige Größe des Riesen $g$, den Wert der abhängigen Variable.

  Für $k=1$ gilt $3 \cdot 1=3$. Daher ist hier $g=3$. Wenn Hexe Hilda also ein Krötenauge in den Trank wirft, so wird der Riese $3$ Fuß groß.
  Analog erhältst du für $k=2$ gerade $g=3 \cdot 2=6$, für $k=3$ gerade $g=3 \cdot 3=9$ und so weiter. Die Tabelle sieht dann so aus:

  $\begin{array}{c|c} \text{Anzahl }k & \text{Gr}\ddot{\text{o}}\text{ße }g\\ \hline 1 & 3\\ 2 & 6\\ 3 & 9\\ 4 & 12\\ 5 & 15\\ 6 & 18\\ \end{array}$

  Hexe Hilda entscheidet sich dafür, $4$ Krötenaugen in den Trank zu werfen. Demnach sollte der Riese also $12$ Fuß groß werden. Dann kann ja eigentlich nichts mehr schiefgehen...

• Bestimme Konstanten, abhängige und unabhängige Variablen.

  Tipps

  Konstanten sind Terme, die immer gleich bleiben und ihren Wert nicht ändern.

  Der Wert einer unabhängigen Variablen ist frei wählbar. Er leitet sich nicht von einer anderen Variablen ab.

  Lösung

  Konstanten
  Bei einer Konstanten handelt es sich um einen Term oder eine Größe, die immer gleich bleibt.
  Daher sind die Anzahl an Armen (immer vier), die Anzahl an Ohren (immer zwei buschige) Konstanten. Die Tatsache, dass jeder Hauself genau eine Schürze trägt, deutet auch auf eine Konstante hin.

  Unabhängige Variablen
  Der Wert einer unabhängigen Variablen lässt sich beliebig wählen.
  Da Hexe Hilda frei wählen kann, wie viele Lorbeerblätter und wie viele Hahnenfüße sie in den Trank gibt, haben wir es hier mit unabhängigen Variablen zu tun.

  Abhängige Variablen
  Der Wert einer abhängigen Variable leitet sich vom Wert einer anderen Variablen ab.
  Da der Ausdauergrad eines Hauselfen von der Anzahl an Lorbeerblättern abhängt, die Hexe Hilda in den Trank gibt, handelt es sich hier um eine abhängige Variable.
  Ebenso hängt der Schnelligkeitsgrad eines Elfen von der Anzahl zugegebener Hahnenfüße ab. Deshalb liegt auch hier eine abhängige Variable vor.

• Ordne die Werte der unabhängigen und abhängigen Variablen einander zu.

  Tipps

  Die Größe, die Hexe Hilda frei wählen kann, ist die unabhängige Variable. Die abhängige Variable wird mithilfe der unabhängigen Variable berechnet.

  Versuche, eine Formel aufzustellen, die den Zusammenhang zwischen $a$ und $l$, also dem Ausdauergrad und der Anzahl an Lorbeerblättern, wiedergibt.

  Lösung

  Zunächst kannst du die Formel aufstellen, die den Zusammenhang zwischen $a$ und $l$, also dem Ausdauergrad und der Anzahl an Lorbeerblättern, beschreibt.
  Da die Ausdauer für jedes Lorbeerblatt, das sie in den Trank gibt, um $7$ Einheiten zunimmt, lautet diese Formel:

  $a=7 \cdot l$

  Es handelt sich beim Ausdauergrad $a$ also um eine abhängige und bei der Anzahl an Lorbeerblättern $l$ um eine unabhängige Variable.

  Nun kannst du die verschiedenen Werte von $l$ in die Gleichung einsetzen:
  Für $l=1$ ergibt sich $a=7 \cdot 1=7$. Ebenso ergibt sich für $l=3$ gerade $a=7 \cdot 3=21$, für $l=4$ gerade $a=7 \cdot 4=28$ und für $l=8$ ist $a=7 \cdot 8=56$.

• Bestimme die wahren Aussagen zu Konstanten und Variablen.

  Tipps

  Konstanten sind Terme, die immer gleich bleiben. Daher zählen Zahlen wie $24$ zu den Konstanten.

  Wenn die Variable „Zurückgelegte Entfernung“ von der Variable „Verstrichene Zeit“ abhängt, dann ist sie eine abhängige Variable.

  Lösung

  „Terme werden in Konstanten und Variablen eingeteilt.“
  Diese Aussage ist korrekt. Bei Termen handelt es sich entweder um Konstanten, die ihren Wert nicht ändern oder um Variablen, die ihren Wert verändern können.

  „Konstanten leiten ihren Wert von einer Variablen ab.“
  Die Aussage ist falsch. Konstanten haben einen konkreten Wert, wie zum Beispiel die Zahl $44$. Daher leiten sie ihren Wert nicht von einer veränderbaren Größe ab. Der Wert einer abhängigen Variablen hängt von dem Wert einer anderen Variablen ab.

  „Der Wert $32$ ist eine unabhängige Variable.“
  Diese Aussage ist falsch. Wie der Name schon sagt, handelt es sich bei einer Variablen um eine veränderbare Größe. Der Wert $32$ ist allerdings eine Konstante.

  „Es gibt zwei verschiedene Arten von Variablen, die sich in der Art der Abhängigkeit unterscheiden.“
  Diese Aussage ist korrekt. Variablen unterteilen sich in abhängige und unabhängige Variablen. Dabei lässt sich der Wert einer unabhängigen Variablen beliebig festlegen, während sich der Wert einer abhängigen Variablen von dem Wert einer anderen Variablen ableitet.

  „Es gibt abhängige und unabhängige Konstanten.“
  Diese Aussage ist falsch. Konstanten sind Zahlen, die sich (wie der Name verrät) nicht ändern. Da sie also per Definition gar nicht von irgendetwas abhängen können, ergibt es keinen Sinn, sie in abhängige und unabhängige Konstanten zu unterteilen.

• Entscheide, welche Variablen abhängig und unabhängig sind.

  Tipps

  Der Wert einer unabhängigen Variablen lässt sich beliebig festlegen und leitet sich nicht von einer anderen Größe ab.

  Wenn Hexe Hilda pro Flugstunde auf einem Besen lernt, $1$ km/h schneller zu fliegen, so handelt es sich bei der Anzahl an Flugstunden um die unabhängige Variable und bei der Höchstgeschwindigkeit um die abhängige Variable.

  Eine unabhängige Variable kann mit mehreren abhängigen Variablen in Beziehung stehen.

  Lösung

  Im Folgenden wird für die einzelnen Textabschnitte die unabhängige und abhängige Variable bestimmt.

  Da sich die Anzahl an Hahnenfüßen und Schneckenhäusern danach richtet, wie viele Goldmünzen bezahlt werden, handelt es sich bei der Anzahl der Goldmünzen um die unabhängige Variable. Die Hexe kann ja frei entscheiden, wie viele Goldmünzen sie ausgeben möchte. Sie bekommt für ihre Münzen dann eine durch den Preis festgelegte Anzahl an Hahnenfüßen und Schneckenhäusern. Daher handelt es sich bei diesen um abhängige Variablen.

  Da sich das Alter der Hexe und die Minuten an Schlafreduktion von der Anzahl an Gesundheitstränken ableitet, handelt es sich bei beiden um abhängige Variablen.
  Die Hexe kann frei entscheiden, wie viele Tränke sie braut und trinkt. Daher handelt es sich bei der Anzahl an Gesundheitstränken um eine unabhängige Variable.

  Da die Anzahl an Teilnehmern von der Anzahl verschickter Einladungen abhängt, handelt es sich dabei um eine abhängige Variable. Die Hexe kann auch hier frei entscheiden, wie viele Einladungen sie verschickt. Deshalb handelt es sich bei der Anzahl an Einladungen um eine unabhängige Variable.